2012年全国各地中考数学试卷分类汇编 专项11开放探索型问题

用心 爱心 专心1 20122012 年全国各地中考数学试卷分类汇编专项十一年全国各地中考数学试卷分类汇编专项十一 开放探索型问题开放探索型问题 12 2012 山东日照 12 3 分 如图 在斜边长为 1 的等腰直角三角形OAB中 作内 接正方形A1B1C1D1 在等腰直角三角形OA1B1中 作内接正方形A2B2C2D2 在等腰直角三角 形OA2B2中 作内接正方形A3B3C3D3 依次作下去 则第n个正方形AnBnCnDn的边长 是 A 1 3 1 n B n 3 1 C 1 3 1 n D 2 3 1 n 解析 设正方形A1B1C1D1的边长为 x 则AC1 C1D1 D1 B x 故3x 1 x 3 1 同理 正方形A2B2C2D2的边 长为 2 3 1 故可猜想第n个正方 形 AnBnCnDn的边长是 n 3 1 解答 选 B 点评 本题是规律探究性问题 解题时 先从较简单的特例入手 从中探究出规律 再用得到的规律解答问题即可 本题考查 了等腰直角三角形的性质以及学生分析问 题的能力 解题的关键是求正方形 A1B1C1D1的边长 2012 河北省 25 10 分 25 本小题满分 10 分 如图 14 A 5 0 B 3 0 点 C 在 y 轴的正半轴上 CBO 45 CD AB CDA 90 点 P 从点 Q 4 0 出发 沿 x 轴向左以每秒 1 个单位的速度运动 运动时间为 t 秒 1 求点 C 的坐标 2 当 BCP 15 时 求 t 的值 3 以点 P 为圆心 PC 为半径的 P 随点 P 的运动而变化 当 P 与四边形 ABCD 的边 或边所在直线 相切时 求 t 的值 解析 在直角三角形 BCO 中 CBO 45 OB 3 可得 OC 3 因此点 C 的坐标为 0 3 2 BCP 15 只是提及到了角的大小 没有说明点 P 的位置 因此分两种情况考虑 点 P 在点 B 的左侧和右侧 3 P 与四边形 ABCD 的边 或边所在直线 相切 而四边 O A1 B1 C1D1 AB A2B2 C2D2 用心 爱心 专心2 形有四条边 肯定不能与 AO 相切 所以要分三种情况考虑 答案 解 1 BCO CBO 45 OC OB 3 又 点 C 在 y 轴的正半轴上 点 C 的坐标为 0 3 2 分 2 当点 P 在点 B 右侧时 如图 2 若 BCP 15 得 PCO 30 故 OP OCtan30 3 此时34 t 4 分 当点 P 在点 B 左侧时 如图 3 由 BCP 15 得 PCO 60 故 PO OCtan60 33 此时 t 4 33 t 的值为 4 3或 4 33 6 分 3 由题意知 若 P 与四边形 ABCD 的边都相切 有以下三种情况 当 P 与 BC 相切于点 C 时 有 BCP 90 从而 OCP 45 得到 OP 3 此时 t 1 7 分 当 P 与 CD 相切于点 C 时 有 PC CD 即点 P 与点 O 重合 此时 t 4 8 分 当 P 与 AD 相切时 由题意 DAO 90 点 A 为切 点 如图 4 2 22 9tPAPC 2 2 4 tPO 于是 2 22 349 tt 解得 t 5 6 t 的值为 1 或 4 或 5 6 0 分 点评 本题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用 在今后的教学中多渗透考虑问题 要全面 不重不漏 培养学生优秀的学习品质 有一定难度 2012 河北省 26 12 分 26 本小题满分 12 分 如图 15 1 和图 15 2 在 ABC 中 AB 13 BC 14 13 5 cos ABC 探究 如图 15 1 AH BC 于点 H 则 AH AC ABC 的面积 S ABC 拓展 如图 15 2 点 D 在 AC 上 可以与点 A C 重合 分别过点 A C 作直 线 BD 的垂线 垂足为 E F 设 BD x AE m CF n 当点 D 与点 A 重合时 我们认为 S ABC 0 1 用含 x m 或 n 的代数式表示 S ABD及 S CBD 2 求 m n 与 x 的函数关系式 并求 m n 的最大值和最小值 用心 爱心 专心3 3 对给定的一个 x 值 有时只能确定唯一的点 D 指出这样的 x 的取值范围 发现 请你确定一条直线 使得 A B C 三点到这条直线的距离之和最小 不必写出过程 并写出这个最小值 解析 探究 根据三角函数和勾股定理可以很快求出 AH 和 AC 的值 进而求出三角形的 面积 拓展 1 利用所给数据 写出表示两个三角形面积的代数式 2 利用 1 中的式子 用 x 表示 m 和 n 再求 m n 的值 点 D 在 AC 上 BD 的长度可以认为是点 D 到 AC 的距离 所以当 BD AC 时 x 最小 是三角形 AC 边上的高 最大值是 BC 的长度 容易求出的最大 值和最小值 3 根据垂线段最短和轴对称可知 点 D 唯一时 只能是点 D 是垂足时和点 D 在点 A 关于垂足的对称点的下方时两种情况 发现 满足条件的直线就是 AC 所在直线 A B C 三点到这条直线的距离之和的最小值就 是 m n 的最小值 答案 解 探究 12 15 84 3 分 拓展 1 由三角形面积公式得mx 2 1 ABD S nxS CBD 2 1 4 分 2 由 1 得 x 2 ABD S m x S n CBD 2 m n x SS CBDABD 2 x 2 x 168 5 分 由于 AC 边上的高为 5 56 