2011年全国考研数学三真题

0 20112011 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学三数学三 试题试题 一 选择题 一 选择题 1 1 8 8 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 3232 分 下列每题给出的四个选分 下列每题给出的四个选 项中 只有一个选项符合题目要求 请将所选项前的字母填在答题纸指定项中 只有一个选项符合题目要求 请将所选项前的字母填在答题纸指定 位置上位置上 1 1 已知当已知当时 时 与与是等价无穷小 则是等价无穷小 则 0 x 3sinsin3f xxx k cx A k 1 c 4 B k 1 c 4 C k 3 c 4 D k 3 c 4 2 2 已知函数已知函数在在x x 0 0 处可导 且处可导 且 0 0 则 则 f x 0f 23 3 0 2 lim x x f xf x x A 2 B C D 0 0 f 0 f 0 f 3 3 设设是数列 则下列命题正确的是是数列 则下列命题正确的是 n u A 若收敛 则收敛 1 n n u 212 1 nn n uu B 若收敛 则收敛 212 1 nn n uu 1 n n u C 若收敛 则收敛 1 n n u 212 1 nn n uu D 若收敛 则收敛 212 1 nn n uu 1 n n u 4 4 设设 则 则的大小的大小 4 0 lnsinIxdx 4 0 lncotJxdx 4 0 lncosKxdx I J K 关系是关系是 A B C D IJK IKJ JIK KJI 5 5 设设为为 3 3 阶矩阵 将阶矩阵 将的第二列加到第一列得矩阵的第二列加到第一列得矩阵 再交换 再交换的第的第AABB 1 二行与第三行得单位矩阵 记二行与第三行得单位矩阵 记 则 则 1 100 110 001 P 2 100 001 010 P A A B C D 12 PP 1 12 PP 21 P P 1 21 P P 6 6 设设为为矩阵 矩阵 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组的的 个线性无关个线性无关A4 3 123 Ax 3 的解 的解 为任意常数 则为任意常数 则的通解为的通解为 12 k kAx A B 23 121 2 k 23 121 2 k C D 23 121231 2 kk 23 121231 2 kk 7 7 设设 为两个分布函数 其相应的概率密度为两个分布函数 其相应的概率密度与与是连续是连续 1 F x 2 F x 1 f x 2 fx 函数 则必为概率密度的是函数 则必为概率密度的是 A B 1 f x 2 fx2 2 fx 1 F x C D 1 f x 2 F x 1 f x 2 F x 2 fx 1 F x 8 8 设总体设总体X X 服从参数为服从参数为的泊松分布 的泊松分布 为来自该为来自该 0 12 2 n XXXn 总体的简单随机样本 则对于统计量总体的简单随机样本 则对于统计量和和 有 有 1 1 1 n i i TX n 1 2 1 11 1 n in i TXX nn A B 1 ET 2 ET 1 DT 2 DT 1 ET 2 ET 1 DT 2 DT C D 1 ET 2 ET 1 DT 2 DT 1 ET 2 ET 1 DT 2 DT 二 填空题 二 填空题 9 149 14 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2424 分 请将答案写在答题纸指分 请将答案写在答题纸指 定位置上定位置上 9 9 设设 则 则 0 lim1 3 x t t fxxt fx 10 10 设函数设函数 则 则 1 x y x z y 1 1 dz 2 11 11 曲线曲线在点在点处的切线方程为处的切线方程为 tan 4 y xye 0 0 12 12 曲线曲线 直线 直线及及 轴所围成的平面图形绕轴所围成的平面图形绕 轴旋转所成的轴旋转所成的 2 1yx 2x xx 旋转体的体积为旋转体的体积为 13 13 设二次型设二次型的秩为的秩为 1 1 中各行元素之和为中各行元素之和为 3 3 则 则 123 T fx xxx Ax A 在正交变换在正交变换下的标准形为下的标准形为 fxQy 14 14 设二维随机变量设二维随机变量服从正态分布服从正态分布 则 则 X Y 22 0 N 2 E XY 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解解 答应写出文字说明 证明过程或演算步骤答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 15 本题满分本题满分 1010 分分 求极限求极限 0 12sin1 lim ln 1 x xx xx 16 16 本题满分本题满分 1010 分分 x 2 y 10 2 1yx 3 已知函数已知函数具有连续的二阶偏导数 具有连续的二阶偏导数 是是的极值 的极值 f u v 1 12f f u v 求求 zf xy f x y 2 1 1 z x y 17 17 本题满分本题满分 1010 分分 