2012届高三数学一轮总复习 第十章 立体几何（文）（教师用书）

用心 爱心 专心 1 第十章第十章 立体几何立体几何 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1 认识柱 锥 台 球及其简单组 合体的结构特征 并能用这些特征 描述简单物体的结构 2 能画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等的简易组合 的 三视图 能识别三视图表示的立体 模型 会制作模型 会用斜二测法 画直观图 3 通过观察用平行投影与中心投影 画出的三视图与直观图 了解空间 图形的不同表现形式 4 了解球 棱柱 棱锥 台的表面 积和体积的计算公式 5 掌握和理解点 空间直线 平面 之间的关系 6 掌握空间线线 线面 面面平行 的判定和性质 掌握空间线线 线面 面面垂直的判定和性质 7 掌握空间向量及其基本运算 空间 向量的加法 减法 数乘向量 理 解共线 共面向量 空间向量定理 掌握空间向量的数量积 理解空间 向量坐标概念 运算 法向量 8 理解空间角 会求线线角 线面 角 面面角 9 掌握空间距离 会由坐标求两点 间的距离及点到平面的距离 本章重点 1 正投影与三视 图的画法以及应用 2 几何体的 表面积和体积的计算 3 直线与 直线 直线与平面 平面与平面 的位置关系 4 直线与直线 直 线与平面 平面与平面的平行与 垂直的判定方法和性质 5 利用 空间向量求空间距离和空间角 本章难点 1 利用直线与直线 直线与平面 平面与平面垂直和 平行的判定定理与性质定理解决 有关问题 2 利用空间向量求空 间角 1 三视图结合 几何体求面积 体 积是高考热点 这 也是新课改的新增 内容 空间角是高考 的重点 点 线 面的平行和垂直关 系是考查的切入点 本章高考时一般是 选择填空题至多 1 个 解答题 1 个 多 是以几何体为载体 主要考查平行 垂 直或计算多面体的 面积与体积 空间 角 2 高考考查的热点 是三视图和几何体 的结构特征借以考 查空间想象能力 往往是以选择题 填空题出现 3 核心是以几何体 为载体 考查平行 垂直关系的性质与 判定 用心 爱心 专心 2 知识网络 10 1 空间几何体的结构及其三视图和直观图 典例精析 题型一 结构特征判断 例 1 以下命题错误的个数是 以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴 旋转所得的几何体是圆锥 圆台的任意两条母线的延长线可能相交 也可能不相交 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 三棱锥的四个面可能都是直角三角形 有两个面互相平行 其余各面都是梯形的多面体是棱台 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 解析 错 只能以直角边为轴旋转一周才可 错 必相交 对 如图 底面 ABCD 为矩形 PA 底面 ABCD 时 四个侧面均为直角三角形 对 如图 ABC 90 PA 底面 则四个面均为直角三角形 错 只有侧棱延长交于一点时才是棱台 综上 错误的个数是 3 故选 C 点拨 判断结构特征必须严格依据柱 锥 台 球的定义 结合实际形成一定的空间想象 能力 变式训练 1 给出下列命题 在圆柱的上 下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆柱的母线 用心 爱心 专心 3 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 在圆台的上 下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆台的母线 圆柱的任意两条母线所在直线互相平行 其中正确命题的序号是 解析 题型二 直观图的斜二测画法 例 2 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形 则原来的图形是 解析 按照斜二测画法的作图规则 对四个选项逐一验证 可知只有选项 A 符合题意 点拨 本题已知直观图 探求原平面图形 考查逆向思维能力 要熟悉运用斜二测画法画 水平放置的直观图的基本规则 注意直观图中的线段 角与原图中的对应线段 角的关系 变式训练 2 已知 ABC 的平面直观图 A B C 是边长为 a 的正三角形 求原三角形的 面积 解析 因为直观图的坐标轴成 45 横长不变 竖长画成原来的一半 则还原成原图时将 45 还原成 90 则过 A 作 A O 与 O C 成 45 将其还原成 90 且 AO 2A O 而 A D a 所以 A O a a 所以 AO a 3 2 3 22 6 26 所以 S ABC BC AO a a a2 1 2 1 26 6 2 题型三 三视图与直观图 例 3 四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的三视图如下 1 求出该四棱柱的表面积 2 求证 D1C AC1 用心 爱心 专心 4 3 设 E 是 DC 上一点 试确定 E 的位置 使 D1E 平面 A1BD 并说明理由 解析 1 求得该四棱柱的表面积为 S 11 2 2 2 证明 由三视图得该四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 连接 C1D 因为 DC DD1 所以四边形 DCC1D1 是正方形 所以 DC1 D1C 又 AD DC AD DD1 DC DD1 D 所以 AD 平面 DCC1D1 又 D1C 平面 DCC1D1 所以 AD