15 842 15 2 ABC S x 的取值范围为14 5 56 x m n 随 x 的增大而减小 当 x 5 56 时 m n 的最大值为 15 7 分 当 x 14 时 m n 的最小值为 12 8 分 3 x 的取值范围是 5 56 x或1413 x 10 分 发现 用心 爱心 专心4 AC 所在的直线 11 分 最小值为 5 56 12 分 点评 此题为探究题型 前半部分难度较小 在确定 x 的取值范围时 学生不容易想到 第 3 中 x 的取值范围也不容易想到 是本题的难点 探究就是上边知识点的一个应用 相对来说简单一些 整体来说 此题难度偏难 有一定挑战性 24 2012 湖北省恩施市 题号 24 分值 12 如图 12 已知抛物线y x2 bx 与一 直线相交于 A 1 0 C 2 3 两点 与 y 轴交与点 N 其顶点为 D 1 求抛物线及直线 A C 的函数关系式 2 设点 M 3 m 求使 MN MD 的值最小时 m 的值 3 若抛物线对称轴与直线 AC 相交于点 B E 为直线 AC 上任意一点 过 E 作 EF BD 交 抛物线于点 F 以 B D E F 为顶点的四边形能否为平行四边形 若能 求点 E 的坐标 若不能 请说明理由 4 若点 P 是该抛物线上位于直线 AC 上方的一动点 求 APC 面积的最大值 解析 1 直接将 A C 两点的坐标代入y x2 bx 和 y kx b 即可 2 本题实质是在直线 x 3 上找一点 M 使 MN MD 的值最小 作 N 关于 x 3 的对称点 连接 D N1 求直线 D N1和 x 3 的交点可得 m 的值 3 BD EF 是平行四边形的邻边 分点 E 在线段 AC 和线段 AC 或 CA 延长线上两种可 能来考虑 BD 长可求 EF BD 点 F 和点 E 横坐标相同 点 F 纵坐标等于点 E 纵坐标加 或减 BD 长度 设点 E x y 则点 F 坐标 x y 3 或 x y 3 代入抛物线表达式 可求解 4 作 CQ x 轴于 Q 作 PG x 轴 交 AC 于 H 则点 H 和点 P 横坐标相同 设二者横坐标 用心 爱心 专心5 为 x 根据直线与抛物线表达式可用分别表示出相应纵坐标 进而用 x 表示 PH 的长度 根 据 PAC 面积等于 2 1 PH AQ AQ 为定值 可讨论其最值 答案 解 设直线AC的解析式为 y kx n 点 A 1 0 C 2 3 在A C上 可得 nk nk 23 0 解得 k 1 n 1 AC的解析式为 y x 1 把A 1 0 C 2 3 y x2 bx cb cb 243 10 解得b 2 c 3 抛物线的解析式为y x2 2x 3 N 0 3 D 1 4 2 作 N 关于 x 3 的对称点 N1 连接 DN1 则 N1 6 3 设直线 D N1的解析式为 y px q 则有 qp qp 63 4 p 5 1 q 5 21 D N1的解析式 y 5 1 x 5 21 当 M 3 m 在 D N1上时 MN MD 的值最小 m 5 1 3 5 21 5 18 3 易知 B 1 2 又 D 1 4 BD 2 因为点 E 在 AC 上 设点 E x x 1 1 当点 E 在线段 AC 上时 点 F x x 3 代入 y x2 2x 3 得 x 3 x2 2x 3 解得 x 0 或 1 不符合题意舍去 E 2 当点 E 在线段 AC 或 CA 延长线上时 点 F x x 1 代入 y x2 2x 3 得 x 1 x2 2x 3 解得 x 2 171 所以 E 2 171 2 171 E 2 171 2 171 综上所述 当点 E 0 1 2 171 2 171 或 2 171 2 171 时以 B D E F 为顶点的四边形能否为平行四边形 4 作 CQ x 轴于 Q 作 PG x 轴 交 AC 于 H 设 H x x 1 则 P x x2 2x 3 所以 PH x2 2x 3 x 1 x2 x 2 又 S PAB S PAH S PBH 2 1 PH AQ 2 1 x2 x 2 3 2 3 x 2 1 2 8 27 APC 面积的最大值是 8 27 的交点可得 m 的值 点评 本题是存在性探索性问题 在解决这一类存在性探索问题时主要应注意 首先假 定这个数学对象已经存在 根据数形结合的思想 将其构造出来 然后再根据已知条件与 有关性质一步步地进行探索 如果探索出与条件相符的结果 就肯定存在 否则不存在 探索过程就是理由 本题主要考查了用待定系数法求解析式 勾股定理 解方程组等 用到 用心 爱心 专心6 的数学数学有函数思想 方程思想 数形结合思想 对称思想 分类讨论思想等 题目综 合性强 难度大 但是考查的知识面较广 是一个区分度很大题目 28 2012 湖南衡阳市 28 10 如图所示 已知抛物线的顶点为坐标原点 O 矩形 ABCD 的顶点 A D 在抛物线上 且 AD 平行 x 轴 交 y 轴于点 F AB 的中点 E 在 x 轴上 B 点的 坐标为 2 1 点 P a b 在抛物线上运动 点 P 异于点 O 1 求此抛物线的解析式 2 过点 P 作 CB 所在直线的垂线 垂足为点 R 求证 PF PR 是否存在点 P 使得 PFR 为等边三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明 理由 延长 PF 交抛物线于另一点 Q 过 Q 作 BC 所在直线的垂线 垂足为 S 试判断 RSF 的形 状 解析 1 根据题意能判断出点 O 是矩形 ABCD 的对角线交点 因此 D B 