直角三角形和作三角形复习(2)

直角三角形和作三角形直角三角形和作三角形 一一 学习目标和要求学习目标和要求 1 理解和掌握直角三角形的性质和判定定理和方法 2 能灵活运用直角三角形的性质和定理解决相关的问题 非常熟悉直角三角形的性 质和相关知识 3 能用 3 种方法判定直角三角形 判定直角三角形的全等 灵活运用勾股定理 4 能根据题目条件作出相应的三角形 提高一定的作图能力 不要求写出做法 但 作图可能出现在期末考试中 二二 学习方法指导 学习方法指导 1 重点掌握直角三角形的性质和定理 以及其逆定理 每一个定理都要跟相关的图形 练习起来 由图来联想定理 由定理联系图形 也就是数学上常说的数形结合 2 因为几何题就是图形认识和操作 所以不管怎么样的几何题 在开始学习几何的 时候 尽最大可能的画出图形 并学会自己从图形中找规律 那样学习就会快点 同时一 定要注意培养自己的联系能力 由一个图形要能联想到很多相类似的图形 并慢慢地学会 做辅助线 3 多动手练习 多做题 多作图 三 主要内容和知识点 三 主要内容和知识点 1 本讲主要内容有两个 直角三角形的性质和定理 以及逆定理 三角形的作法 重 点在直角三角形的性质和定理上 在中考中经常会出现 并且直角三角形的性质和定理是 经常用到的知识 与很多知识都有联系 常常出现在综合性的问题当中 是每个人都必须 掌握好的知识 请注意重视它 2 直角三角形的性质及判定定理 直角三角形的两锐角互余 反过来讲就是直角三角形的判定定理 有两个角互余的三角形就是直角三角形 直角三角形的性质定理 1 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 反过来讲也是直角三角形的一个判定定理 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半 那么这个三角形是直角三角形 直角三角形的性质定理 2 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所 对的直角边等于斜边的一半 ED C B A 图 1 反过来讲也是直角三角形的一个性质 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜 边的一半 那么这条直角边所对的角等于 30 勾股定理 这是直角三角形中最重要也是最常用的一个性质定理 直角三角形 两直角边 a b 的平方和 等于斜边 c 的平方 a b c 这个定理反应了直角三角形三 边的关系 它不仅可以用来判定是不是直角三角形 还可以根据其中的两边的大小来求出 第三边的大小 反过来讲就是直角三角形的判定定理了 如果三角形的三边 a b c 有下面的关系 a b c 那么这个三角形就是直角三角形 3 辅助定理 角平分线定理 角平分线上任意一点到角两边的距离相等 反过来讲也是个定理 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 线段的垂直平分线定理 垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等 反过来讲也是定理 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 三角形内角和等于 360 等腰三角形底边上三线合一 高 中线 顶角角平分线 常见的一些勾股数 勾 3 股 4 弦 5 勾 5 股 12 弦 13 勾 7 股 24 弦 25 等等 只要满足条件就可以 4 作三角形 主要依据就是三角形全等的判定定理 也就是利用题目中的条件做一 个三角形和题目要求的全等 四 典型例题讲解和分析 例题一 如图 1 在 A 中 C 90 且 过点 求证 分析 我们要证明 实际上可以看做是 DE EA AD 也就是要证明 EA DB AD CE 从而转变为证明 CEA ADB 就可以了 那么如何证明这两个三角形全等 呢 由题意可以知道 ABC 是个等腰直角三角形 也就有了一条边相等了 又因为它们都 是直角三角形 有了一个角相等 所以只要再找一个角 或边 就可以了 证明 大家自己来完成吧 A B C D O 思考题 已知 如图 在 ABC中 A 90 AB AC BD平分 ABC 求证 BC AB AD 例题二 已知 如图 A D 90 BD 与 AC 相交 于点 O 且 BD AC 求证 AB DC 分析 本题是个直角三角形全等的证明题 直角三角形全等证明有个专门的定理 斜边 直角边定理 不是很难 只要找到一条直角边和斜边对应相等就可以了 大家试着自己来证明吧 