2013数值计算方法试题及答案

1 数值计算方法试题一数值计算方法试题一 一 填空题 每空 1 分 共 17 分 1 如果用二分法求方程04 3 xx在区间 2 1 内的根精确到三位小 数 需对分 10 次 3 已知 31 1 1 1 2 1 10 23 3 xcxbxax xx xS 是三次样条函数 则 a 3 b 3 c 1 4 10 xlxlxl n 是以整数点 n xxx 10 为节点的 Lagrange 插值基 函数 则 n k k xl 0 1 n k kjk xlx 0 j x 当2 n时 3 2 0 4 xlxx kk n k k 3 24 xx 10 设 1 10 01 aa a a A 当 a 2 2 2 2 时 必有分解 式 T LLA 其中L为下三角阵 当其对角线元素 3 2 1 ilii 满足 0 ii l 条件时 这种分解是唯一的 二 选择题 每题 2 分 3 有下列数表 x00 511 522 5 f x 2 1 75 10 2524 25 所确定的插值多项式的次数是 1 1 二次 2 三次 3 四次 4 五次 三 2 8 分 已知方程组 fAX 其中 41 143 34 A 24 30 24 f 1 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss Seidel 迭代法的分量形式 2 2 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径 写出 SOR 迭代法 2 15 分 解 001302 0 768 1 8 1 12 1 12 0 2 2 efh ab fRT 2 2 8 7 1 k k bfxfaf h T 36787947 0 41686207 0 47236655 0 5352614 0 60653066 0 7788008 0 8824969 0 21 16 1 6329434 0 五 1 15 分 取步长1 0 h 求解初值问题 1 0 1 y y dx dy 用改进的欧 拉法求 1 0 y 的值 用经典的四阶龙格 库塔法求 1 0 y 的值 五 1 15 分 解 改进的欧拉法 095 0 905 0 2 1 09 0 0 111 0 1 nnnnnnn nnnnn yyxfyxf h yy yyxhfyy 所以 1 1 0 1 yy 经典的四阶龙格 库塔法 2 2 2 2 22 6 34 23 12 1 43211 hkyhxfk k h y h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy nn nn nn nn nn 0 4321 kkkk 所以 1 1 0 1 yy 数值计算方法试题二数值计算方法试题二 一 判断题 共 16 分 每小题 分 若A是nn 阶非奇异阵 则必存在单位下三角阵L和上三角阵 U 使LUA 唯一成立 当8 n时 Newton cotes 型求积公式会产生数值不稳定性 1 2 3 4 3 3 形如 1 i n i i b a xfAdxxf 的高斯 Gauss 型求积公式具有最高 代数精确度的次数为12 n 矩阵 210 111 012 A 的 范数2 A 5 设 a a aa A 00 00 02 则对任意实数0 a 方程组bAx 都是病态 的 用 6 设 nn RA nn RQ 且有 IQQT 单位阵 则有 22 QAA 7 区间 ba 上关于权函数 xW 的直交多项式是存在的 且唯一 8 对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解 600 10 322 11 012 001 542 774 322 b a A 则 ba 的值分别为 a2 b2 5 6 7 8 二 填空题 共 20 分 每小题 2 分 区间 ba 上的三次样条插值函数 xS 在 ba 上具有直到 二 阶的连续导数 4 向量 T X 2 1 矩阵 13 27 A 则 1 AX 16 Acond 90 5 为使两点的数值求积公式 1 1 10 xfxfdxxf 具有最高的 代数精确度 则其求积基点应为 1 x 3 1 3 1 2 x 6 设 nn RA AAT 则 A 谱半径 2 A 此处填小于 大于 等于 7 设 2 1 4 1 0 2 1 A 则 k k Alim 0 4 数值计算方法试题三数值计算方法试题三 一 24 分 填空题 1 2 分 改变函数 f xxx 1 x 1 的形式 使计算结果较 精确 xx xf 1 1 2 2 分 若用二分法求方程 0 xf 在区间 1 2 内的根 要求精确 到第 3 位小数 则需要对分 10 次 3 2 分 设 21 2 2 2 1 xx xx xf 则 xf 12 21 22 xx xx 4 3 分 设 21 10 2 23 3 xcbxaxx xx xS 是 3 次样条函数 则 a b c 4 3 分 3 3 1 5 3 分 若用复化梯形公式计算 1 0 dxe x 要求误差不超过 6 10 利用余项公式估计 至少用 477 个求积节点 6 6 分 写出求解方程组 24 0 16 1 21 21 xx xx 的 Gauss Seidel 迭代公 式 64 0 0 6 10 迭代矩阵为 此迭代法是否收敛 收敛 7 4 分 设 A 54 43 则 A 9 Cond A 91 8 2 分 若用 Euler 法求解初值问题 10 10 yyy 为保证 5 算法的绝对稳定 则步长 h 的取值范围为 h 0 2 二 64 分 2 12 分 以 100 121 144 为插值节点 用插值法计算 115的近似 值 并利用余项估计误差 4 10 分 用复化 Simpson 公式计算积分 1 0 sin dx x x I 的近似 值 要求误差限为 5 105 0 0 946145881 2 1 40 6 1 1 fffS 0 946086931 4 3 4 2 1 2 4 1 40 12 1 2 fffffS 5 122 10933 0 15 1 SSSI 94608693 0 2 SI 或利用余项 9 7 5 3 1 sin 8642 xxxx x x xf 49 275 1 42 4 xx xf 5 1 4 xf 5 4 4 4 5 105 0 52880 1 2880 n f n ab R 2 n 2 SI 5 10 分 用 Gauss 列主元消去法解方程组 2762 3453 2424 321 321 321 xxx xxx xxx 6 8 分 求方程组 1 2 5 11 21 31 2 1 x x 的最小二乘解 7 8 分 已知常微分方程的初值问题 6 2 1 2 11 y xyxdxdy 用改进的 Euler 方法计算y 12 的近似值 取步长2 0 h 三 12 分 在下列 5 个题中至多选做 3 个题 1 1 6 分 求一次数不超过 4 次的多项式 p x 满足 151 p 201 p 301 p 572 p 722 p 三 12 分