关于原点对称 A B 关于 x 轴对称 得到 A D 的坐标后 利用待定系数法可确定抛物线的解析式 2 首先根据抛物线的解析式 用一个未知数表示出点 P 的坐标 然后表示出 PF RF 的长 两者进行比较即可得证 首先表示 RF 的长 若 PFR 为等边三角形 则满足 PF PR FR 列式求解即可 根据 的思路 不难看出 QF QS 若连接 SF RF 那么 QSF PRF 都是等腰三角形 先用 SQF RPF 表示出 DFS RFP 的和 用 180 减去这个和值即可判断出 RSF 的 形状 答案 解 1 抛物线的顶点为坐标原点 A D 关于抛物线的对称轴对称 E 是 AB 的中点 O 是矩形 ABCD 对角线的交点 又 B 2 1 A 2 1 D 2 1 由于抛物线的顶点为 0 0 可设其解析式为 y ax2 则有 4a 1 a 抛物线的解析式为 y x2 2 证明 由抛物线的解析式知 P a a2 而 R a 1 F 0 1 则 则 PF a2 1 PR a2 1 PF PR 用心 爱心 专心7 由 得 RF 若 PFR 为等边三角形 则 RF PF FR 得 a2 1 即 a4 a2 3 0 得 a2 4 舍去 a2 12 a 2 a2 3 存在符合条件的 P 点 坐标为 2 3 2 3 同 可证得 QF QS 在等腰 SQF 中 1 180 SQF 同理 在等腰 RPF 中 2 180 RPF QS BC PR BC QS PR SQP RPF 180 1 2 360 SQF RPF 90 SFR 180 1 2 90 即 SFR 是直角三角形 点评 该题考查了二次函数的性质及解析式的确定 矩形的性质 特殊三角形的判定等知 识 综合性较强 在答案题目时 要注意数形结合 并灵活应用前面小题中证得的结论 27 2012 贵州省毕节市 27 16 分 如图 直线1经过点 A 1 0 直线2经过点 B 3 0 1 2均为与y轴交于点 C 0 3 抛物线 0 2 acbxaxy经过 A B C 三点 1 求抛物线的函数表达式 2 抛物线的对称轴依次与x轴交于点 D 与2交于点 E 与抛物线交于点 F 与1交于点 G 求证 DE EF FG 3 若1 2于y轴上的 C 点处 点 P 为抛物线上一动点 要 使 PCG 为等腰三角形 请写出符合条件的点 P 的坐标 并简述理由 解析 1 已知 A B C 三点坐标 利用待定系数法求出 抛物线的解析式 2 D E F G 四点均在对称轴 x 1 上 只要分别求出 用心 爱心 专心8 其坐标 就可以得到线段 DE EF FG 的长度 D 是对称 轴与 x 轴交点 F 是抛物线顶点 其坐标易求 E 是对称轴 与直线 l2交点 需要求出 l2的解析式 G 是对称轴与 l1的交 点 需要求出 l1的解析式 而 A B C 三点坐标已知 所 以 l1 l2的解析式可以用待定系数法求出 至此本问解决 3 PCG 为等腰三角形 需要分三种情况讨论 如解答图所示 在解答过程中 充分注 意到 ECG 为含 30 度角的直角三角形 P1CG 为等边三角形 分别利用其几何性质 则本 问不难解决 解答 解 1 依题意 得 c cba cba 3 390 0 解得 3 3 32 3 3 c b a 抛物线的函数表达式是y 3 3 x2 3 32 x 3 2 直线l1经过点A 1 0 C 0 3 直线l1的函数表达式为y1 3x 3 直线l2经过点B 3 0 C 0 3 直线l2的函数表达式为y2 3 3 x 3 又 抛物线的对称轴是x 1 点D的坐标为 1 0 点E的坐标为 1 3 32 点F的坐标为 1 3 34 点G的坐标为 1 23 DE EF FG 3 32 3 P点的坐标为 P1 2 3 P2 1 3 34 理由 分三种情况 以G点为圆心 GC长为半径作弧 交抛物线于点C和点P1 连结CP1 GP1 所以GC GP1 由 等腰三角形的三线合一性质 或抛物线的对称性 可知点P1与点C关于直线x 1对称 所以 点P1的坐标为 2 3 用心 爱心 专心9 以点C为圆心 CG长为半径作弧 因为 CGF 30 所以 CGP1 60 即 CGP1是等边 三角形 又因为AC CG 2 所以作出的弧与抛物线交于点A和点P1 但A C G在同一条直线 上 不能组成三角形 作线段CG的垂直平分线 因为 CGP1是等边三角形 所以P1点在线段CG的垂直平分线上 连接CF 由于l1 l2于点C F是EG的中点 所以FC FG 即F点也在线段CG的垂直平分线上 所以P2点与F点重合 即P2点的坐标是 1 3 34 综上所述 点P的坐标是P1 2 3 P2 1 3 34 点评 作为中考压轴题 本题考查的知识点比较多 包括二次函数的图象与性质 待定系 数法求函数 二次函数 一次函数 解析式 等腰三角形 等边三角形以及勾股定理 等 难点在于第 3 问 需要针对等腰三角形 PCG 的三种可能情况分别进行讨论 在解 题过程中 需要充分挖掘并利用题意隐含的条件 例如直角三角形 等边三角形 这样 可以简化解答过程 29 2012 江苏苏州 29 12 分 如图 已知抛物线 y x2 b 1 x b 是实数且 b 2 与 x 轴的正半轴分别交于点 A B 点 A 位于点 B 的左侧 与 y 轴的正半轴交于点 C 1 点 B 的坐标为 b 0 点 C 的坐标为 0 用含 b 的代数式表示 2 请你探索在第一象限内是否存在点 P 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b 且 PBC 是 