D1C 因为 AD DC1 平面 ADC1 且 AD DC1 D 所以 D1C 平面 ADC1 又 AC1 平面 ADC1 所以 D1C AC1 3 连接 AD1 AE 设 AD1 A1D M BD AE N 连接 MN 因为平面 AD1E 平面 A1BD MN 要使 D1E 平面 A1BD 须使 MN D1E 又 M 是 AD1 的中点 所以 N 是 AE 的中点 又易知 ABN EDN 所以 AB DE 即 E 是 DC 的中点 综上所述 当 E 是 DC 的中点时 可使 D1E 平面 A1BD 点拨 本题以三视图为载体考查空间线面位置关系的证明以及表面积的计算 解决此类问 题的关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析 从三视图中发现相应的位置关系与数量关 系 然后在直观图中解决问题 变式训练 3 如图所示 甲 乙 丙是三个几何体的三视图 则甲 乙 丙对应的标号依 次是 长方体 圆锥 三棱锥 圆柱 A B C D 解析 选 A 总结提高 学习空间几何体的结构要以对实物的观察想象为基础 再以课本中给定的柱 锥 台 球的 概念为标准对实物进行再认识 通过这一过程提高空间想象能力 10 2 空间几何体的表面积与体积 典例精析 题型一 表面积问题 例 1 圆锥的高和底面半径相等 它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等 求圆柱 的表面积和圆锥的表面积之比 用心 爱心 专心 5 解析 设圆锥的半径为 R 母线长为 l 圆柱的半径为 r 轴截面如图 S 圆锥 R l R R R R R2 22 S 圆柱 2 r r r 4 r2 又 所以 r R R r R r R 1 2 所以 S圆柱 S圆锥 2 1 1 点拨 轴截面是解决内接 外切问题的一种常用方法 变式训练 1 一几何体按比例绘制的三视图如图所示 单位 m 1 试画出它的直观图 2 求它的表面积和体积 解析 1 直观图如图所示 2 该几何体的表面积为 7 m2 体积为 m3 2 3 2 题型二 体积问题 例 2 某人有一容积为 V 高为 a 且装满了油的直三棱柱形容器 不小心将该容器掉在地 上 有两处破损并发生渗漏 其位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为 b c 的地方 且容器盖也被摔开了 盖为上底面 为减少油的损失 该人采用破口朝上 倾斜容器的方式 拿回家 估计容器内的油最理想的剩余量是多少 解析 如图 破损处为 D E 且 AD b EC c BB1 a 则容器内所剩油的最大值为 几何体 ABC DB1E 的体积 因为 1 BCEBD V 11 BCEBA V 而 BBCCA BCEBD V V 11 1 a c 2a 由三棱柱几何性质知 111 BBCCA V V ABCA V 1 2 3 V 3 所以 1 BCEBD V V a c 3a 又因为 ABCA ABCD V V 1 所以 VD ABC b a b a V 3 bV 3a 所以 EDBABC V 1 1 BCEBD V VD ABC V a b c 3a 故油最理想的剩余量为V a b c 3a 点拨 将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体 然后求出这些规则几何体的体积 这是求几何体体积的一种常用的思想方法 变式训练 2 一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器 里面装满水 一铁球沉入水内 用心 爱心 专心 6 有水溢出 容器盖上一平板 恰与球相切 问容器内剩下的水是原来的几分之几 解析 设球的半径为 R 则圆锥的高 h 3R 底面半径 r R 3 V 圆锥 R 2 3R 3 R3 V 球 R3 33 4 3 所以 V球 V圆锥 4 3 R3 3 R3 4 9 所以剩下的水量是原来的 1 4 9 5 9 点拨 本题关键是求圆锥与球的体积之比 作出轴截面 找出球半径和圆锥高 底面半径 的关系即可 题型三 组合体的面积 体积的关系 例 3 底面直径为 2 高为 1 的圆柱截成横截面为长方形的棱柱 设这个长方形截面的一 条边长为 x 对角线长为 2 截面的面积为 A 如图所示 1 求面积 A 以 x 为自变量的函数式 2 求截得棱柱的体积的最大值 解析 1 A x 0 x 2 4 x2 2 V x 1 4 x2x2 4 x2 x2 2 2 4 因为 0 x 2 所以当 x 时 Vmax 2 2 点拨 关键是理解截面 并且注意 x 的范围从而求体积 在求第 2 求体积时还可利用不 等式 变式训练 3 2010 山东检测 把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱 当圆柱的体积 最大时 该圆柱的底面周长与高的比为 A 1 2B 1 C 2 1D 2 解析 设长方形的一条边长为 x cm 则另一条边长为 6 x cm 且 0 x 6 以长为 6 x cm 的边作为围成的圆柱的高 h 若设圆柱的底面半径为 r 则有 2 r x 所以 r 因此圆柱的体积 V 2 6 x 6x2 x3 由于 V 12x 3x2 x 2 x 2 1 4 1 4 令 V 0 得 x 4 容易推出当 x 4 时圆柱的体积取得最大值 此时圆柱的底面周长是 4 cm 圆柱的高 是 2 cm 所以圆柱的底面周长与高的比为 2 1 选 C 总结提高 表面积包含侧面积和底面积 直棱柱的侧棱长即侧面展开图矩形的一边 对于正棱柱 正棱 锥 正棱台 其所有侧面多边形均全等 故可先求一个的侧面积 再乘以侧面多边形的个数 求体积时 常常需要 