求不定积分求不定积分 arcsinlnxxdx x 18 18 本题满分本题满分 1010 分分 4 证明方程证明方程恰有两个实根恰有两个实根 4 4arctan30 3 xx 19 19 本题满分本题满分 1010 分分 设函数设函数在区间在区间具有连续导数 具有连续导数 且满足 且满足 f x 0 1 0 1f 求 求的的 tt DD fxy dxdyf t dxdy 0 0 01 t Dx yytxxtt f x 表达式表达式 5 20 20 本题满分本题满分 1111 分分 设向量组设向量组 不能由向量组不能由向量组 1 1 0 1 T 2 0 1 1 T 3 1 3 5 T 线性表出线性表出 1 1 1 1 T 2 1 2 3 T 3 3 4 T a I I 求求 的值的值 a II II 将将 用用 线性表出线性表出 1 2 3 1 2 3 6 21 21 本题满分本题满分 1111 分分 为为 3 3 阶实对称矩阵 阶实对称矩阵 的秩为的秩为 2 2 且 且AA 1111 0000 1111 A I I 求求的所有特征值与特征向量的所有特征值与特征向量 A II II 求矩阵求矩阵 A 22 22 本题满分本题满分 1111 分分 设随机变量设随机变量与与 的概率分布分别为的概率分布分别为XY X X01 P P1 32 3 Y Y1 01 1 P P1 31 31 3 且且 22 1P XY I I 求二维随机变量求二维随机变量的概率分布 的概率分布 X Y 7 II II 求求的概率分布 的概率分布 ZXY III III 求求与与 的相关系数的相关系数 XY XY 8 23 23 本题满分本题满分 1111 分分 设二维随机变量设二维随机变量服从区域服从区域上的均匀分布 其中上的均匀分布 其中是由是由 X YGG 与与所围成的三角形区域所围成的三角形区域 0 2xyxy 0y I I 求求的概率密度的概率密度 X X fx II II 求条件概率密度求条件概率密度 X Y fx y 9 20112011 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学三数学三 试题试题 一 选择题 一 选择题 1 1 8 8 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 3232 分 下列每题给出的四个选分 下列每题给出的四个选 项中 只有一个选项符合题目要求 请将所选项前的字母填在答题纸指定项中 只有一个选项符合题目要求 请将所选项前的字母填在答题纸指定 位置上位置上 1 答案 C 解 本题涉及到的主要知识点 当时 0 x sin xx 在本题中 0 3sinsin3 lim k x xx cx 0 3sinsin cos2cos sin2 lim k x xxxxx cx 2 0 sin3cos22cos lim k x xxx cx 2 1 0 3cos22cos lim k x xx cx 22 1 0 32cos12cos lim k x xx cx 22 11 00 44cos4sin limlim kk xx xx cxcx 3 0 4 lim14 3 k x ck cx 故选择 C 2 答案 B 解 本题涉及到的主要知识点 导数的定义 00 0 0 lim x f xxf x fx x 在本题中 23223 33 00 20220 limlim xx x fxfxx fxx ffxf xx 3 3 0 0 0 lim20200 x fxf fxf fff xx 10 故应选 B 3 答案 A 解 本题涉及到的主要知识点 级数的基本性质 若级数收敛 则不改变其项的次序任意加括号 并 1 n n u 把每个括号内各项的和数作为一项 这样所得到的新级数仍收敛 而且其 和不变 在本题中 由于级数是级数经过加括号所构成的 由收敛 212 1 nn n uu 1 n n u 级数的性质 当收敛时 也收敛 故 A 正确 1 n n u 212 1 nn n uu 4 答案 B 解 本题涉及到的主要知识点 如果在区间上 则 a b f xg x bb aa f x dxg x dx ab 在本题中 如图所示 因为 所以0 4 x 0sincos1cot xxx 又因在是单调递增的函数 所以ln x 0 lnsinlncoslncotxxx 0 4 x 444 000 lnsinlncoslncotxdxxdxxdx 即 选 B IKJ 5 答案 D 解 本题涉及到的主要知识点 4 11 设是一个矩阵 对施行一次初等行变换 相当于在的左边乘以Am n AA 相应的阶初等矩阵 对施行一次初等列变换 相当于在的右边乘以mAA 相应的 阶初等矩阵 n 在本题中 由于将的第 2 列加到第 1 列得矩阵 故AB 100 110 001 AB 即 1 11 APBABP 故 由于交换的第 2 行和第 3 行得单位矩阵 故B 100 001 010 BE 即故因此 故选 D 2 P BE 1 22 BPP 111 2121 AP PP P 6 答案 C 解 本题涉及到的主要知识点 1 如果 是的两个解 则是的解 1 2 Axb 12 0Ax 2 如 元线性方程组有解 设是相应齐次方程组的nAxb 12 t 0Ax 基础解系 是的某个已知解 则是的通 0 Axb 