【6年高考4年模拟】2013版高考数学 第八章 立体几何 第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积精品试题

1 数学精品数学精品 2013 2013 版版 6 6 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 立体几何立体几何 第一节空间几何体的结构 三视图和直观图 表面积和体积第一节空间几何体的结构 三视图和直观图 表面积和体积 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 1 2012 重庆卷 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 和a 且长为a的棱与长为 2 的棱异面 则a的取值范围是 2 A 0 B 0 C 1 D 1 2323 答案 A 解析 如图所示 设AB a CD BC BD AC AD 1 2 则 ACD BCD 45 要构造一个四面体 则平面ACD与平面BCD不 能重合 当 BCD与 ACD重合时 a 0 当A B C D四点共面 且 A B两点在DC的两侧时 在 ABC中 ACB ACD BCD 45 45 90 AB 所以a的取值范围是 0 AC2 BC222 2 2012 辽宁卷 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 答案 38 解析 本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法 解题的突破 口为弄清要求的几何体的形状 以及表面积的构成 由三视图可知 该几何体为一个长方体 中挖去一个圆柱构成 几何体的表面积S 长方体表面积 圆柱的侧面积 圆柱的上下底面 面积 由三视图知 长方体的长 宽 高为 4 3 1 圆柱的底面圆的半径为 1 高为 1 所 以S 2 4 3 4 1 3 1 2 1 1 2 12 38 3 2012 北京卷 某三棱锥的三视图如图 1 4 所示 该三棱锥的表面积是 A 28 6 B 30 6 C 56 12 D 60 12 5 5 55 答案 B 解析 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式 由三视图可知 几何体为一个 侧面和底面垂直的三棱锥 如图所示 可知S底面 5 4 10 1 2 S后 5 4 10 S左 6 2 6 S右 4 5 10 所以S表 1 2 1 255 1 2 10 3 6 30 6 55 2 4 2012 安徽卷 某几何体的三视图如图 1 3 所示 该几何体的表面积是 图 1 3 答案 92 解析 本题考查三视图的识别 四棱柱等空间几何体的表面积 如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱 其表面积为 S 4 2 4 2 5 4 4 4 5 4 92 1 2 2 5 5 2012 天津卷 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 m3 答案 18 9 解析 本题考查几何体的三视图及体积公式 考查运算求解及空间想象力 容易题 由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体 其体积 V 6 3 1 2 3 18 9 4 3 3 2 6 2012 福建卷 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相等 那么这个几何体不可以 是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 答案 D 解析 本题考查简单几何体的三视图 大小 形状的判断以及空间想象能力 球 的三视图大小 形状相同 三棱锥的三视图也可能相同 正方体三种视图也相同 只有圆柱 不同 7 2012 广东卷 某几何体的三视图如图所示 它的体积为 3 A 12 B 45 C 57 D 81 答案 C 解析 根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成 圆柱与圆 锥的半径R 3 圆锥的高h 4 圆柱的高为 5 所以V组合体 V圆柱 V圆锥 32 5 32 4 57 所以选择 C 1 3 8 2012 湖北卷 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B 3 C D 6 8 3 10 3 答案 B 解析 根据三视图知几何体的下面是一个圆柱 上面是圆柱的一半 所以 V 2 2 3 故选 B 1 2 9 2012 湖南卷 某几何体的正视图和侧视图均如图所示 则该几何体的俯视图不可能是 答案 D 解析 本题考查三视图 意在考查考生对三视图的辨析 以及对三视图的理解和 掌握 是基础题型 选项 A B C 都有可能 选项 D 的正视图应该有看不见的虚线 故 D 项是不可能的 易错点 本题由于对三视图的不了解 易错选 C 三视图中看不见的棱应该用虚线标 出 10 2012 课标全国卷 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几何体的三 视图 则此几何体的体积为 4 A 6 B 9 C 12 D 18 答案 B 解析 由三视图可知 该几何体是三棱锥 其底面是斜边长为 6 的等腰直角三角 形 有一条长为 3 的侧棱垂直于底面 即三棱锥的高是 3 可知底面等腰直角三角形斜边上 的高为 3 故该几何体的体积是V 6 3 3 9 故选 B 1 3 1 2 11 2012 浙江卷 已知某三棱锥的三视图 单位 cm 如图所示 则该三棱锥的体积等于 cm3 答案 1 解析 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式 考查 学生对数据的运算处理能力和空间想象能力 由三视图可知 几何体为一个三棱锥 则 V Sh 1 3 2 1 1 3 1 3 1 2 点评 正确的识图是解决三视图问题的关键 同时要注意棱长的长度 关系等 20112011 