转变 底面 使底面面积和高易求 另外 对于三棱锥的几何体选择 不同的底面时 利用同一个几何体体积相等 再求出几何体的高 即等体积法 10 3 空间点 线 面之间的位置关系 用心 爱心 专心 7 典例精析 题型一 证明三线共点 例 1 已知空间四边形 ABCD 中 E F 分别是 AB AD 的中点 G H 分别是 BC CD 上的点 且 2 求证 直线 EG FH AC 相交于同一点 P BG GC DH HC 证明 因为 E F 分别是 AB AD 的中点 所以 EF BD 且 EF BD 1 2 又因为 2 所以 GH BD 且 GH BD BG GC DH HC 1 3 所以 EF GH 且 EF GH 所以四边形 EFHG 是梯形 其两腰所在直线必相交 设两腰 EG FH 的延长线相交于一点 P 因为 EG 平面 ABC FH 平面 ACD 所以 P 平面 ABC P 平面 ACD 又平面 ABC 平面 ACD AC 所以 P AC 故直线 EG FH AC 相交于同一点 P 点拨 证明三线共点的方法 首先证明其中的两条直线交于一点 然后证明第三条直线是 经过这两条直线的两个平面的交线 由公理 3 可知 两个平面的公共点必在这两个平面的交 线上 即三条直线交于一点 变式训练 1 如图 在四面体 ABCD 中作截面 PQR PQ CB 的延长线交于 M RQ DB 的延长线交于 N RP DC 的延长线交于 K 求证 M N K 三点共线 证明 KDCRP NDBRQ MCBPQ M N K 在平面 BCD 与平面 PQR 的交线上 即 M N K 三点共线 题型二 空间直线的位置关系 例 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E 是 CD 的中点 连接 AE 并延长与 BC 的延长线交于 点 F 连接 BE 并延长交 AD 的延长线于点 G 连接 FG 求证 直线 FG 平面 ABCD 且直线 FG A1B1 证明 因为 E 为 CD 的中点 在正方体中 AE 平面 ABCD 又 AE BC F 所以 F AE 所以 F 平面 ABCD 同理 G 平面 ABCD 所以 FG 平面 ABCD 因为 ECAB 故在 Rt FBA 中 CF BC 同理 DG AD 1 2 所以在正方体中 CFDG 所以四边形 CFGD 是平行四边形 所以 FG CD 又 CD AB AB A1B1 所以直线 FG A1B1 用心 爱心 专心 8 点拨 空间直线的位置关系 常需利用线面 面面 线线的关系确定 推导时需有理有据 变式训练 2 已知 AC 的长为定值 点 D 平面 ABC 点 M N 分别是 DAB 和 DBC 的重心 求证 无论 B D 如何变换位置 线段 MN 的长必为定值 解析 如图 延长 DM 交 AB 于 F 延长 DN 交 BC 于 E 因为 M N 为重心 所以 F E 分别为 AB BC 的中点 所以 EF AC 且 EF AC 1 2 又在 DEF 中 DM MF DN NE 2 1 所以 MN EF 且 MN EF 所以 MN AC 且 MN AC 2 3 1 3 即 MN 为与 B D 无关的定值 题型三 异面直线所成的角 例 3 在空间四边形 ABCD 中 已知 AD 1 BC 且 AD BC 对角线 BD AC 3 13 2 求 AC 和 BD 所成的角 3 2 解析 作平行线 找出与异面直线所成的角相等的平面角 将空间问题转化为平面 问题 如图所示 分别取 AD CD AB BD 的中点 E F G H 连接 EF FH HG GE GF 由三角形的中位线定理知 EF AC 且 EF GE BD 且 3 4 GE GE 和 EF 所成的锐角 或直角 就是 AC 和 BD 所成的角 13 4 同理 GH HF GH AD HF BC 1 2 3 2 又 AD BC 所以 GHF 90 所以 GF2 GH2 HF2 1 在 EFG 中 EG2 EF2 1 GF2 所以 GEF 90 即 AC 和 BD 所成的角为 90 点拨 立体几何中 计算问题的一般步骤 1 作图 2 证明 3 计算 求异面直线所成 的角常采用 平移线段法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利 用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 计算异面直线所成的角通常放在三 角形中进行 变式训练 3 线段 AB 的两端在直二面角 CD 的两个面内 并与这两个面都成 30 角 求异面直线 AB 与 CD 所成的角 解析 在平面 内作 AE CD 因为 CD 是直二面角 由面面垂直的性质定理 所以 AE 所以 ABE 是 AB 与平面 所成的角 所以 ABE 30 所以 AE AB 同理作 BF CD 则易得 BF AB 1 2 1 2 在平面 内作 BGEF 则四边形 BGEF 是矩形 即 BG GE 又因为 AE BG 所以 AE BG 所以 BG 平面 AEG 所以 BG AG 因为 BG EF 所以 BG CD 所以 ABG 是异面直线 AB 与 CD 所成的角 又因为在 Rt AEG 中 AG AB AE2 EG2AE2 FB2 2 2 用心 爱心 专心 9 所以在 Rt ABG 中 sin ABG AG AB 2 2 所以 ABG 45 总结提高 本节内容主要以四个公理为依托 导出异面直线 等角定理 线线 线面 面面关系 可见 解决此类问题要以公理为标准 以眼前的点 线 面的实际物体为参考 培养空间想象能力 重点是点共线 线共面 异面直线 等角定理应用 10 4 直线 平面平行的判定及其性质 典例精析 题型一 