以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形 如果存在 求出点 P 的坐标 如果不存在 请说明 理由 3 请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两 个三角形均相似 全等可作相似的特殊情况 如果存在 求出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 分析 1 令 y 0 即 y x2 b 1 x 0 解关于 x 的一元二次方程即可求出 A B 横坐 标 令 x 0 求出 y 的值即 C 的纵坐标 2 存在 先假设存在这样的点 P 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b 且 PBC 是 以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形 设点 P 的坐标为 x y 连接 OP 过 P 作 用心 爱心 专心10 PD x 轴 PE y 轴 垂足分别为 D E 利用已知条件证明 PEC PDB 进而求 出 x 和 y 的值 从而求出 P 的坐标 3 存在 假设存在这样的点 Q 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两个三角形 均相似 有条件可知 要使 QOA 与 QAB 相似 只能 QAO BAQ 90 即 QA x 轴 要使 QOA 与 OQC 相似 只能 QCO 90 或 OQC 90 再分别讨论求出满足题 意 Q 的坐标即可 解答 解 1 令 y 0 即 y x2 b 1 x 0 解得 x 1 或 b b 是实数且 b 2 点 A 位于点 B 的左侧 点 B 的坐标为 b 0 令 x 0 解得 y 点 C 的坐标为 0 故答案为 b 0 0 2 存在 假设存在这样的点 P 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b 且 PBC 是以点 P 为直角顶 点的等腰直角三角形 设点 P 的坐标为 x y 连接 OP 则 S四边形 POCB S PCO S POB x b y 2b x 4y 16 过 P 作 PD x 轴 PE y 轴 垂足分别为 D E PEO EOD ODP 90 四边形 PEOD 是矩形 EPO 90 EPC DPB PEC PDB PE PD 即 x y 由解得 由 PEC PDB 得 EC DB 即 b 解得 b 2 符合题意 P 的坐标为 3 假设存在这样的点 Q 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相 似 QAB AOQ AQO QAB AOQ QAB AQO 要使 QOA 与 QAB 相似 只能 QAO BAQ 90 即 QA x 轴 用心 爱心 专心11 b 2 AB OA Q0A ABQ 只能 AOQ AQB 此时 OQB 90 由 QA x 轴知 QA y 轴 COQ OQA 要使 QOA 与 OQC 相似 只能 QCO 90 或 OQC 90 I 当 OCQ 90 时 CQO QOA AQ CO 由 AQ AQ2 OA AB 得 2 b 1 解得 b 8 4 b 2 b 8 4 点 Q 的坐标是 1 2 II 当 OQC 90 时 QCO QOA 即 OQ2 OC AQ 又 OQ2 OA OB OC AQ OA OB 即 AQ 1 b 解得 AQ 4 此时 b 17 2 符合题意 点 Q 的坐标是 1 4 综上可知 存在点 Q 1 2 或 Q 1 4 使得 QCO QOA 和 QAB 中的 任意两个三角形均相似 专项十一 开放探索型问题 27 2012 连云港 27 12 分 本题满分 12 分 已知梯形 ABCD AD BC AB BC AD 1 AB 2 BC 3 问题 1 如图 1 P 为 AB 边上一点 以 PD PC 为边做平行四边形 PCQD 请问对角线 PQ DC 的长能否相等 为什么 用心 爱心 专心12 Q A D B C P 如图 2 P 为 AB 边上任意一点 以 PD PC 为边做平行四边形 PCQD 请问对角线 PQ 的长 是否存在最小值 若果存在 请求出最小值 如果不存在 请说明理由 Q A D B C P 问题 3 P 为 AB 边上任意一点 延长 PD 到 E 使 DE PD 以 PE PC 为边做平行四边形 PCQE 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值 若果存在 请求出最小值 如果不存在 请说明理由 问题 4 如图 3 P 为 DC 边上任意一点 延长 PA 到 E 使 AE nPA n 为常数 以 PE PB 为 边做平行四边形 PBQE 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值 若果存在 请直接写出 最小值 如果不存在 请说明理由 Q E AB CD P 解析 1 只要看 DPC 能否为 90 在在 Rt DPC 中 由勾股定理列出方程 根据方 程是否有解确定对角线 PQ 与 DC 能不能相等 2 3 4 可找 PQ 最小时点 P 的位置 利用全等三角形 相似三角形列方程求线段 PQ 的长 答案 问题 1 因为四边形 PCQD 是平行四边形 若对角线 PQ DC 相等 则四边形 PCQD 是矩形 所以 DPC 90 因为 AD 1 AB 