2011年高考数学 第二章 第三节函数的值域与最值训练

1 同步检测训练同步检测训练 一 选择题 1 2009 湖北八校联考 设 f x 则 f f f 2 f 3 1 x2 1 x2 1 2 1 3 A B 35 12 35 12 C 1 D 0 答案 D 解析 f x f 0 1 x 1 x2 1 x2 x2 1 1 x2 f f 2 0 1 2 f f 3 0 1 3 2 2009 湖北华师一附中 4 月模拟 函数 f x 的图象是如图所示的折线段 OAB 若点 A 1 2 B 3 0 函数 g x x 1 f x 则函数 g x 的最大值为 A 0 B 1 C 2 D 4 答案 B 2 答案 C 解析 由 f x 0 可得 x 0 或 x 1 且 x 1 时 f x 1 x 0 时 f x 0 又 g x 为 二次函数 其值域为 a b 而 f g x 的值域是 0 知 g x 0 故选 C 5 已知二次函数 f x ax2 bx c 的导数为 f x f 0 0 对于任意实数 x 有 f x 0 则的最小值为 f 1 f 0 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 答案 C 解析 f 0 b 0 f x 0 恒成立得Error Error 00 c 0 1 1 1 2 故选 C f 1 f 0 a b c b a c b 2 ac b 2 b2 4 b 6 把长为 12 cm 的细铁丝截成两段 各自围成一个正三角形 那么这两个正三角形面 积之和的最小值是 A cm2 B 4 cm2 3 3 2 C 3 cm2 D 2 cm2 23 答案 D 解析 设其中一段长为 3x 则另一段为 12 3x 则所折成的正三角形的边长分别为 x 4 x 它们的面积分别为x2 4 x 2 则它们的面积之和为 S x2 4 x 3 4 3 4 3 4 3 4 2 2x2 8x 16 x 2 2 4 可见当 x 2 时 两个正三角形面积之和的最小值为 2 3 4 3 2 3 cm2 故选 D 3 7 在区间 1 5 3 上 函数 f x x2 bx c 与函数 g x x 同时取到相同的最小值 1 x 1 则函数 f x 在区间 1 5 3 上的最大值为 A 8 B 6 C 5 D 4 答案 D 解析 g x x 1 1 2 1 3 当且仅当 x 2 时 g x 1 x 1 x 1 1 x 1 min 3 f x x 2 2 3 在区间 1 5 3 上 f x max f 3 4 故选 D 8 2009 南昌二调 函数 f x 若 f 4x1 f 4x2 1 x1 1 x2 1 则 f x1 x2 的 log2x 1 log2x 1 最小值为 A B 2 3 1 3 C 2 D 2 答案 B 解析 依题意得 f x 1 2 log2x 1 1 1 1 2 log2 4x1 1 2 log2 4x2 1 由此解得 log2x2 log2 x2x1 log2x2 log2x1 log2x1 3 log2x1 log2x1 1 3 log2x1 log2x1 1 log2x1 2 log2x1 1 log2x1 1 4 log2x1 1 4 log2x1 1 2 2 2 故 f x1x2 1 1 f x1 x2 的 4 log2x1 1 log2x1 1 2 log2 x1x2 1 2 2 1 1 3 最小值是 故选 B 1 3 二 填空题 9 设 a b R 记 max a b Error Error 函数 f x max x 1 x 2 x R 的最小值是 答案 3 2 解析 如下图所示 函数 y max x 1 x 2 的图象为图中实线部分 max x 1 x 2 的最小值为 3 2 10 规定记号 表示一种运算 即 a b a b a b R 若 1 k 3 则函 ab 数 f x k x 的值域是 答案 1 4 解析 由题意 1 k 1 k 3 解得 k 1 k f x 1 x x 而 f x x 1 在 0 上递增 x f x 1 11 已知函数 f x 2 log3x x 1 9 则函数 y f x 2 f x2 的值域为 答案 6 13 解析 f x 2 log3x x 1 9 y f x 2 f x2 的定义域为Error Error 解得 1 x 3 即定义域为 1 3 0 log3x 1 又 y f x 2 f x2 2 log3x 2 2 log3x2 log3x 2 6log3x 6 log3x 3 2 3 0 log3x 1 6 y 13 故函数的值域为 6 13 三 解答题 12 求下列函数的值域 1 y x2 4x 6 x 1 5 2 y 5x 1 4x 2 3 y 2x x 1 5 13 2009 山东烟台高三模块检测 设函数 g x x3 ax2 bx a b R 在其图象上一点 1 3 1 2 P x y 处的切线的斜率记为 f x 1 若方程 f x 0 有两个实根分别为 2 和 4 求 f x 的表达式 2 若 g x 在区间 1 3 上是单调递减函数 求 a2 b2的最小值 解 1 根据导数的几何意义知 f x g x x2 ax b 由已知 2 4 是方程 x2 ax b 0 的两个实数 由韦达定理 Error Error Error Error f x x2 2x 8 2 g x 在区间 1 3 上是单调减函数 在 1 3 区间上恒有 f x g x x2 ax b 0 即 f x x2 ax b 0 在 1 3 上恒成立 这只需满足Error Error 即可 也即Error Error 而 a2 b2可视为平面区域Error Error 内的点到原点距离的平方 其中点 2 3 距离原点最近 当Error Error 时 a2 b2有最小值 13 14 已知 f x 1 1 x 1 当 x 2 时 求 f x 的值域 1 2 2 是否存在实数 a b a b 使得函数 f x 的定义域与值域都是 a b 若存在 求出 a b 的值 若不存在 请说明理由 6 解 1 f x 1 Error Error 1 x 当 x 1 时 1 0 1 1 2 1 x 当 x 1 2 时 1 0 1 x 1 2 f x 的值域为 0 1 2 不存在 理由 假设存在实数 a b 使得函数 f x 的定义域与值域都为 a b 则当 a ba 1 时 Error Error 方程组无解 当 0 a b 1 时 有Error Error a b 与 a b 矛盾 当 a 0 b0 恒成立 由于二次函数 f x x2 ax 1 对应的抛物线开口向上 只需对应判别式小于零 即 a2 4 0 解得 2 a0 两种情况讨论 a 0 时 原函数为 y lg1 0 对任意 x R 都成立 a 0 时 只能 a 0 否则 a 0 必存在 x0使 ax ax0 1 0 2 0 此时须满足Error Error 即Error Error 解得 0 a 4 综上 0 a0 恒成立得出 0 从而得 2 a 2 是错误的 可以 这样想 不妨设 x2 ax 1 min