证明 例题三 如图 某人欲垂直横渡一条河 由于水流的影响 他实际上岸地点 C 偏离了想要 达到的 B 点 140 米 即 BC 140 米 其结果是他在水中实际游了 500 米 即 AC 500 米 求该河 AB 处的宽度 分析 这是个勾股定理的应用题 由图可以直接看出 ABC 是个直角三角形 那么它的三 边就满足两直角边的平方和等于斜边的平方 所以可以直接求解 解 由图可知 ABC 是个直角三角形 AB BC AC 又 AC 500 BC 140 AB BC AC AB 480 米 答 河 AB 的宽度为 480 米 D B A C DC B A 例题四 如图 已知在四边形ABCD中 AB 2 cm BC cm CD 5 cm DA 4 5 cm B 90 求四边形的面积 分析 四边形可以看做是两个三角形拼成 如果拼成这个四边形的两个三角形都是直角三 角形就能很快计算出四边形的面积 等于两个直角三角形的面积和 所以首先连接 AC 并根据 AB BC 的大小可以 求出 AC 的大小 在 ACD 中 知道了三边的大小 可以判定为直角三角形 思路清楚了 请大家自己来求解 解 课时训练 1 如图 某人在B处通过平面镜看见在B正上方 2 米处的A物体 已知物体A到平面镜的 距离为 3 米 问B点到物体A的像A 的距离是多少 2 如图 一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马 而他正位于他的小屋 B 的 西 8km 北 7km 处 他想把他的马牵到小河边去饮水 然后回家 他要完成这件事情所走的最 短路程是多少 A B 小河 东 北 牧童 小屋 3 如图 在波平如镜的湖面上 有一朵盛开的美丽的红莲 它高出水面 3 尺 突然一阵大 风吹过 红莲被吹至一边 花朵刚好齐及水面 如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺 请 问水深多少 课后训练 1 如图所示 已知 是等腰三角形 AB AC AD 是高 ABC 求证 1 BD DC 2 CADBAD 2 如图所示 在中 AD 是它的角平分线 且 BD CD DE DF 分别垂直于 AB AC ABC 垂足为 E F 求证 EB FC 3 判断下列命题 1 在中 两锐角互余 2 有两个锐角不互余的三角形不是ABCRt 直角三角形 3 一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 4 有两个锐角对应相等 的两个直角三角形不一定全等 以上正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 不能判定两个直角三角形全等的方法是 A 两个直角边对应相等 B 斜边和一锐角对应相等 C 斜边和一条直角边对应 相等 D 面积相等 5 三角形中 若一个角等于其他两个角的差 则这个三角形是 A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 等腰三形 6 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高分别相等 那么这两个三角形第三边所对 的角的关系是 A 相等 B 不相等 C 互余 D 互补或相等 A B C D A BC E F D 7 在中 A B C 1 2 3 则 B 这个三角形为 ABC 8 已知 C 90 AB 5 BC 4 AC 3 则的周ABCRt CBARt C CBA 长 面积 斜边上的高为 9 如图所示 在和中 CD 分别是高 并且 AC CD ABC CBA DC CA DC 求证 BCAACB ABC CBA 10 如图所示 A E F B 四点共线 AC CE BD DF AE BF AC BD 求证 ACF BDE 11 如图所示 已知 AB CD AD BC AEBD CFBD 垂足分别为 E F 求证 AE CF 12 如图所示 已知 B E F C 在同一直线上 AFBC DEBC 垂足分别为 F E AB DC BE CF 求证 AB CD 13 如图所示 已知 ABAC ACCD AD BC 求证 1 AB CD 2 AD BC A B C F D E AB C D A B C D A B C D F E A BC D E F A BC D A B CD L 第 15 题图 C A D B 14 已知如图 的高 BD CE 相交于 O 且 OD OE 求证 AB AC ABC 思考题 15 如图 A B 两个小集镇在河流 CD 的同侧 分别到