046一种改进的非线性纯反馈系统的自适应动态面控制

第 40 卷 增刊 东南大学学报 自然科学版 Vol 40 Sup 2010 年 9 月 JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY Natural Science Edition Nov 2010 一种改进的非线性纯反馈系统的自适应 动态面控制 鲁 瑶 许莉娟 张天平 扬州大学信息工程学院 扬州 225009 摘要 本文研究了一类带有未知扰动的非线性纯反馈系统的控制问题 通过引入动态面技术 结合神经网络 逼近方法 并利用积分型 Lyapunov 函数 提出了一种改进的自适应动态面控制方案 将一阶滤波器引入后推 设计中避免了传统后推方法中对虚拟控制反复求导而导致的计算复杂性问题 与已有文献相比 该方案放宽 了对于控制系统的要求 有效地减少了可调参数的数目 无需虚拟控制增益系数导数的信息 理论分析证明了 闭环控制系统是半全局一致终结有界的 且跟踪误差收敛到一个小的邻域内 关键字 纯反馈系统 自适应控制 动态面控制 积分型 Lyapunov 函数 中图分类号 TP273 文献标识码 A 文章编号 1001 0505 2010 增刊 II XXXX XX An improved adaptive dynamic surface control for a class of nonlinear systems in pure feedback form Lu Yao Xu Lijuan Zhang Tianping College of Information Engineering Yangzhou University Yangzhou 225009 China Abstract The problem of adaptive control is studied for a class of nonlinear systems in pure feedback form with unknown system functions and uncertain disturbances in this paper By introducing dynamic surface control technique and incorporating the approximation capability of neural networks and using integral type Lyapunov function an improved adaptive dynamic surface control is developed for the above systems By introducing the first order filter the explosion of complexity caused by the repeated differentiations of certain nonlinear functions such as virtual controls in traditional backstepping design is avoided Compared with the existing literature the proposed approach relaxes the restriction of the system and reduces the number of adjustable parameters effectively and does not require the derivative of the virtual control coefficients By theoretical analysis the closed loop control system is shown to be semi globally uniformly ultimately bounded with the tracking error converging to a small neighborhood of the origin Key words pure feedback systems adaptive control dynamic surface control integral type Lyapunov function 近年来 后推技术的应用得到了广泛的关注 许多学者将自适应后推方法与模糊控制相结合提出了一 些非线性自适应模糊后推控制方法 1 2 文献 3 4 提出了针对带扰动的严格反馈系统自适应后推控制方案 基于分析方法与小增益定理方法 文献 5 提出了一种自适应神经网络控制方案 解决了一类完整的ISS 非仿射纯反馈系统的控制问题 针对后推设计中由于对虚拟控制反复求导而导致的参数膨胀问题 SWAROOP D 等人提出了动态面控制 DSC 方法 6 文献 7 引入动态面技术 针对一类不确定非线性严格 反馈系统 提出了一种基于神经网络的自适应动态面控制方案 引入动态面控制方法避免了参数膨胀 简 化了设计 但是该控制系统仅考虑控制增益为常数且并未考虑到系统扰动和未建模动态 文献 8 针对一类 带摄动的严格反馈动态系统 引入动态面控制方法 利用积分型函数 提出了一种直接自适应神Lyapunov 经网络控制方案 文献 9 基于方法 对一类带扰动的控制增益未知的非线性纯反馈系统提出了Lyapunov 一种神经网络动态面控制方案 采用动态面控制技术 避免了后推设计中的参数膨胀问题 文献 10 在 9 的基础上提出了针对一类不确定非线性纯反馈系统的自适应动态面控制方案 本文在文献 10 的基础上 针对一类带有扰动的不确定非线性纯反馈系统 提出了一种自适应动态面 控制方案 与其的区别在于 文献 10 仅仅讨论了控制增益为已知常数的情况 而本文将其扩展到控制增 收稿日期 2010 5 18 基金项目 国家自然科学基金资助项目 60874045 江苏省自然科学基金资助项目 BK2009184 作者简介 鲁瑶 1986 女 硕士生 luyao2803 许莉娟 1983 女 硕士生 xulijuandh 张天平 联系人 男 教授 博 士生导师 tpzhang 东南大学学报 自然科学版 第 40 卷 2 益为未知函数 且带有未知扰动的一类非线性纯反馈系统 放宽了对于控制系统的要求 对于参数的 估计设计中采用了对权向量模值的估计 减少了估计参数的数量 并且取消了文献 9 中关于控制增益偏导 数的假设 降低了设计的复杂性 在前面步采用一般动态面控制设计方法 并且利用虚拟控制来消去1n 前步中的未知扰动项 在第步采用积分型函数设计方法 将两种方法相结合提出了一种自1n nLyapunov 适应动态面控制方案 并证明了整个闭环系统的稳定性 且跟踪误差收敛到原点的一个较小的邻域内 1 问题描述及基本假设 考虑如下一类单输入单输出非线性系统 1 11 1 11 iiiiiin nnnnnnn