年高考题年高考题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 11 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正存在三棱柱 其正 主主 视图 俯视图如下图 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正存在四棱柱 其正 主主 视图 俯视图如下图 视图 俯视图如下图 存在圆柱 其正存在圆柱 其正 主主 视图 俯视图如下视图 俯视图如下 图 其中真命题的个数是图 其中真命题的个数是 A 3 A 3 B 2 B 2 C 1 C 1 D 0 D 0 答案 A 解析 对于 可以是放倒的三棱柱 容易判断 可以 2 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 3 3 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 5 4 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 6 6 一个空间几何体得三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 48 B 32 8 C 48 8 D 80 答案 C 命题意图 本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法 解析 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱 底面等腰梯形的上底为 2 下底为 6 4 高为 4 故 S 表 解题指导 三视图还原很关键 每一个数据都要标注准确 5 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 12 12 已知球的直径 SC 4 A B 是该球球面上的两点 AB 3 则棱锥 S ABC 的体积为 30BSCASC A B C D 133323 第 6 题图 A B C D 7 答案 D 解析 由主视图和府视图可知 原几何体是由后面是半个圆锥 前面是三棱锥的组合体 所 以 左视图是 D 点评 本题考查三视图 直观图及他们之间的互化 同时也考查空间想象能力和推理能力 要求有扎实的基础知识和基本技能 10 10 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 7 7 如图 某几何体的正视图如图 某几何体的正视图 主视图主视图 是平行四边形 侧视图是平行四边形 侧视图 左左 视图视图 和俯视图都是矩形 则该几何体的体积为 和俯视图都是矩形 则该几何体的体积为 A A B B C C D D 6 39 312 318 3 解析解析 B B 由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱 由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱 ABCDEA平面 所以选 所以选 B B393123 2 hSV ABCD平行四边形 11 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 5 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 8 A B 2 8 3 8 3 C D 82 2 3 答案 A 解析 由三视图可知该几何体为立方体与圆锥 立方体棱长为 2 圆锥底面半径为 1 高为 2 15 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 11 11 已知平面截一球面得圆 M 过圆心 M 且与成 二面角的平面截该球面得圆 N 0 60 若该球的半径为 4 圆 M 的面积为 4 则圆 N 的面积为 A B c D 7 9 11 13 答案 D 解析 由圆的面积为得 M4 2MA 222 4212OM 在2 3OM 0 30Rt ONMOMN 中 故选 D 2 1 3 313 2 ONOM 2 r 413 N S 圆 16 2011 2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 7 7 某四面体的三视图如图所示 该四面体四个面的面积中 最 大的是 A 8 B C 10 D 6 28 2 答案 C 60 B A O N M 9 1 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 15 15 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等 体积为 它的32 三视图中的俯视图如右图所示 左视图是一个矩形 则这个矩形的面积是 2 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 15 15 已知矩形的顶点都在半径为 4 的球的球面ABCDO 上 且 则棱锥的体积为 6 2 3ABBC OABCD 3 3 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 10 10 一个几何体的三视图如图所示 单位 一个几何体的三视图如图所示 单位 则这个几何体 则这个几何体m 的体积为的体积为 3 m 答案 6 解析 由题意知 该几何体为一个组合体 其下面是一个长方体 长为 3m 宽为 2m 高为 1m 上面有一个圆锥 底面半径为 1 高为 3 所以其体积为 1 3 2 136 3 VV 长方体圆锥 10 4 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 15 15 如图 半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱 当圆柱的侧面积最 大时 求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 答案 2 2 R 解析 时 22222 max 224 