高考数学一轮复习 极值最值知识梳理2 苏教版

用心 爱心 专心1 4 xf 1 xf oaX1 X2X3X4bx y 函数极值与最值函数极值与最值 一 考点说明 导数法处理函数的极值与最值是一 考点说明 导数法处理函数的极值与最值是 3636 个个 B B 级考点之一级考点之一 36 个 B 级要求知识点的考查比例要达到 60 以上 尤其是导数的运算及运用等 仍为 考查重点 0808 年填空题年填空题 1414 题以三次函数为模型考查 题以三次函数为模型考查 1717 题以实际应用为载体考查 题以实际应用为载体考查 0909 年填空题年填空题 3 3 题以三次函数为模型考查 题以三次函数为模型考查 1010 年填空题年填空题 1414 题以分式函数和实际应用为模型结合考查 题以分式函数和实际应用为模型结合考查 2020 题以指对函数模型考查 题以指对函数模型考查 1111 年填空题年填空题 1212 题以指对函数为模型考查 题以指对函数为模型考查 1919 题以三次函数和二次函数为模型综合考查 题以三次函数和二次函数为模型综合考查 应重视导数题的考查 以中档题为主 小题中两年都考了三次函数 应该更加关注指 对数函数 三角函数的导数及相关的超越函数 二 知识梳理 二 知识梳理 1 1 在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 请在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 请 注意以下几点 注意以下几点 极值是一个局部概念 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比 较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示 是极大值点 是极小值点 而 1 x 4 x 4 xf 1 xf 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取 得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 由上图可以看出 在函数取得极值处 如果曲线有切线的话 则切线是水平的 从而有 但反过来不一定 0 x f 基础体验 基础体验 1 1 湖南株洲 08 届二检 已知函数 xfy 的导函数 xfy 的图像如下 则 A A 函数 xf有 1 个极大值点 1 个极小值点 B 函数 xf有 2 个极大值点 2 个极小值点 C 函数 xf有 3 个极大值点 1 个极小值点 X y 1 x x4O o O 2 x 3 x 用心 爱心 专心2 D 函数 xf有 1 个极大值点 3 个极小值点 2 2 08 福建 11 如果函数 y f x 的图象如图所示 那么导函数的图象可能是 yfx 解析 由y f x 的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减 所以其导数y f x 的函数值依次为正负正负 由此可排除 B C D 答案 A 3 2011 山东 9 函数的图象大致是 2sin 2 x yx 解析 函数为奇函数 且 令得 由于函2sin 2 x yx 1 2cos 2 yx 0y 1 cos 4 x 数为周期函数 而当时 当时 cosyx 2x 2sin0 2 x yx 2x 则答案应选 C 2sin0 2 x yx 经典讲练 经典讲练 例题 1 函数在时有极值 则的值分别为 322 f xxaxbxa 1 x10ba 解析 由已知 得 即 2 32 fxxaxb 1 0 1 10 f f 2 23 9 ab aab 解得 34 311 aa bb 或 经检验 当时 不是极值点 当时 符合题意 3 3ab 1x 4 11ab 变式练习 变式练习 1 1 已知函数 当时 有极大值 则的值分别为 23 bxaxy 1x 3 a b 2 x A O y 4 2 x B O y 4 2 x C O y 4 2 x D O y 4 用心 爱心 专心3 答案 6 9 解析 当时 2 32 yaxbx 1x 11 320 3 xx yabyab 即解得 经验证 即为所求 320 3 ab ab 6 9 a b 6 9ab 变式练习 变式练习 2 2 浙江杭州浙江杭州 