2 BC 3 所以 DC 22 设 PB x 则 AP 2 x 在 Rt DPC 中 PD2 PC2 DC2 即 x2 32 2 x 2 1 8 化简得 x2 2x 3 0 因为 2 2 4 1 3 8 0 方程无解 所以对角线 PQ 与 DC 不可能相等 用心 爱心 专心13 问题 2 如图 2 在平行四边形 PCQD 中 设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G 所以点 G 是 的中点 G H Q D A B C P 作 QH BC 交 BC 的延长线于 H 因为 AD BC 所以 ADC DCH 即 ADP PDG DCQ QCH 因为 PD CQ 所以 PDC DCQ 所以 ADP QCH 又 PD CQ 所以 Rt ADP Rt HCQ 所以 AD HC 因为 AD 1 BC 3 所以 BH 4 所以当 PQ AB 时 PQ 的长最小 即为 4 问题 3 如图 3 设 PQ 与 DC 相较于点 G G H Q E D A B C P 因为 PE CQ PD DE 所以 1 2 DGPD GCCQ 所以 G 是 DC 上一定点 作 QH BC 交 BC 的延长线于 H 同理可证 ADP QCH 所以 Rt ADP Rt HCQ 即 1 2 ADPD CHCQ 所以 CH 2 所以 BH BC CH 3 2 5 所以当 PQ AB 时 PQ 的长最小 即为 5 问题 4 存在最小值 最小值为 2 2 n 4 用心 爱心 专心14 注 各题如有其它解法 只要正确 均可参照给分 点评 本题是一个动态几何题 此题是一道综合性较强的题目 主要考查学生的图感 利用点 P 的运动过程 确定 PQ 最小时 P 所在线段的位置 考察到的到的知识点比较多 需要同学们利用全等三角形和相似三角形的性质确定 PQ 的最小值是否存在 本题的亮点是 由有三角形全等到三角形相似而引出一般情况 28 2012 江苏泰州市 28 本题满分 12 分 如图 已知一次函数 y1 kx b 的图像与 x 轴相交于点 A 与反比例函数 y2 x c 的图像相交于 B 1 5 C d 2 5 两点 点 P m n 是一次函数 y1 kx b 的图像上的动点 1 求 k b 的值 2 设 1 m 2 3 过点 P 作 x 轴的平行线与函数 y2 x c 的图像相交于点 D 试问 PAD 的面 积是否存在最大值 若存在 请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标 若不存在 请说明 理由 3 设 m 1 a 如果在两个实数 m 与 n 之间 不包括 m 和 n 有且只有一个整数 求实数 a 的取值范围 第 28 题图 解析 1 先将 B 点坐标代入 y2 求出 c 从而确定 y2的解析式 然后再将 C 点代入求 出 d 最后将 B C 代入 y1即可 2 先确定 PAD 的面积的解析式 如何再利用二次函数的最值解决 从而得到 P 点坐标 3 分情况讨论列出不等式解决即可 答案 1 将 B 点坐标代入 y2 得 c 5 将点 C 横坐标代入 得 d 2 将 B C 代入 直线解析式 求得 k 2 b 3 2 令 y1 0 x 3 2 A 3 2 0 由题意得 点 P 在线段 AB 上运动 不含 A B 设 点 P 3 2 n n 因为 DP 平行于 x 轴 所以 yD yP n 所以 D 5 n n 所以 用心 爱心 专心15 S 1 2 PD yP 1 2 3 2 n 5 n 5 1 4 n 3 2 2 49 16 而 2m 3 n 得 0 n 5 所 以由 S 关于 n 的函数解析式所对应的抛物线开口方向决定 当 n 3 2 即 P 3 4 3 2 S 最大 49 16 3 由已知 P 1 a 2a 1 易知 m n 1 a 2a 1 a 0 若 a 0 m 1 n 由题 意 m 0 n 2 解出不等式组的解集 0 a 1 2 若 a 0 n 1 m 由题意 n 0 m 2 解出 1 2 a 0 综上 A 的取值范围是 1 2 a 0 或 0 a 1 2 点评 本题主要考查反比例函数 一次函数的知识 求函数的解析式通常采用 待定系 数法 此题的关键在于分清顺序逐步求解 做题过程中要特别注意线段长度与坐标之间的 转换 尤其是符号的变化 还考查了数形结合 分类讨论等数学思想方法以及分析问题 解决问题的综合能力 23 2012 浙江丽水 10 分 23 题 本题 10 分 在直角坐标系中 点 A 是抛物线 y x2在第二象限上的点 连接 OA 过点 O 作 OB OA 交抛物线于点 B 以 OA OB 为边构 造矩形 AOBC 1 如图 1 当点 A 的横坐标为 时 矩形 AOBC 是正方形 2 如图 2 当点 A 的横坐标为 2 1 时 求点 B 的坐标 将抛物线 y x2作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y x2 试判断抛物线 y x2经 过平移变换后 能否经过 A B C 三点 如果可以 说出变换的过程 如果不可以 请说 明理由 解析 1 若矩形 AOBC 是正方形 则 AOC BOC 45 即点 A 在象限角平分 线上 设点 A 坐标为 x x 则有 x x2 x 0 舍去 或 x 1 2 过点 A 作 AE x 轴于点 E 过点 B 作 BF x 轴于点 F 求出 OE AE 的长 再由 AEO OFB 得 2 1 EO AE BF OF 进而借助方程求出 B 点坐标 过点 C 