SrRrrRrS 侧侧 则 2 2222 2 22 R rRrrrR 222 422RRR 6 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 12 12 三棱锥 P ABC 中 PA 底面 ABC PA 3 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形 则三棱锥 P ABC 的体积等于 答案 3 7 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 7 7 若圆锥的侧面积为 底面积为 则该圆锥的体积为 2 答案 3 3 三 解答题三 解答题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 19 19 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 在如图所示的几何体中 四边形在如图所示的几何体中 四边形 ABCDABCD 为平行四边形 为平行四边形 ACB ACB 平面平面90 EF EF 若 是线段 的中点 求证 若 是线段 的中点 求证 平面 平面 若 若 求二面角 求二面角 的大小 的大小 解析 连结 AF 因为 EF 11 EF F 所以平面 EFG 平面 ABCD 又易证 EFG ABC 所以 即 即 又 M 为 AD 1 2 FGEF BCAB 1 2 FGBC 1 2 FGAD 的中点 所以 又因为 D 所以 M 所以四边形 AMGF 是平 1 2 AMAD 行四边形 故 GM FA 又因为 平面 FA平面 所以 平面 20102010 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 9 已知正四棱锥SABCD 中 2 3SA 那么当该棱锥的体积最大时 它的高为 A 1 B 3 C 2 D 3 答案 C 命题意图 本试题主要考察椎体的体积 考察告辞函数的最值问题 12 解析 设底面边长为 a 则高所以体积 设 则 当 y 取最值时 解得 a 0 或 a 4 时 体积最大 此时 故选 C 2 2 20102010 陕西文 陕西文 8 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几 何体的体积是 B A 2 B 1 C 2 3 D 1 3 答案 B 解析 本题考查立体图形三视图及体积公式 如图 该立体图形为直三棱柱 所以其体积为1221 2 1 3 3 20102010 辽宁文 辽宁文 11 已知 S A B C是球O表面上的点 SAABC 平面 ABBC 1SAAB 2BC 则球O的表面积等于 A 4 B 3 C 2 D 答案 A 解析 选 A 由已知 球O的直径为22RSC 表面积为 2 44 R 4 4 20102010 安徽文 安徽文 9 一个几何体的三视图如图 该几 何体的表面积是 A 372 B 360 C 292 D 280 答案 B 2 2 1 13 解析 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体 的 4 个侧面积之和 2 10 8 10 28 2 2 6 88 2 360S 方法技巧 把三视图转化为直观图是解决问题的关键 又三视图很容易知道是两个长方体 的组合体 画出直观图 得出各个棱的长度 把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积 加上面长方体的 4 个侧面积之和 5 5 20102010 重庆文 重庆文 9 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 A 只有 1 个 B 恰有 3 个 C 恰有 4 个 D 有无穷多个 答案 D 解析 放在正方体中研究 显然 线段 1 OO EF FG GH HE 的中点到两垂直异面直线 AB CD 的距离都相等 所以排除 A B C 选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB CD 的距离相等 6 6 20102010 浙江文 浙江文 8 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 A 352 3 cm3 B 320 3 cm3 C 224 3 cm3 D 160 3 cm3 答案 B 解析 选 B 本题主要考察了对三视图所表达示的 空间几何体的识别以及几何体体积的计算 属容易题 7 7 20102010 北京文 北京文 8 如图 正方体 1111 ABCD A B C D的棱长 为 2 动点 E F 在棱 11 A B上 点 Q 是 CD 的中点 动点 P 在棱 AD 上 若 EF 1 DP x 1 AE y x y 大于零 则三棱锥 P EFQ 的体积 14 A 与 x y 都有关 B 与 x y 都无关 C 与 x 有关 与 y 无关 D 与 y 有关 与 x 无关 答案 C 8 8 20102010 北京文 北京文 5 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的 正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该 集合体的俯视图为 答案 C 9 9 20102010 北京理 北京理 8 如图 正方体 ABCD 1111 ABC D的棱长为 2 动点 E F 在棱 11 AB上 动点 P Q 分别在棱 AD CD 上 若 EF 1 1 AE x DQ y D 大于零 则四面 体 PE 的体积 与 都有关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 答案 D 10 10 20102010 北京理 北京理 3 一个长方体去掉一个小长方体 所得几 何体的正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该几何 体的俯视图为 15 答案 C 11 11 20102010 广东理 广东理 6 如图 1 ABC 为三角形 AA BB