面面平行的判定 例 1 如图 B 为 ACD 所在平面外一点 M N G 分别为 ABC ABD BCD 的 重心 1 求证 平面 MNG 平面 ACD 2 若 ACD 是边长为 2 的正三角形 判断 MNG 的形状并求 MGN 的面积 解析 1 证明 连接 BM BN BG 并延长分别交 AC AD CD 于 E F H 三点 因为 M 为 ABC 的重心 N 为 BAD 的重心 所以 2 BM ME BN NF 所以 MN EF 同理 MG HE 因为 MN 平面 ACD MG 平面 ACD 所以 MN 平面 ACD MG 平面 ACD 因为 MN MG M 所以平面 MNG 平面 ACD 2 由 1 知 平面 MNG 平面 ACD 2 所以 BM ME BN NF MG EH MN EF 2 3 因为 EH AD EF CD 所以 所以 1 2 1 2 MG 1 2AD MN 1 2CD 2 3 MG AD MN CD NG AC 1 3 又 ACD 为正三角形 所以 MNG 为等边三角形 且边长为 2 1 3 2 3 面积 S 3 4 4 9 3 9 点拨 由三角形重心的性质得到等比线段 由此推出线线平行 应用面面平行的判定定理 得出面面平行 变式训练 1 如图 ABCD 是空间四边形 E F G H 分别是四边上的点 且它们共面 并 且 AC 平面 EFGH BD 平面 EFGH AC m BD n 当 EFGH 是菱形时 AE EB 解析 设 AE a EB b m n 由 EF AC 得 EF 同理 EH bm a b an a b 用心 爱心 专心 10 EF EH 所以 bm a b an a b a b m n 题型二 线面平行的判定 例 2 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB M AC N FB 且 AM FN 求 证 MN 平面 BCE 证明 方法一 如图一 作 MP BC NQ BE P Q 为垂足 连接 PQ 则 MP AB NQ AB 所以 MP NQ 又 AM NF AC BF 所以 MC NB 又 MCP NBQ 45 所以 Rt MCP Rt NBQ 所以 MP NQ 故四边形 MPQN 为平行四边形 所以 MN PQ 因为 PQ 平面 BCE MN 平面 BCE 所以 MN 平面 BCE 方法二 如图二 过 M 作 MH AB 于 H 则 MH BC 所以 连接 NH 由 BF AC FN AM 得 AM AC AH AB FN FB AH AB 所以 NH AF BE 因为 MN 平面 MNH 所以 MN 平面 BCE 点拨 解决本题的关键在于找出平面内的一条直线和该平面外的一条直线平行 即线 内 线 外 线 外 平面或转化为证明两个平面平行 方法二中要证明线面平行 通过转化为 证两个平面平行 正确地找出 MN 所在平面是一个关键方法 方法一是利用线面平行的判定来 证明 方法二则采用转化思想 通过证面面平行来证线面平行 变式训练 2 如图所示 已知四边形 ABCD 是平行四边形 点 P 是平面 ABCD 外一点 M 是 PC 的中点 在 DM 上取一点 G 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH 求证 AP GH 证明 如图所示 连接 AC 设 AC 交 BD 于 O 连接 MO 因为四边形 ABCD 是平行四边形 所以 O 是 AC 的中点 又因为 M 是 PC 的中点 所以 MO PA 又因为 MO 平面 BDM PA 平面 BDM 所以 PA 平面 BDM 平面 BDM 平面 APG GH 所以 AP GH 题型三 线面 面面平行的性质 例 3 如图 在四面体 ABCD 中 截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD 试问此截面在什么位 置时其面积最大 解析 因为 AB 平面 EFGH 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG EH 所以 AB FG AB EH 所以 FG EH 同理可证 EF GH 所以截面 EFGH 是平行四边形 设 AB a CD b FGH FG x GH y 则由平面几何知识得 x a CG BC y b BG BC 两式相加得 1 即 y a x x a y b b a 用心 爱心 专心 11 所以 SEFGH FG GH sin x a x sin x a x b a bsin a 因为 x 0 a x 0 且 x a x a 为定值 所以当且仅当 x a x 即 x 时 a 2 此时 SEFGH 即 E F G H 为所属线段中点时 截面面积最大 absin 4 点拨 先利用线面平行的性质 判定截面形状 再建立面积函数求最值 变式训练 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 平面 平行于正方体的体对角线 BD1 则平面 在该正方体上截得的图形不可能为 正方形 正三角形 正六边形 直角梯形 A B C D 解析 选 D 总结提高 线面平行的判定方法之一是线面平行的判定定理 之二是证面面平行 解题关键是在面内找 到一线与面外一线平行 或由线面平行导出面面平行 性质的运用一般要利用辅助平面 10 5 直线 平面垂直的判定及其性质 典例精析 题型一 面面垂直的判定与性质 例 1 平面 平面 A B AB 与平面 所成的角分别为和 求 4 6 AB 与 的交线 l 所成的角的大小 解析 过 A B 分别作 AA l BB l 垂足分别为 A B 则 AA BB 连接 A B AB 则 ABA BAB 