1 1220tt kkk Axb 解 或全部解 其中为任意常数 12 t k kk 在本题中 因为是的 3 个线性无关的解 那么 123 Ax 21 是的 2 个线性无关的解 从而 即 31 0Ax 2nr A 3 2 1r Ar A 显然 因此 1r A 1r A 由 知 A B 均不正确 3 12nr A 又 故是方程组的解 所以应选 23 23 11 222 AAA 23 1 2 Ax C 7 答案 D 12 解 本题涉及到的主要知识点 连续型随机变量的概率密度的性质 f x 1f x dx 在本题中 由于与均为连续函数 故它们的分布函数与 1 f x 2 fx 1 F x 也连续 根据概率密度的性质 应有非负 且 在四个 2 F x f x 1f x dx 选项中 只有 D 选项满足 1221 f x F xfx F x dx 2112 F x dF xF x dF x 121212 F x F xF x dF xF x dF x 1 故选 D 8 答案 D 解 本题涉及到的主要知识点 1 泊松分布 数学期望 方差 XP EX DX 2 E cXcEX E XYEXEY 2 D cXc DX D XYDXDY 与 相互独立 XY 在本题中 由于独立同分布 且 12 n XXX 0 ii EXDX 1 2 in 从而 1 11 111 nn ii ii E TEXEXn E X nnn 11 2 11 1111 11 nn inin ii E TEXXEXE X nnnn 11 1 1 in nE XE X nn 11 1 E XE X nn 故 12 E TE T 又 1 1 2 1 11 n i i D TDn D XD X nn X nn 1 2 22 1 111 1 1 1 n in i D TDXXn nnnn 1 2 1 D T nnn 13 故选 D 二 填空题 二 填空题 9 149 14 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2424 分 请将答案写在答题纸指分 请将答案写在答题纸指 定位置上定位置上 9 答案 3 1 3 x ex 解 本题涉及到的主要知识点 重要极限公式 1 0 lim 1 x x xe 在本题中 3 1 3 00 lim1 3lim1 3 x t x t tt tt fxxtxt 3x x e 所以有 3 1 3 x fxex 10 答案 12ln2dxdy 解 用对数求导法 两边取对数得 lnln 1 xx z yy 故 11 ln 1 zxx z xyyxy 2 1 ln 1 zxxx z yyyxy 令 得1x 1y 1 1 2ln2 1 z x 1 1 2ln2 1 z y 从而 1 1 12ln2dzdxdy 11 答案 2yx 解 方程变形为 方程两边对 求导得arctan 4 y xye x 2 1 1 y y e yy e 在点处 从而得到曲线在点处的切线方程为 0 0 0 2 y 0 0 2yx 14 12 答案 4 3 解 本题涉及到的主要知识点 设有连续曲线 则曲线 yf x axb 与直线 及 轴围成的平面图形 yf x xa xb x 绕 轴旋转一周产生的旋转体的体积x 2 b x a Vfx dx 在本题中 2 22 223 11 1 14 1 33 Vy dxxdxxx 13 答案 2 1 3y 解 本题涉及到的主要知识点 任给二次型 总有正交变换 使化为标准形 1 n ijijijji i j fa x x aa xPy f 其中是的矩阵的特征值 222 1122nn fyyy 12 n f ij Aa 在本题中 的各行元素之和为 3 即A 111213111213 212223212223 313233313233 3 1311 3 1313 1 13113 aaaaaa aaaaaaA aaaaaa 所以是的一个特征值 3 A 再由二次型的秩为 1是的 2 重特征值 T x Ax0 A 因此 正交变换下标准形为 2 1 3y 14 答案 22 解 本题涉及到的主要知识点 1 如果随机变量和 的相关系数 则称与 不相关 XY0 XY XY 2 若随机变量与 的联合分布是二维正态分布 则与 独立的充要XYXY x 2 y 10 2 1yx 15 条件是与 不相关 XY 3 如果随机变量与 相互独立 则有XY E XYEXEY 在本题中 由于服从正态分布 说明 独立同分 X Y 22 0 NXY 布 故与也独立 由期望的性质有 又 X 2 Y 22 E XYEX EY EX 所以 2222 EYDYEY 222 E XY 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解解 答应写出文字说明 证明过程或演算步骤答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 15 本题满分本题满分 1010 分分 解 本题涉及到的主要知识点 当时 0 x ln 1 xx 在本题中 0 12sin1 lim ln 1 x xx xx 2 0 12sin1 lim x xx x 000 2cos 1 cos12sincos12sin 2 12sin limlimlim 22212sin xxx x xxxx x