CC CC 平面 ABC 且 3 AA 3 2 BB CC AB 则多面体 ABC A B C 的正视图 也称主视图 是 答案 D 12 12 20102010 广东文 广东文 13 13 20102010 福建文 福建文 3 若一个底面是正三角形的三棱柱 的正视图如图所示 则其侧面积等于 A 3 B 2 C 2 3 D 6 16 答案 D 解析 由正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 所以底面积为 3 242 3 4 侧面积为3 2 16 选 D 命题意图 本题考查立体几何中的三视图 考查同学们识图的能力 空间想象能力等基本 能力 14 14 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 答案 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过球这 个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为h 则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 22 max 2 212 3h 故 max 4 3 3 V 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 上海文 上海文 6 已知四棱椎PABCD 的底面是边长为 6 的正方形 侧棱PA 底面 ABCD 且8PA 则该四棱椎的体积是 答案 96 解析 考查棱锥体积公式96836 3 1 V 2 2 20102010 湖南文 湖南文 13 图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm2的几何体的三视图 则 h cm 17 答案 4 3 3 20102010 浙江理 浙江理 12 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 3 cm 解析 图为一四棱台和长方体的组合体的三视图 由卷中 所给公式计算得体积为 144 本题主要考察了对三视图所表达 示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算 属容易题 4 4 20102010 辽宁文 辽宁文 16 如图 网格纸的小正方形的边长是 1 在其上用 粗线画出了某多面体的三视图 则这个多面体最长的一条棱的 长为 解析 填2 3画出直观图 图中四棱锥PABCD 即是 所以最长的一条棱的长为2 3 PB 5 5 20102010 辽宁理 辽宁理 15 如图 网格纸的小正方形的边长是 1 在其上用粗线画出了某多面体的三视图 则这个多面体最 长的一条棱的长为 P D CB A 18 答案 2 3 命题立意 本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题 考查了同学们的识图能力以 及由三视图还原物体的能力 解析 由三视图可知 此多面体是一个底面边长为 2 的正方形 且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥 所以最长棱长为222 2222 3 6 6 20102010 天津文 天津文 12 一个几何体的三视图如图所示 则这个 几何体的体积为 答案 3 解析 本题主要考查三视图的基础知识 和主题体积的计算 属于容易题 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形 则正视图和俯视图 可知该几何体的高为 1 结合三个试图可知该几何体是底面为 直角梯形的直四棱柱 所以该几何题的体积为 1 2 1 2 2 1 3 温馨提示 正视图和侧视图的高是几何体的高 由俯视图可 以确定几何体底面的形状 本题也可以将几何体看作是底面是长为 3 宽为 2 高为 1 的长 方体的一半 7 7 20102010 天津理 天津理 12 一个几何体的三视图如图所 示 则这个几何体的体积为 答案 10 3 解析 本题主要考查三视图的概念与柱体 椎体体 积的计算 属于容易题 由三视图可知 该几何体为一个底面边长为 1 高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2 高为 1 的正四棱 19 锥组成的组合体 因为正巳灵珠的体积为 2 正四棱锥的体积为 14 4 1 33 所以该几何体 的体积 V 2 4 3 10 3 温馨提示 利用俯视图可以看出几何体底面的形状 结合正视图与侧视图便可得到几何体 的形状 求锥体体积时不要丢掉 1 3 哦 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 上海文 上海文 20 20 本大题满分 本大题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩 形骨架 总计耗用 9 6 米铁丝 再用S平方米塑料片制成圆柱 的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该 最大值 结果精确到 0 01 平方米 2 若要制作一个如图放置的 底面半径为 0 3 米的灯笼 请作 出 用于灯笼的三视图 作图时 不需考虑骨架等因素 解析 1 设圆柱形灯笼的母线长为l 则l 1 2 2r 0 r 0 6 S 3 r 0 4 2 0 48 所以当r 0 4 时 S取得最大值约为 1 51 平方米 2 当r 0 3 时 l 0 6 作三视图略 2 2 20102010 陕西文 陕西文 18 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形PA 平面ABCD AP AB BP BC 2 E F分别 是PB PC的中点 证明 EF 平面PAD 求三棱锥E ABC的体积 V 解 在 PBC中 E F分别是PB PC的中点 EF BC 又BC AD EF AD 又 AD 平面PAD EF 平面PAD EF 平面PAD 20 A B C D E F H 连接AE AC EC 过E作EG PA交AB于点G 