6 4 设 AB 1 则 AA AB BB 所以 A B 1 2 2 2 2 2 1 2 过 B 作 BC l 且 BC 连接 A C AC 则 ABC 为 AB 与 l 所成的角 1 2 因为 A B BC 且 B B A B 所以 A B BC 为矩形 所以 A C BC 又因为 AA BC AA A C A 所以 BC 平面 AA C 所以 AC BC 在 Rt ACB 中 cos ABC BC AB 1 2 用心 爱心 专心 12 所以 ABC 即 AB 与 l 所成的角为 3 3 点拨 此题关键是根据面面垂直的性质 构造直角三角形 变式训练 1 如图一所示 已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面为正方形 O1 O 分别为上 下底面的中心 且 A1 在底面 ABCD 内的射影是 O 求证 平面 O1DC 平面 ABCD 证明 要证明平面 O1DC 与平面 ABCD 垂直 考虑到图中已知平面 ABCD 的垂线 A1O 因而设 法在平面 O1DC 中找出 A1O 的平行线 如图二所示 连接 AC BD A1C1 则 O 为 AC BD 的交点 O1 为 A1C1 B1D1 的交点 由棱柱的性质知 A1O1 OC 且 A1O1 OC 所以四边形 A1OCO1 为平行四边形 所以 A1O O1C 又 A1O 平面 ABCD 所以 O1C 平面 ABCD 又 O1C 平面 O1DC 所以平面 O1DC 平面 ABCD 题型二 线面垂直的判定与性质 例 2 Rt ABC 所在平面外一点 S 满足 SA SB SC D 为斜边 AC 的中点 1 求证 SD 平面 ABC 2 若 AB BC 求证 BD 平面 SAC 证明 1 设 E 是 AB 的中点 因为 D 是 AC 的中点 所以 DE BC 又 BC AB 所以 DE AB 因为 SA SB 所以 SE AB 又 SE DE E 所以 AB 平面 SDE 而 SD 平面 SDE 所以 AB SD 又 SA SC D 为 AC 的中点 所以 SD AC 而 AB AC A 所以 SD 平面 ABC 2 若 AB BC 则 BD AC 又由 1 知 SD 平面 ABC 所以 SD BD 而 SD AC D 所以 BD 平面 SAC 点拨 证明直线与平面垂直 关键在于证明直线与平面内的两相交直线垂直 变式训练 2 如图 在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中 BAC 90 BC1 AC 则 C1 在上底面 ABC 上的射影 H 必在 A 直线 AB 上 B 直线 BC 上 C 直线 AC 上 D ABC 内部 解析 选 A 题型三 折叠问题 用心 爱心 专心 13 例 3 在四边形 ABCD 中 AD BC AD AB BCD 45 BAD 90 将 ABD 沿对 角线 BD 折起 记折起后点 A 的位置为 P 且使平面 PBD 平面 BCD 如图所示 1 求证 平面 PBC 平面 PDC 2 在折叠前的四边形 ABCD 中 作 AE BD 于 E 过 E 作 EF BC 于 F 求折叠后的图形中 PFE 的正切值 解析 1 折叠前 在四边形 ABCD 中 AD BC AD AB BAD 90 所以 ABD 为等腰 直角三角形 又因为 BCD 45 所以 BDC 90 折叠后 因为平面 PBD 平面 BCD CD BD 所以 CD 平面 PBD 又因为 PB 平面 PBD 所以 CD PB 又因为 PB PD PD CD D 所以 PB 平面 PDC 又 PB 平面 PBC 故平面 PBC 平面 PDC 2 AE BD EF BC 折叠后的这些位置关系不变 所以 PE BD 又平面 PBD 平面 BCD 所以 PE 平面 BCD 所以 PE EF 设 AB AD a 则 BD a 所以 PE a BE 2 2 2 在 Rt BEF 中 EF BE sin 45 a a 2 2 2 2 1 2 在 Rt PFE 中 tan PFE PE EF 2 2 a 1 2a2 点拨 翻折与展开是一个问题的两个方面 不论是翻折还是展开 均要注意平面图形与立 体图形各个对应元素的相对变化 元素间的大小与位置关系 一般而言 在翻折过程中 处 在同一个半平面内的元素是不变的 弄清这一点是解决这类问题的关键 变式训练 3 如图 平行四边形 ABCD 中 DAB 60 AB 2 AD 4 将 CBD 沿 BD 折 起到 EBD 的位置 使平面 EBD 平面 ABD 1 求证 AB DE 2 求三棱锥 E ABD 的侧面积 解析 1 证明 在 ABD 中 因为 AB 2 AD 4 DAB 60 所以 BD 2 AB2 AD2 2AB ADcos DAB3 所以 AB2 BD2 AD2 所以 AB BD 又因为平面 EBD 平面 ABD 平面 EBD 平面 ABD BD AB 平面 ABD 所以 AB 平面 EBD 因为 DE 平面 EBD 所以 AB DE 2 由 1 知 AB BD 因为 CD AB 所以 CD BD 从而 DE BD 在 Rt DBE 中 因为 DB 2 DE DC AB 2 3 用心 爱心 专心 14 所以 S BDE DB DE 2 1 23 又因为 AB 平面 EBD BE 平面 EBD 所以 AB BE 因为 BE BC AD 4 所以 S ABE AB BE 4 1 2 因为 DE BD 平面 EBD 平面 ABD 所以 ED 平面 ABD 而 AD 平面 ABD 所以 ED AD 所以 S ADE AD DE 4 1 2 综上 三棱锥 E ABD 的侧面积 S 8 2 3 总结提高 垂直关系是空间元素间的重要位置关系之一 