1111 届月考届月考 已知实数 dcba 成等比数列 且对函数 xxy 2ln 当 bx 时取到极大值c 则ad等于 1 例题 2 10 10 聊城模拟聊城模拟 函数函数在在内有极小值 则实数内有极小值 则实数的取的取 3 2yxaxa 0 1a 值范围是值范围是 3 0 2 解析 解析 令 得 否则函数为单调增函数 若函 2 320yxa 2 3 a x 0a y 数在内有极小值 则 3 2yxaxa 0 1 2 1 3 a 3 0 2 a 变式练习 变式练习 1 1 09 09 济宁联考济宁联考 若函数若函数在在内有极小值 则实数内有极小值 则实数 3 63f xxbxb 0 1 b b的取值范围是的取值范围是 解析解析 由题意 函数图象如右 2 36fxxb fx 即得 0 1 0 0 f f 063 06 b b 1 0 2 b 例题例题 3 3 最值的确定最值的确定 1 1 函数函数 4 0 xxexf x 的最小值是的最小值是 KS5UKS5U 0 0 2 启东中学 08 综合 函数在区间上最大值与最小值分别是 32 23125yxxx 0 3 5 5 15 15 3 设 函数的最大值为 1 最小值为 求 2 1 3 a 32 3 11 2 f xxaxbx 6 2 常数 KS5UKS5U ab 4 潍坊四县一校 10 设a R 若函数3 ax yex x R有大于零的极值点 则 3a 用心 爱心 专心4 课外拓展课外拓展 临沂一中 22 已知函数 321 1 3 Rf xxaxbxxa b为实数 有 极值 且在1 x处的切线与直线01 yx平行 1 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使得函数 xf的极小值为 1 若存在 求出实数a的值 若不存 在 请说明理由 解解 1 321 1 3 f xxaxbx 2 2 fxxaxb 由题意 1 121 fab 2 ba 02 2 有两个不等实根方程有极值 baxxxfxf 22 440 0 abab 由 可得 2 20 20 aaaa 又 故实数a的取值范围是 0 2 a 2 存在 8 3 a 由 1 可知0 2 2 xfbaxxxf令 22 12 2 2 xaaa xaaa x 1 x 1 x 21 xx 2 x 2 x x f 0 0 xf单调增极大值单调减极小值单调增 112 3 1 2 2 2 3 222 axaxxxfxfxx则取极小值时 0630 2 2 22 aaxxx或 2 2 0 20 0 xaaaa 若即则舍 22 222222 2 2 360 0 220 40 8 0 4 242 3 xaxafxxaxaaxa axaaaa 又又 用心 爱心 专心5 3 8 xfa使得函数存在实数 的极小值为 1 反思提炼总结反思提炼总结 与极值的关系与极值的关系 0fx 极值与最值的关系极值与最值的关系 导数方法函数最值的确定与运用导数方法函数最值的确定与运用 考题赏析 考题赏析 2011 年江苏卷 1212 在平面直角坐标系 在平面直角坐标系中 已知点中 已知点 P P 是函数是函数xOy 的图象上的动点 该图象在的图象上的动点 该图象在 P P 处的切线处的切线 交交 y y 轴于点轴于点 M M 过点 过点 P P 作作 的垂的垂 0 xexf x ll 线交线交 y y 轴于点轴于点 N N 设线段 设线段 MNMN 的中点的纵坐标为的中点的纵坐标为 t t 则 则 t t 的最大值是的最大值是 答案 max 11 2 te e 解析 综合考察指数函数 导数的几何意义 导数的应用导数的应用 直线方程及其斜率 直线的位 置关系 难题 设则 过点P 作 的垂线 0 0 x P x e 000 00 0 1 xxx l yeexxMx e l 0000 00 0 xxxx yeexxNex e 000000 000 11 1 22 xxxxxx tx eex eex ee 所以 t 在上单调增 在单调减 00 0 1 1 2 xx teex 0 1 1 max 11 2 te e 2011 年江苏卷 19 已知已知a a b b是实数 函数是实数 函数 和和 23 bxxxgaxxxf x f 是是的导函数 若的导函数 若在区间在区间 I I 上恒成立 则称上恒成立 则称和和 x g xgxf0 xgxf xf 在