则BG 平面ABCD 且EG 1 2 PA 在 PAB中 AD AB PAB BP 2 AP AB 2 EG 2 2 S ABC 1 2 AB BC 1 2 2 2 2 VE ABC 1 3 S ABC EG 1 3 2 2 2 1 3 3 3 20102010 安徽文 安徽文 19 本小题满分 13 分 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是正方形 AB 2EF 2 EF AB EF FB BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 求证 FH 平面 EDB 求证 AC 平面 EDB 求四面体 B DEF 的体积 命题意图 本题考查空间线面平行 线面垂直 面面垂直的判断与证明 考查体积的计算等基础 知识 同时考查空间想象能力 推理论证能力和 运算能力 解题指导 1 设底面对角线交点为 G 则可 以通过证明 EG FH 得FH 平面EDB 2 利用线线 线面的平行与垂直关系 证明 FH 平面 ABCD 得 FH BC FH AC 进而得 EG AC AC 平面EDB 3 证明 BF 平 面 CDEF 得 BF 为四面体 B DEF 的高 进而求体积 1 1 2 1 2 ACBDGGACEG GHHBC GHAB EFABEFGH EGFHEGEDBFHEDB 证 设与交于点 则为的中点 连 由于为的中点 故 又四边形为平行四边形 而平面 平面 21 规律总结 本题是典型的空间几何问题 图形不是规则的空间几何体 所求的结论是线面 平行与垂直以及体积 考查平行关系的判断与性质 解决这类问题 通常利用线线平行证明 线面平行 利用线线垂直证明线面垂直 通过求高和底面积求四面体体积 4 4 20102010 四川理 四川理 18 本小题满分 12 分 已知正方体ABCD A B C D 的棱长为 1 点M 是棱AA 的中点 点O是对角线BD 的中点 求证 OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 求二面角M BC B 的大小 求三棱锥M OBC的体积 本小题主要考查异面直线 直线与平面垂直 二面角 正方体 三棱锥体积等基础知识 并 考查空间想象能力和逻辑推理能力 考查应用向量知识解决数学问题的能力 解法一 1 连结AC 取AC中点K 则K为BD的中点 连结OK 因为M是棱AA 的中点 点O是BD 的中点 所以AM 1 2 DDOK 所以MO AK由AA AK 得MO AA 因为AK BD AK BB 所以AK 平面BDD B 所以AK BD 所以MO BD 又因为OM是异面直线AA 和BD 都相交故OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 D AB C D M O A B C 22 2 取BB 中点N 连结MN 则MN 平面BCC B 过点N作NH BC 于H 连结MH 则由三垂线定理得BC MH 从而 MHN为二面角M BC B 的平面角 MN 1 NH Bnsin45 122 224 在Rt MNH中 tan MHN 1 2 2 2 4 MN NH 故二面角M BC B 的大小为arctan22 3 易知 S OBC S OA D 且 OBC和 OA D 都在平面BCD A 内 点O到平面MA D 距离h 1 2 VM OBC VM OA D VO MA D 1 3 S MA D h 1 24 解法二 以点D为坐标原点 建立如图所示空间直角坐标系D xyz 则A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 A 1 0 1 C 0 1 1 D 0 0 1 1 因为点M是棱AA 的中点 点O是BD 的中点 所以M 1 0 1 2 O 1 2 1 2 1 2 11 0 22 OM AA 0 0 1 BD 1 1 1 OM AA 0 11 22 OM BD 0 0 所以OM AA OM BD 又因为OM与异面直线AA 和BD 都相交 故OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 4 分 2 设平面BMC 的一个法向量为 1 n x y z BM 0 1 1 2 BC 1 0 1 1 1 0 0 n BM n BC 即 1 0 2 0 yz xz 23 取z 2 则x 2 y 1 从而 1 n 2 1 2 取平面BC B 的一个法向量为 2 n 0 1 0 cos 12 12 12 11 3 9 1 n n n n nn 由图可知 二面角M BC B 的平面角为锐角 故二面角M BC B 的大小为arccos 1 3 9 分 3 易知 S OBC 1 4 S BCD A 12 12 44 设平面OBC的一个法向量为 3 n x1 y1 z1 BD 1 1 1 BC 1 0 0 3 1 0 0 n BD n BC 即 111 1 0 0 xyz x 取z1 1 得y1 1 从而 3 n 0 1 1 点M到平面OBC的距离 d 3 1 2 2 4 2 BM n VM OBC 11221 334424 OBC Sd 12 分 20092009 年高考题年高考题 一 选择题 1 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 体积为2 四棱锥的底面 边长为2 高为3 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 俯视图 24 所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 答案 C 命题立意 本题考查了立体几何中的空间想象能力 由三视图能够想象得到空间的立体图 并能准确地 计算出 几何体的体积 2 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 c 2 m 为 A 48 122 B 48 242 C 36 122 D 36 242 3 正六棱锥 P ABCDEF 中 G 为 PB 的中点 则三棱锥 D GAC 与三棱锥 P GAC 体积之比为 