作 CG GF 于点 G 先求出 C 点坐 标 再利用待定系数法求出经过 A B 两点的抛物线的解析式 判断出点 C 在过 A B 两点 的抛物线上 先将抛物线化成顶点式 进而根据抛物线平移规律说出变换过程 解 1 1 2 过点 A 作 AE x 轴于点 E 过点 B 作 BF x 轴于点 F 用心 爱心 专心16 当 x 2 1 时 y 2 1 2 4 1 即 OE 2 1 AE 4 1 由 AEO OFB 得 2 1 EO AE BF OF 设 OF t 则 BF 2t t2 2t 解得 t1 0 舍去 t2 2 B 2 4 过点 C 作 CG GF 于点 G AEO BGC CG OE 2 1 BG AE 4 1 xc 2 2 1 2 3 yc 4 4 1 4 17 点 C 2 3 4 17 设过 A B 两点的抛物线解析式为 y x2 bx c 由题意得 82 2 1 2 1 cb cb 解得 2 3 c b 经过 A B 两点的抛物线解析式为 y x2 3x 2 当 x 2 3 时 y 2 3 2 3 2 3 2 4 17 所以点 C 也在抛物线上 故经过 A B C 三点的抛物线解析式为 y x2 3x 2 x 2 3 2 4 17 平移方案 先将抛物线 y x2向右平移 2 3 个单位 再向上平移 4 17 个单位得到抛物线 y x 2 3 2 4 17 点评 本题是一道几何与代数的综合题 综合考查正方形 矩形 全等三角形 相似三角形 抛物线 一元二次方程等知识 是一道综合性较强的试题 题目有一定的难 度 26 2012 四川内江 26 12 分 已知 ABC 为等边三角形 点 D 为直线 BC 上一动点 点 D 不与 B C 重合 以 AD 为边作菱形 ADEF A D E F 按逆时针排列 使 DAF 60 连接 CF 1 如图 13 1 当点 D 在边 BC 上时 求证 BD CF AC CF CD 2 如图 13 2 当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时 结论 AC CF CD 是 否成立 若不成立 请写出 AC CF CD 之间存在的数量关系 并说明理由 3 如图 13 3 当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时 补全图形 并直接 写出 AC CF CD 之间存在的数量关系 用心 爱心 专心17 A BCD E F 图 13 1 A BC D E F 图 13 2 A BCD 图 13 3 解析 1 根据等边三角形和菱形的性质发现等线段 等角 证明 ABD ACF 解决 2 图形直观 CF 最长 显然 1 中结论不再成立 这时模仿 1 中全等三角 形的证明思路 看同样字母的两个三角形是否仍然全等 进而解决问题 3 总结 1 2 发现那三条线段之间就是最长的一条等于较短的两条线段之和 可以画出图形直观感 受或证明发现 答案 解 1 ABC 是等边三角形 A B AC BAC 60 四边形 ADEF 为菱形 AD AF BAC DAF 60 BAC DAC DAF DAC 即 BAD CAF ABD ACF BD CF AC BC BD CD 且由 BD CF AC CF CD 2 不成立 存在的数量关系为 CF AC CD 理由 由 1 同理可得 ABD ACF BD CF BD BC CD AC CD CF AC CD 3 CD AC CF 补全图形 13 3 A BCD 图 13 3 F E 点评 此题属于几何中的结论开放题 并具有探究性 让学生在图形变化过程中感 受恒不变的数学现象 渗透了运动与变化的数学思想 体现了几何图形的直观性 解答此 类题的关键是顺着题目铺设好的台阶一步一步走 顺着前题提供的思考方向 顺藤摸瓜 求同存异 大胆猜想 探究 用心 爱心 专心18 26 2012 山东省临沂市 26 13 分 如图 点 A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时 针旋转 1200至 OB 位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过点 A O B 的抛物线解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得以点 P O B 为顶点的三角形是等腰三 角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 解析 1 作 BC x 轴 垂足为 C 由旋转的定义 可得 BCO 900 BOC 600 OB 4 应用三角函数可直接求得点 B 的坐标 2 根据 1 的结论 结合图形 可得点 O 0 0 点 A 4 0 由待定系数法可求得抛 物线解析式 3 以点 P O B 为顶点的三角形是等腰三角形 存在三种形式 即 OP OB PO PB BO BP 分别讨论三种情况 成立的就存在点 P 解 1 如图 过点 B 作 BC x 轴 垂足为 C OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 1200至 OB 位置 BOC 600 OB 4 BC 4 sin600 4 2 3 32 OC 4 cos600 4 2 1 2 点 B 在第三 象限 点 B 2 32 2 由函数图象得 抛物线通过 2 32 0 0 4 0 三点 设抛物线解析式为 y ax2 bx 由待定系数法得 0416a 32 