是立体几何中的重点 也是历年来高考考查的 点 解此类题的关键是三种垂直关系的相互转化 10 6 空间向量及其运算 典例精析 题型一 共线和共面向量 例 1 设 A B C 及 A1 B1 C1 分别是异面直线 l1 l2 上的三点 而 M N P Q 分别 是线段 AA1 BA1 BB1 CC1 的中点 求证 M N P Q 四点共面 证明 因为NM BA NP 11B A 所以BA 2NM 11B A 2NP 1 2 1 2 又 PQ BC 11C B BC BA 2 NM 11C B 11B A 2 NP 1 2 所以 PQ 2 NM 2 NP NM NP 1 2 所以 PQ NM NP共面 即 M N P Q 四点共面 点拨 可以利用共面向量定理或其推论完成证明 用共线向量定理证明线线平行 从而证 明面面平行 更简捷 使问题简单化 变式训练 1 如图所示 长方体 ABCD A1B1C1D1 中 M 为 DD1 的中点 N AC 且 AN NC 2 求证 A B N M 四点共面 证明 设 1 AA a AB b AD c 则 BA1 b a 因为 M 是 DD1 的中点 所以 MA1 c a 1 2 因为 AN NC 2 所以AN AC b c 所以 NA1 AN 1 AA b c a 2 3 2 3 2 3 b a c a BA1 MA1 2 3 2 3 1 2 2 3 2 3 所以 A B M N 四点共面 题型二 利用向量计算长度和证明垂直 例 2 已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 所有棱长均为 用心 爱心 专心 15 1 BAD BAA1 DAA1 60 1 求 AC1 的长 2 求证 AC1 平面 A1BD 解析 1 设AB a AD b 1 AA c 则 a b b c c a 1 1 cos 60 a2 b2 c2 1 而 1 AC a b c 1 2 所以 1 AC 2 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2b c 2a c 1 1 1 2 2 2 6 即 1 AC 1 2 1 2 1 26 2 证明 因为 BA1 a c 所以 1 AC BA1 a b c a c a2 c2 a b b c 1 1 0 1 2 1 2 所以 1 AC BA1 同理可得 1 AC DB 所以 AC1 平面 A1BD 点拨 利用 a 2 a2 是计算长度的有效方法之一 而利用向量数量积为零是证明垂直问题 的常用方法之一 变式训练 2 已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 侧棱 AA1 长为 b 且 AA1 与 AB AD 的夹角都是 120 求 AC1 的长 解析 1 AC 2 1 AC 2 AB AD 1 AA 2 2 AD2 1 AA 2 2AB AD 2AD 1 AA 2AB 1 AA AB a2 a2 b2 0 2abcos 120 2abcos 120 2a2 b2 2ab 所以 AC1 2a2 b2 2ab 题型三 利用坐标求法向量和证明垂直问题 例 3 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 棱长为 1 E F 分别是 BB1 CD 的中点 1 求证 D1F 平面 ADE 2 求平面 ADE 的一个法向量 解析 1 建立如图所示的直角坐标系 D xyz 则 D1 0 0 1 A 1 0 0 D 0 0 0 F 0 0 E 1 1 1 2 1 2 所以 FD1 0 1 AD 1 0 0 AE 0 1 1 2 1 2 因为 FD1 AD 0 所以 FD1 AD 又 FD1 AE 0 所以 FD1 AE 所以 D1F 平面 ADE 用心 爱心 专心 16 2 由 1 知 D1F 平面 ADE 故平面 ADE 的一个法向量为 FD1 0 1 1 2 点拨 空间向量坐标化 大大降低了立体几何试题的难度 同学们需要善于利用 变式训练 3 已知平面 内有一个点 M 1 1 2 平面 的一个法向量为 n 6 3 6 则下列各点中 在平面 内的是 A A 2 3 3 B B 2 0 1 C C 4 4 0 D D 3 3 4 解析 由于 n 6 3 6 是平面 的法向量 所以它应该和平面 内任意一个向量垂 直 只有在选项 A 中 MA 2 3 3 1 1 2 1 4 1 MA n 0 故选 A 题型四 利用坐标法求解线面及面面位置关系 例 4 如图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E F 分别是 BB1 CD 的中点 1 证明 平面 AED 平面 A1FD1 2 在 AE 上求一点 M 使得 A1M 平面 DAE 解析 1 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz 不妨设正方体的棱长为 2 则 D 0 0 0 A 2 0 0 E 2 2 1 F 0 1 0 A1 2 0 2 D1 0 0 2 设平面 AED 的一个法向量为 n1 x1 y1 z1 则 0 1 2 2 0 0 0 2 1111 1111 zyxDE zyxDA n n 所以 2x1 0 2x1 2y1 z1 0 令 y1 1 得 n1 0 1 2 同理可得平面 A1FD1 的一个法向量为 n2 0 2 1 因为 n1 n2 0 所以平面 AED 平面 A1FD1 2 由于点 M 在直线 AE 上 所以可设AM AE 0 2 1 0 2 可得 M 2 2 于是 MA1 0 2 2 A1M 平面 DAE 则 A1M AE 所 