xxxx 00 cos sin cos1 12sin limlim 222 12sin xx x x x x x 16 16 本题满分本题满分 1010 分分 解 本题涉及到的主要知识点 极值存在的必要条件 设在点具有偏导数 且在点 zf x y 00 xy 处有极值 则必有 00 xy 00 0 x fxy 00 0 y fxy 在本题中 zf xy f x y 121 z fxy f x yfxy f x yf x y x 16 2 111221 z fxy f x yfxy f x yf x yf x y x y 21222212 fxy f x yfxy f x yfx yfxy f x yfx y 1 12f 为的极值 f u v 12 1 11 10ff 2 11212 1 1 2 2 2 2 1 1 z fff x y 17 17 本题满分本题满分 1010 分分 解 本题涉及到的主要知识点 1 xt 1 f x dxftt dtG tCGxC 2 udvuvvdu 3 f xg x dxf x dxg x dx 在本题中 令 tx 2 xt 2dxtdt arcsinlnxxdx x 2 arcsinln 2 tt tdt t 2 2arcsinlnttdt 2 2 2 2 2 arcsin22 ln2 1 tt ttdttttdt t t 2 2 2 1 2 arcsin2 ln4 1 dt ttttt t 22 2 arcsin2 ln2 14ttttttC 其中是任意常数 2arcsin2ln2 14xxxxxxC C 18 18 本题满分本题满分 1010 分分 解 本题涉及到的主要知识点 1 零点定理 设函数在闭区间上连续 且与异号 即 f x a b f a f b 那么在开区间内至少有一点 使 0f af b a b 0f 2 函数单调性的判定法 设函数在上连续 在内可导 yf x a b a b 17 如果在内 那么函数在上单调增加 a b 0fx yf x a b 如果在内 那么函数在上单调减少 a b 0fx yf x a b 在本题中 令 4 4arctan3 3 f xxx 2 4 1 1 fx x 当时 单调递减 3x 0fx f x 当时 单调递增 3x 0fx f x 4 3 4arctan 3 3 30 3 f 当时 单调递减 3x f x 3x 0f x 当时 单调递增 33x f x 3 3x 0f x 是函数在上唯一的零点 3x f x 3 又因为 48 3 4arctan3332 30 33 f 且 4 limlim4arctan3 3 xx f xxx 由零点定理可知 使 0 3 x 0 0f x 方程恰有两个实根 4 4arctan30 3 xx 19 19 本题满分本题满分 1010 分分 解 本题涉及到的主要知识点 一阶线性微分方程的通解 dy P x yQ x dx P x dxP x dx yeQ x edxC 在本题中 因为 令 则 00 t tt x D fxy dxdydxfxy dy xyu 0 t xt x fxy dyf u duf tf x 00 t tt D fxy dxdyf tf x dxtf tf x dx 2 0 1 2 t t D tf tf x dxf t dxdyt f t 两边对 求导 得t 18 解齐次方程得 2 0 2 f tf t t 2 1 2 2 dt t C f tCe t 由 得 所以函数表达式为 0 1f 4C 2 4 01 2 f xx x 20 20 本题满分本题满分 1111 分分 解 本题涉及到的主要知识点 向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是 12 l b bb 12 m a aa 121212 mml r a aar a aab bb I 因为 所以线性无关 123 101 01310 115 123 那么不能由线性表示线性相关 即 123 123 123 123 113113 12401150 13023 a aa 所以5a II 如果方程组都有解 即可由 112233 1 2 3 j xxxj 123 线性表示 对作初等行变换 有 123 123123 123123 101113 013124 115135 101113 013124 014022 101113 013124 001102 100215 0104210 001102 故 1123 24 212 2 3123 5102 21 21 本题满分本题满分 1111 分分 解 本题涉及到的主要知识点 1 为矩阵 A 的特征值 为对应的特征向量 0 A 19 2 对于实对称矩阵 不同特征值的特征向量互相正交 I 因知 所以是的特征值 2r A 0A 0 A 又 111 000 111 A 11 00 11 A 所以按定义是的特征值 是属于的特征向量 1 A 1 1 0 1 T A1 是的特征值 是属于的特征向量 1 A 2 1 0 1 T A1 设是属于特征值的特征向量 作为实对称矩阵 不同 3123 Tx x x A0 特征值对应的特征向量相互正交 因此 解出 1313 2313 0 0 T T xx xx 3 0 1 0 T 故矩阵的特征值为 特征向量依次为 A1 1 0 123 1 0 1 1 0