2 4a b b 解得 3 32 6 3 b a 此抛物线解析式为 y xx 3 32 6 3 2 3 存在 用心 爱心 专心19 理由 如图 抛物线的对称轴是 x a2 b 解得2 x 直线2 x与 x 轴的交点为 D 设点 P 2 y 若 OP OB 则 22 y 2 42 解得 y 32 即 P 点坐标为 2 32 或 2 32 又 点 B 2 32 当 P 点为 2 32 时 点 P O B 共线 不合题意 舍去 故点 P 坐标为 2 32 若 BO BP 则 42 y 32 2 42 解得 y 32 点 P 坐标为 2 32 若 PO PB 则 22 y 2 42 y 32 2 解得 y 32 点 P 坐标为 2 32 综上所述 符合条件的点 P 只有一个 其坐标为 2 32 点评 本题考查了二次函数的综合运用 本题主要考查了二次函数解析式的确定 函 数图象交点的求法 勾股定理的应用 等腰三角形的判定等知识点 主要考查学生数形结 合的数学思想方法 24 2012 浙江省义乌市 24 12 分 如图 1 已知直线y kx与抛物线 交 于点A 3 6 1 求直线y kx的解析式和线段OA的长度 2 点P为抛物线第一象限内的动点 过点P作直线PM 交x轴于点M 点M O不重 合 交直线OA于点Q 再过点Q作直线PM的垂线 交y轴于点N 试探究 线段 QM与线段QN的长度之比是否为定值 如果是 求出这个定值 如果不是 说明理由 3 如图 2 若点B为抛物线上对称轴右侧的点 点E在线段OA上 与点O A不重 合 点D m 0 是x轴正半轴上的动点 且满足 BAE BED AOD 继续探 究 m在什么范围时 符合条件的E点的个数分别是 1 个 2 个 24 解析 1 将点 A 代入y kx 可求出 k 的值 再由勾股定理求出 OA 的长 2 首先讨论 QH 与 QM 重合时易知 QN QM 2 当 QH 与 QM 不重合时 易知 QHM QGN Ox y A B E D 图 2图 1 A x y P Q M N O 3 22 27 4 2 xy 用心 爱心 专心20 2tan AOM OH QH QG QH QN QM 3 延长AB交x轴于点F 过点F作FC OA于点C 过点A作AR x轴于点R 易知 AOR FOC 即 5 3 53 OR AO OC OF 可求得 OF 的长即可求出 F 的坐标 设点B x 3 22 27 4 2 x 过点B作BK AR于点K 则 AKB ARF AR AK FR BK 可求 B 的坐标 易求得 AB 的长 也可设出直线AF 将 A F 代入求其解析式 然后将其与抛物线联立 求 出 B 的坐标 进而求 AB 的长 再易得 ABE OED OE OD AB AE 可求抛物线的顶点坐标 再画出几何关系图 根据不同 情况求出 E 的个数 解 1 把点A 3 6 代入y kx 得 6 3k k 2 y 2x 2 分 OA 5363 22 3 分 2 QN QM 是一个定值 理由如下 过点Q作QG y轴于点G QH x轴于点H 当QH与QM重合时 显然QG与QN重合 此时 2tan AOM OH QH QG QH QN QM 当QH与QM不重合时 QN QM QG QH 不妨设点H G分别在x y轴的正半轴上 MQH GQN 又 QHM QGN 90 QHM QGN 5 分 2tan AOM OH QH QG QH QN QM 当点P Q在抛物线和直线上不同位置时 同理可得 7 分 3 延长AB交x轴于点F 过点F作FC OA于点C 过点A作AR x轴于点R AOD BAE AF OF OC AC 2 1 OA 5 2 3 ARO FCO 90 AOR FOC AOR FOC 5 3 53 OR AO OC OF OF 2 15 55 2 3 点F 2 15 0 设点B x 3 22 27 4 2 x 过点B作BK AR于点K 则 AKB ARF AR AK FR BK 即 6 3 22 27 4 6 35 7 3 2 x x 解得x1 6 x2 3 舍去 点B 6 2 BK 6 3 3 AK 6 2 4 AB 5 8 分 求AB也可采用下面的方法 图 1 A x y P Q M N O G H 2 QN QM Ox y A B E D F R C K 用心 爱心 专心21 设直线AF为y kx b k 0 把点A 3 6 点F 2 15 0 代入得 k 3 4 b 10 10 3 4 xy 3 22 27 4 10 3 4 2 xy xy 6 3 1 1 y x 舍去 2 6 2 2 y x B 6 2 AB 5 8 分 其它方法求出 AB 的长酌情给分 在 ABE与 OED中 BAE BED ABE AEB DEO AEB ABE DEO BAE EOD ABE OED 9 分 设OE x 则AE 53 x 530 x 由 ABE OED得 OE OD AB AE x mx 5 53 xxxxm5 5 3 5 1 53 5 1 2 530 x 10 分 顶点为 5 2 3 4 9 如图 当 4 9 m时 OE x 5 2 3 此时E点有 1 个 当 4 9 0 m时 任取一个m的值都对 应着两个x值 此时E点有 2 个 当 4 9 m时 E点只有 1 个 11 分 当 4 9 0 m时 E点有 2 个 12 分 点评 本题综合考查了反比例函数的性质 相似三角形的性质 抛物线的性质 一次函 数的性质 是一道对学生能力要求较高的题 26 2012 重庆 26 12 分 已知 