以 MA1 AE 0 2 2 0 2 1 5 2 0 得 故当 AM AE 时 A1M 平面 DAE 2 5 2 5 变式训练 4 已知AE 2 2 1 AC 4 5 3 求平面 ABC 的单位法向量 解析 设平面 ABC 的法向量为 n x y z 则 n AB 0 且 n AC 0 即 2x 2y z 0 且 4x 5y 3z 0 解得 zy zx 2 1 所以 n z 1 1 单位法向量 n0 1 2 n n 1 3 2 3 2 3 总结提高 1 利用共线向量定理 可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题 用心 爱心 专心 17 2 利用共面向量定理 可解决立体几何中直线在平面内 直线与平面平行以及四点共面等问 题 3 同时要重视空间向量基本定理的运用 要注意空间向量基底的选取 用基向量表示出已知 条件和所需解决问题的所有向量 将几何问题转化为向量问题 4 用空间向量处理某些立体几何问题时 除要有应用空间向量的意识外 关键是根据空间图 形的特点建立恰当的空间直角坐标系 若坐标系选取不当 计算量就会增大 总之树立用数解 形的观念 即用数形结合的思想解决问题 5 用向量法解决空间问题 优先考虑建立坐标系 尤其当直角条件较充足时 因为单位正交 基底运用起来最方便 6 建系用坐标法解决空间问题时 写出各点坐标要万分谨慎 10 7 空间角及其求法 典例精析 题型一 求异面直线所成的角 例 1 2010 天津 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 E F 分别是棱 BC CC1 上的点 CF AB 2CE AB AD AA1 1 2 4 1 求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值 2 求证 AF 平面 A1ED 3 求二面角 A1 ED F 的正弦值 解析 方法一 如图所示 建立空间直角坐标系 点 A 为坐标原点 设 AB 1 依题意得 D 0 2 0 F 1 2 1 A1 0 0 4 E 1 0 3 2 易得EF 0 1 DA1 0 2 4 1 2 于是 cos EF DA1 1 1 DAEF DAEF 3 5 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 3 5 2 证明 易知AF 1 2 1 1 EA 1 4 ED 1 0 3 2 1 2 于是AF 1 EA 0 AF ED 0 因此 AF EA1 AF ED 又 EA1 ED E 所以 AF 平面 A1ED 3 设平面 EFD 的法向量 u x y z 不妨令 x 1 可得 u 1 2 1 由 2 可知 AF为平面 A1ED 的一 个法向量 用心 爱心 专心 18 于是 cos u AF AF AF u u 从而 sin u AF 2 3 5 3 所以二面角 A1 ED F 的正弦值为 5 3 方法二 1 设 AB 1 可得 AD 2 AA1 4 CF 1 CE 1 2 连接 B1C BC1 设 B1C 与 BC1 交于点 M 易知 A1D B1C 由 可知 EF BC1 故 CE CB CF CC1 1 4 BMC 是异面直线 EF 与 A1D 所成的角 易知 BM CM B1C 所以 cos BMC CMBM BCCMBM 2 22 1 25 3 5 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 3 5 2 证明 连接 AC 设 AC 与 DE 交于点 N 因为 所以 Rt DCE Rt CBA 从而 CD BC EC AB 1 2 CDE BCA 又由于 CDE CED 90 所以 BCA CED 90 故 AC DE 又因为 CC1 DE 且 CC1 AC C 所以 DE 平面 ACF 从而 AF DE 连接 BF 同理可证 B1C 平面 ABF 从而 AF B1C 所以 AF A1D 因为 DE A1D D 所以 AF 平面 A1ED 3 连接 A1N FN 由 2 可知 DE 平面 ACF 又 NF 平面 ACF A1N 平面 ACF 所以 DE NF DE A1N 故 A1NF 为二面角 A1 ED F 的平面角 易知 Rt CNE Rt CBA 所以 又 AC 所以 CN CN BC EC AC5 5 5 在 Rt CNF 中 NF 在 Rt A1AN 中 A1N CF2 CN2 30 5AN2 A1A2 430 5 连接 A1C1 A1F 在 Rt A1C1F 中 A1F A1C2 1 C1F214 在 A1NF 中 cos A1NF A1N2 FN2 A1F2 2 A1N FN 2 3 所以 sin A1NF 所以二面角 A1 ED F 的正弦值为 5 3 5 3 点拨 本题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查利用 空间向量解决立体几何问题的方法 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 变式训练 1 已知二面角 a 的大小为 直线 AB CD 且 2 AB a CD a 若 AB 与 CD 所成的角为 则 A 0B 2 C D 2 解析 选 D 题型二 求二面角 用心 爱心 专心 19 例 2 2010 北京 如图 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 CE AC EF AC AB CE EF 1 2 1 求证 AF 平面 BDE 2 求证 CF 平面 BDE 3 求二面角 A BE D 的大小 解析 