A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 2 4 在区间 1 1 上随机取一个数 x cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 解析 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即 1 1 x 时 222 x 0cos1 2 x 25 区间长度为 1 而cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的区间长度为 2 1 所以概率为 2 1 故选 C 答案 C 命题立意 本题考查了三角函数的值域和几何概型问题 由自变量 x 的取值范围 得到函 数值cos 2 x 的范围 再由长度型几何概型求得 5 如右图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形 且体积为 1 2 则该集合体 的俯视图可以是 答案 C 6 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上 下 东 南 西 北 现有沿该正方体 的一些棱将正方体剪开 外面朝上展平 得到右侧的平面图形 则标 的面的方位是 A 南 B 北 C 西 D 下 解解 展 折问题 易判断选 B 7 如图 在半径为 3 的球面上有 A B C三点 90 ABCBABC 球心O到平面ABC的距离是 3 2 2 则BC 两点的球面距离是 A 3 B C 4 3 D 2 答案 B 8 若正方体的棱长为2 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A 2 6 B 2 3 C 3 3 D 2 3 答案 C 26 9 如图 已知三棱锥的底面是直角三角形 直角边长分别为 3 和 4 过直角顶点的侧棱长为 4 且垂直于底面 该三棱锥的主视图是 答案 B 二 填空题 10 图是一个几何体的三视图 若它的体积是3 3 则 a 答案 3 11 如图是一个几何体的三视图 若它的体积是3 3 则a 12 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 3 cm 答案 18 解析 该几何体是由二个长方体组成 下面体积为1 3 39 上面的长方体体积为 3 3 19 因此其几何体的体积为 18 13 设某几何体的三视图如下 尺寸的长度单位为 m 27 则该几何体的体积为 3 m 答案答案 4 14 直三棱柱 111 ABCABC 的各顶点都在同一球面上 若 1 2ABACAA 120BAC 则此球的表面积等于 解 在ABC 中2ABAC 120BAC 可得2 3BC 由正弦定理 可得ABC 外接圆半径 r 2 设此圆圆心为 O 球心为O 在RT OBO 中 易得球半径5R 故此球的表面积为 2 420R 15 正三棱柱 111 ABCABC 内接于半径为2的球 若 A B两点的球面距离为 则正三棱 柱的体积为 答案 8 16 体积为8的一个正方体 其全面积与球O的表面积相等 则球O的体积等于 答案 8 6 17 如图球 O 的半径为 2 圆 1 O是一小圆 1 2OO A B 是圆 1 O上两点 若 A B 两点间的球面距离为 2 3 则 1 AO B 答案 2 18 已知三个球的半径 1 R 2 R 3 R满足 321 32RRR 则它们的表面积 1 S 2 S 3 S 满足的等量关系是 答案 321 32SSS 19 若球 O1 O2表示面积之比4 2 1 S S 则它们的半径之比 2 1 R R 答案 2 三 解答题 20 本小题满分 13 分 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示 墩的上半部分是正四棱锥 28 PEFGH 下半部分是长方体ABCDEFGH 图 5 图 6 分别是该标识墩的正 主 视图和俯视图 1 请画出该安全标识墩的侧 左 视图 2 求该安全标识墩的体积 3 证明 直线BD 平面PEG 解析 1 侧视图同正视图 如下图所示 该安全标识墩的体积为 P EFGHABCD EFGH VVV 22 1 40604020320003200064000 3 2 cm 如图 连结 EG HF 及 BD EG 与 HF 相交于 O 连结 PO 由正四棱锥的性质可知 PO 平面 EFGH POHF 又EGHF HF 平面 PEG 又BDHFP BD 平面 PEG 29 20072007 20082008 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 20081 2008 广东 广东 将正三棱柱截去三个角 如图 1 所示ABC 分别是GHI 三边的中点 得到几何体如图 2 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 或称左视图 为 答案答案 A A 2 2 20082008 海南 宁夏理 海南 宁夏理 某几何体的一条棱长为7 在该几何体的正视图中 这条棱的投 影是长为6的线段 在该几何体的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为a和b 的线段 则a b的最大值为 A 2 2 B 2 3 C 4 D 2 5 答案答案 C C 解析解析 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算 如图 设长方体的高宽高分别为 m n k 由题意得 222 7mnk 22 6mk 1n 2 1ka 2 1mb 所以 22 1 1 6ab 22 8ab 22222 282816abaabbabab E F D I A HG BC E F D A BC 侧视 图 1图 2 B E A B E B B E C B E D n m k 30 4ab 当且仅当2ab 时取等号 3 3 20082008 山东 山东 下图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 A 9 B 10 C 11 D 12 答案答案 D D 解析解析 