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AD 2 BC 6 AB 3 E 为 BC 边上一点 以 BE 为边作正方形 BEFG 使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧 l 当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时 求 BE 的长 2 将 l 问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移 记平移中的正方形 BEFC 为正方形 B EFG 当点 E 与点 C 重合时停止平移 设平移的距离为 t 正方形 B EFG 的边 EF 与 AC 交 于点 M 连接 B D B M DM 是否存在这样的 t 使 B DM 是直角三角形 若存在 求出 t 的值 若不存在 请说明理由 5 2 3 x m 4 9 O 53 用心 爱心 专心22 图 图 1 G E BC A D F 图 图 2 M A D B C GF B EH N 3 在 2 问的平移过程中 设正方形 B EFG 与 ADC 重叠部分的面积为 S 请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及自变量 t 的取值范围 解析 用 t 表示有关线段的长度 是解决本题的关键 答案 1 如答图 1 所示 设 BE 长为 x AGF ABC 63 3xx x 2 即 BE 2 2 如图 2 由题意知 BB t DH 3 BH 2 CE 4 t CEM ABC BC CE AB ME ME 2 t 2 1 根据勾股定理得 B M 82 4 1 2 tt B D t 4t 13 DM t 4 5 t 1 分三种情况讨论 若 DB M 90 则有 B M B D DM 求得 t 7 20 若 B MD 90 则有 B M DM B D 求得 t 17 3 若 B DM 90 则有 B D DM B M 无解 3 当 0 t 3 4 时 s 4 1 t 当 3 4 t 2 时 s 8 1 t t 3 2 当 2 t 3 10 时 s 8 3 t 2t 3 5 当 3 10 t 4 时 s 2 1 t 2 5 点评 解决本题的关键是会用 t 表示出各个线段的长度 然后用勾股定理就可求出答案 用心 爱心 专心23 24 2012 浙江丽水 12 分 24 题 本题 12 分 在 ABC 中 ABC 45 tan ACB 5 3 如图 把 ABC 的一边放置在 x 轴上 有 OB 14 OC 34 3 10 AC 与 y 轴交 于点 E 1 求 AC 所在直线的函数解析式 2 过点 O 作 OG AC 垂足为 G 求 OEG 的面积 3 已知点 F 10 0 在 ABC 的边上取两点 P Q 是否存在以 O P Q 为顶点的 三角形与 OFP 全等 且这两个三角形在 OP 的异侧 若存在 请求出所有符合题意的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 解直角 OCE 求出 E 点坐标 再利用待定系数法求直线的解析式 2 解直角三角形 OCE 求出 EG OG 利用三角形面积公式即可求面积 3 应分 类加以讨论 解 1 在 Rt OCE 中 OE OCtan OCE 342 5 3 34 3 10 点 E 0 234 设直线 AC 的函数解析式为 y kx 234 有 3 3410 k 234 0 解得 k 5 3 直线 AC 的函数解析式为 y 5 3 x 234 2 方法 1 在 Rt OGE 中 tan EOG tan OCE 5 3 GO EG 设 EG 3t OG 5t OE 22 OGEG 34t 234 34t 得 t 2 故 EG 6 OG 10 S OEG 2 1 OG EG 2 1 10 6 30 方法 2 在 Rt OCE 中 tan OCE 5 3 sin OCE 34 3 OG OCsin OCE 34 3 34 3 10 10 在 Rt OEG 中 EG OGtan OCE 10 5 3 6 用心 爱心 专心24 S OEG 2 1 OG EG 2 1 10 6 30 3 当点 Q 在 AC 上时 点 Q 即为点 G 如图 1 作 FOQ 的平分线交 CE 于点 P1 由 OP1F OP1Q 则有 P1F x 轴 由于点 P1在直线 AC 上 当 x 10 时 y 5 3 10 234 234 6 点 P1 10 234 6 当点 Q 在 AB 上时 如图 2 有 OQ OF 作 FOQ 的角平分线交 CE 于点 P2 过点 Q 作 QH OB 于点 H 设 OH a 则 BH QH 14 a 在 Rt OQH 中 a2 14 a 2 100 解得 a1 6 a2 8 Q 6 8 或 Q 8 6 当 Q 6 8 时 连接 QF 交 OP2于点 M 则点 M 2 4 此时直线 OM 的函数解析式 y 2x 342 5 3 2 xy xy 解得 34 13 20 34 13 10 y x 点 P2 34 13 10 34 13 20 当 Q 8 6 时 同理可求得 P3 34 9 5 34 3 5 如图 3 有 QP4 OF QP4 OF 10 设点 P4的横坐标为 x 则点 Q 的横坐标为 x 10 yQ yP 直线 AB 的函数解析式 y x 14 x 10 14 5 3 x 234 解得 x 4 10 345 可得 y 4 6345 点 P4 4 10 34