1 设 AC 与 BD 交于点 G 连接 EG 因为 EF AG 且 EF 1 AG AC 1 1 2 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF EG 因为 EG 平面 BDE AF 平面 BDE 所以 AF 平面 BDE 2 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 且 CE AC 所以 CE 平 面 ABCD 如图 以 C 为原点 建立空间直角坐标系 C xyz 则 C 0 0 0 A 0 22 B 0 0 D 0 0 E 0 0 1 F 1 所以CF 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 BE 0 1 DE 0 1 所以CF BE 0 1 1 0 CF 22 DE 1 0 1 0 所以 CF BE CF DE 所以 CF 平面 BDE 3 由 2 知 CF 1 是平面 BDE 的一个法向量 2 2 2 2 设平面 ABE 的法向量 n x y z 则 n BA 0 n BE 0 所以 x 0 且 z y 令 y 1 则 z 22 所以 n 0 1 从而 cos n CF CF CF n n 2 3 2 因为二面角 A BE D 为锐角 所以二面角 A BE D 的大小为 6 点拨 1 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 考查空间 想象力推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化的思想 2 空间的平行与垂直以及空间角是立体几何中重点考查的内容 利用平面的法向量的夹角 求二面角的平面角是向量知识在立体几何中的应用 是求二面角常用方法 变式训练 2 在四面体 ABCD 中 AB 1 AD 2 BC 3 CD 2 ABC DCB 3 则二面角 A BC D 的大小为 2 A B C D 6 3 2 3 5 6 解析 选 B 题型三 求直线与平面所成的角 用心 爱心 专心 20 例3 2010 全国新课标 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足 为 H PH 是四棱锥的高 E 为 AD 的中点 1 求证 PE BC 2 若 APB ADB 60 求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 解析 以 H 为原点 HA HB HP 分别为 x y z 轴 线段 HA 的长为单位长 建 立空间直角坐标系如图 则 A 1 0 0 B 0 1 0 设 C m 0 0 P 0 0 n m 0 n 0 则 D 0 m 0 E 0 1 2 m 2 可得PE n BC m 1 0 1 2 m 2 因为PE BC 0 0 所以 PE BC m 2 m 2 2 由已知条件得 m n 1 3 3 故 C 0 0 D 0 0 E 0 P 0 0 1 3 3 3 3 1 2 3 6 设 n x y z 为平面PEH 的法向量 因此可以取 n 1 0 3 由PA 1 0 1 可得 cos PA n 2 4 所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 2 4 点拨 利用空间向量法求解问题时 适当建立空间坐标系是关键 建立坐标系时要抓住三 条互相垂直且相交于一点的直线 变式训练 3 过正三棱锥 S ABC 的侧棱 SB 与底面中心 O 作截面 SBO 已知截面是等腰三 角形 则侧面与底面所成角的余弦值为 A B C 或D 或 1 3 3 3 1 3 6 6 3 3 6 6 解析 选 C 取 AC 中点 E 分 SB BE 和 SE BE 两种情况讨论 总结提高 1 求两异面直线所成的角 一般用平移法 但若需要补形 则用向量法较好 2 在求空间角的问题上 向量法和几何法各有所长 应斟酌使用 用心 爱心 专心 21 10 8 立体几何综合问题 典例精析 题型一 线面 面面平行与垂直 例 1 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是正方形 EF AB EF FB AB 2EF BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 1 求证 FH 平面 EDB 2 求证 AC 平面 EDB 3 求二面角 B DE C 的大小 解析 方法一 综合法 1 设 AC 与 BD 交于点 G 则 G 为 AC 的中点 连接 EG GH 又 H 为 BC 的中点 所以 GHAB 又 EFAB 所以 EFGH 1 2 1 2 所以四边形 EFHG 为平行四边形 所以 EG FH 而 EG 平面 EDB 所以 FH 平面 EDB 由四边形 ABCD 为正方形 有 AB BC 又 EF AB 所以 EF BC 而 EF FB 所以 EF 平面 BFC 所以 EF FH 所以 AB FH 又 BF FC H 为 BC的中点 所以 FH BC 所以 FH 平面 ABCD 所以 FH AC 又 FH EG 所以 AC EG 又 AC BD EG BD G 所以 AC 平面 EDB 3 EF FB BFC 90 所以 BF 平面 CDEF 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK DE 交 DE 的延长线于 K 则 FKB 为二面角 B DE C 的一个平面角 设 EF 1 则 AB 2 FC DE 23 又 EF DC 所以 KEF EDC 所以 sin