考查三视图与几何体的表面积 从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个 圆柱组合而成的 其表面及为 22 411221 312 S 3 3 2007 2007 宁夏理宁夏理 8 8 已知某个几何体的三视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 31 3 4000 cm 3 3 8000 cm 3 3 2000cm 3 4000cm 答案答案 B B 4 4 20072007 陕西理陕西理 6 6 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其中底面的三个 顶点在该球的一个大圆上 则该正三棱锥的体积是 A 4 33 B 3 3 C 4 3 D 12 3 答案答案 B B 二 填空题二 填空题 11 11 20082008 海南 宁夏理科 海南 宁夏理科 一个六棱柱的底面是正六边 形 其侧棱垂直底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 且该六棱柱的体积为 9 8 底面周长为 3 则这个球的体积为 答案答案 3 4 解析解析 令球的半径为R 六棱柱的底面边长为a 高为h 显然有 22 2 h aR 且 2 1 39 6 2 48 363 a Vah ha 1R 3 44 33 VR 12 12 20082008 海南 宁夏文 海南 宁夏文 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直底面 已知该六棱柱 的顶点都在同一个球面上 且该六棱柱的高为3 底面周长为 3 那么这个球的体积为 答案答案 4 3 解析解析 正六边形周长为 得边长为 1 2 故其主对角线为 从而球的直径 2 2 2312R 1R 球的体积 4 3 V 13 13 20072007 天津理天津理 1212 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1 2 3 则此球的表面积为 32 答案答案 14 14 14 20072007 全国全国 理理 15 15 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上 如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm 那么该棱柱的表面积为 cm2 答案答案 24 2 第二部分第二部分 四年联考汇编四年联考汇编 2012 20132012 2013 年联考题年联考题 1 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理 一个几何体的三视图如图所示 其中主 视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的 等腰直角三角形 则该几何体的外接球的表面积为 A B C D 12 4 3 3 12 3 答案 C 解析 由主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形 得到这是一个四棱锥 底面是一个边长是 1 的正方形 一条侧棱 AE 与底面垂直 根据求与四棱锥的对称性知 外接球的直径是 AC 根据直角三角形的勾股定理知 1 1 13AC 半径为 3 2 所以 外接球的面积为 2 3 4 3 2 选 C 2 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理 设表示不同的直线 l m n 表示不同的平面 给出下列四个命题 若 且则 若 且 则 ml m l mlm l 若 则 m n lmn l 若且n 则 m mln l 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 33 答案 B 解析 正确 中当直线时 不成立 中 还有可能相交一点 不成立 正 l 确 所以正确的有 2 个 选 B 3 云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 三 理科 一个几何体的三视图如图 l 所示 其中正视图是一个正三角形 则该几何体的体积为 A 1B C D 3 3 3 2 3 3 答案 B 解析 由三视图可知 此几何体为三棱锥 如图 1 其中正视图为 PAC 是边长为 2 的 正三角形 PD ABC 平面 且 3PD 底面 ABC 为等腰直角三角形 2ABBC 所以体积为 113 322 323 V 故选 B 4 云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理 已知三棱锥的三视图如图所示 则它的外 接球表面积为 图 1 34 A 16B 4C 8D 2 答案 B 解析 由三视图可知该几何体是三棱锥 且三棱锥的高为 1 底面为一个直角三角形 由 于底面斜边上的中线长为 1 则底面的外接圆半径为 1 顶点在底面上的投影落在底面外接 圆的圆心上 由于顶点到底面的距离 与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径 R 为 1 则三棱锥的外接球表面积 选 B 2 44SR 5 云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 对角线 B1D 与平面 A1BC1相交于点 E 则点 E 为 A1BC1的 A 垂心B 内心C 外心D 重心 答案 D 解析 如图 所以 且 1 EB FDBE 2 1BE EF 35 为的中点 选 D F 11 AC 6 云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A B 2012 2 2012 3 C D 322012 5 答案 B 解析 根据三视图可知 这是一个四棱台 所以表面积为 选 4 16SS下 上 2 43 4 12 3 2 S 侧 4 16 12 3 20 12 3 B 7 山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 理 设 b c 表示两条直线 表示两个平面 则下列命题正确的是 A 若B 若 bccb 则 bbcc 则 C 若D 若 cc 则 cc 则 答案 D 解析 A 中 与也有可能异面 B 中也有可能 C 中不一定垂直平面 D 中 cbc c 根据面面垂直的判定定理可知正确 选 D 36 8 山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 设直线 m n 和平面 下列 四个命题中 正确的是 A 若 B 若nmnm 则 则nmnm C 若 D 若 mm则 mmm则 答案 D 解析 因为选项 A 中 两条直线同时平行与同一个平面 则两直线的位置关系有三种 选 项 B 中 只有 Mm n 相交时成立 选项 C 中 只有 m 垂直于交线时成立 故选 D 9 北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学 理 已知 m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确的是 A 若则 B mnmn 若则 C mnmn 若则 D mm 若则 答案 B 解析 根据线面垂直的性质可知 B 正确 北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学 理 一个棱锥的三视图如图 尺寸的 长度单位为m 则该棱锥的体积是 A 3 4 B 8 C 4 D 3 8 答案 A 解析 由三视图可以看出 此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全 等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形 高为 2 底面边长为 2 底面面积 37 1 2 22 2 故此三棱锥的体积为 选 A 14 2 2 33 10 云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理 设动点在棱长为 1 的正方体P 的对角线上 记 当为钝角时 则的取值范围是 1111 ABCDABC D 1 BD 1 1 D P D B APC 答案 1 1 3 解析 由题设可知 以 为单位正交基底 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz 则有 则 得 1 0 0 A 1 1 0 B 0 1 0 C 0 0 1 D 1 1 1 1 D B 所以 11 D PD B 11 1 0 1 1 1 PAPDD A 11 0 1 1 1 1 PCPDDC 显然不是平角 所以为钝角等价于 即 APC APC 0PA PC 即 解得 因此的取值 2 1 1 1 0 1 31 0 1 1 3 范围是 1 1 3 38 11 云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理 已知正三棱锥 点都在ABCP CBAP 半径为的球面上 若两两互相垂直 则球心到截面的距离为 3PCPBPA ABC 答案 3 3 解析 因为在正三棱锥ABC中 PA PB PC两两互相垂直 所以可以把该正三棱锥看P 作为一个正方体的一部分 如图所示 此正方体内接于球 正方体的体对角线为球的直径 球心为正方体对角线的中点 球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥ABC在面P ABC上的高 已知球的半径为 所以正方体的棱长为 2 可求得正三棱锥ABC在面ABC3P 上的高为 所以球心到截面ABC的距离为 2 3 3 2 33 3 33 12 云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 三 理科 正三棱锥 A BCD 内接于球 O 且底面边长为 侧棱长为 2 则球 O 的表面积为 3 答案 16 3 解析 如图 3 设三棱锥的外接球球心为O ABCD 半径为r BC CD BD AB AC AD 2 3 M为正的中心 则DM 1 AM OA OD r 所以 AMBCD 平面BCD 3 22 3 1rr 图 3 39 解得 所以 2 3 r 2 16 4 3 Sr 13 山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科 一个几何体的三视图如图 所示 单位 m 则该几何体的体积为 3 m 答案 4 解析 由三视图可知 该组合体是由两个边长分别为 2 1 1 和 1 1 2 的两个长方体 所 以体积之和为 2 1 1 1 1 24 14 山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 理 一个几何体的三视图如右 图所示 则该几何体的表面积为 答案 24 2 解析 由三视图可知 该组合体下部是底面边长为 2 高为 3 的正四棱柱 上部是半径为 2 的半球 所以它的表面积为 22 4 3 22221224 40 15 天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理 如图为一个几何体的三视图 其 中俯视为正三角形 A B 2 AA 4 则该几何体的表面积为 111 答案 2 324 解析 由三视图可知 该几何体是一个正三棱柱 底面边长为 2 高是 4 所以该三棱 柱的表面积为 2 13 223 2 42 324 22 16 云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 在长方体 中 点在棱 AB 上移动 1111 ABCDABC D 1 1 2ADAAAB E 1 证明 11 D EAD 2 当为的中点时 求点到面的距离 EABE 1 ACD 3 等于何值时 二面角的大小为 AE 1 DECD 4 答案 解 以为坐标原点 直线分别为轴 建立空间直角坐标系 设D 1 DA DC DD x y z 则 2 分AEx 11 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 2 0 ADExAC 1 4 分 1111 1 0 1 1 1