xfxg xdx tin xfxgxudx t yx 其中 为系统状态向量 为系统输入 为系统输 12 T ii xx xx i R1 2 in n n xR u Ry R 出 为已知的非零常数 为未知光滑函数 为未知连续函数 且满足 1 1 i g in nn gx i f A1 in 为未建模动态或外来干扰 0 00 i f in dx t1 in 控制目标 设计自适应控制器 使系统输出尽可能好地跟踪一个给定的期望轨迹 闭环系统全uy d y 局一致终结有界 跟踪误差收敛到一个小的残差集内 假设假设 1 光滑非线性函数符号已知且满足 不失一般性 令 nn gx 01 0 nnnn ggxg 0 nn gx 假设假设 2 参考输入光滑可测 且 为已知正常数 T ddddd yyy x 222 0 ddddd xyyyB 0 B 假设假设 3 为未知常数 已知非负函数 iniii dx tpx 1 in n n x t RR i p ii x 文中将使用径向基函数 RBF 神经网络在紧集上来逼近未知光滑非线性函数 T f ZZ q z R f Z 其中表示神经网络的输入向量 表示未知权向量 为神经元节点数 z Z T 12 l l w ww R 1l 为基函数向量 为第 个节点的输出 通常选择为高斯函数 T 12 l l Zs Zs Zs Z R i s Zi 其中为基函数的中心 是高斯函 T2 exp 2 1 2 iiiii ZZvZvkk il T 12 iiiiq vvvv i k 数的宽度 令未知理想权向量 则 T arg min sup l Z Z f ZZ R 2 T ZZZ 其中为逼近误差 Z 2 自适应动态面控制器设计 本文采用动态面控制技术 结合 RBF 神经网络逼近方法进行设计 设计过程共包含步 在前步n1n 中设计虚拟控制 再以为输入通过一阶滤波器得到 在第步设计自适应控制器 定 i 2 in i i znu 义 1d zy Step 1 定义第一个动态面 3 111 sxz 用 RBF 神经网络逼近 且 则有 12 fx 2 2x x 4 1211212 fxxx 其中未知正常数 2 11 所以 将方程 1 与 4 代入 则可得 111 sxz 5 1112121211 n sxxg xdx tz 选取虚拟控制 6 22 21 11 1 1212111111 22 k ssxxasxzg 选取的自适应律为 1 7 22 1112121111 2xxsa 其中为的估计值 为估计误差 为设计常数 1 1 111 1 0a 1 0 1 1 k 增刊 鲁瑶 等 一种改进的非线性纯反馈系统的自适应动态面控制 3 引入新变量作为虚拟控制通过一阶滤波器之后的输出 并且为时间常数 即 2 z 2 2 8 2222 zz 22 00z 令 则有 222 yz 2222 yy 于是有 2 2222221232312 ddd y yyys s syyyyy 9 222 2222 4yy 其中为非负连续函数 21232312 ddd s s syyyyy 取 则知 由方程 5 及假设 3 知 2 11 2 s Vs 11 1s Vs s 22222222 1112111 1212111121111 2222 22 s Vsg xzsxxaasxsxp 10 222222 1 111 1 21 1211 1212111122 2222ksg s sg s ysxxaapx 存在非负连续函数满足 11221 dd s syyy 11 1211221 dd xs syyy Step 定义第 个动态面 ii 12 iii sxz 2 2in 用 RBF 神经网络逼近 且 则有 1ii fx 1 1 i ix x 13 111iiiiiii fxxx 其中未知正常数 2 ii 所以 14 111 iiiiiiiiini sxxg xdx tz 选取虚拟控制 15 22 11111 22 iiiiiiiiiiiiiiiii gsk ssxxasxzg 选取的自适应律如下 i 16 22 11 2 iiiiiiiiii xxsa 其中为的估计值 为估计误差 为设计常数 i i iii 0 i a 0 i i i k 引入变量作为虚拟控制通过一阶滤波器之后的输出 并且为时间常数 即 1i z 1i 1i 17 1111iiii zz 11 00 ii z 定义 可得 111iii yz 1111iiii yy 则有 2 111111122211 iiiiiiiiiddd yyyyssyyyyy 18 222 1111 4 iiii yy 其中为非负连续函数 1122211 iiiiddd ssyyyyy 取 则知 由方程 14 及假设 3 得 2 2 sii Vs siii Vs s 22222222 1111 2222 22 siiiiiiiiiiiiiiiiiiii Vsg xzsxxaasxsxp 19 222222 1 11111112 2 22 2 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii ksgssg s sg s ysxxaapx 存在非负连续函数满足 11211 iiiidd ssyyyy 20 111211 iiiiiidd xssyyyy Step 定义第个动态面 1n 1n 21 111nnn sxz 用 RBF 神经网络逼近 且 则有 1nn fx n nx x 22 1111nnnnnnn fxxx 其中未知正常数 2 11nn 所以 23 1111111 nnnnnnnnnnn sxxgxdx tz 选取虚拟控制 东南大学学报 自然科学版 第 40 卷 4 24 22 22111111111111 22 nnnnnnnnnnnnnnnnn gskssxxasxzg 选取的自适应律如下 1 n 25 22 11111111 2 nnnnnnnnnn xxsa 其中为的估计值 为估计误差 为设计常数 1 n 1n 111 nnn 1 0 n a 1 0 n 1n 1n k 引入变量作为虚拟控制通过一阶滤波器之后的输出 并且为时间常数 即 n z n n 26 nnnn zz 00 nn z 令则有 nnn yz nnnn yy 2 121 nnnnnnnnnddd y yyyssyyyyy 27 222 4 nnnn yy 其中为非负连续函数 121 nnnnddd ssyyyyy 取 则知 由方程 23 及假设 3 得 2 11 2 snn Vs 111snnn Vss 2222222 111111111111111 2222 2 snnnnnnnnnnnnnnnnnnn Vsgxzsxxaasxsx 2 1 2 n p 22222 1 11221111111111112 222 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn ksgssgssgsysxxaap 28 2 1 2 nn x 存在非负连续函数满足 11211 nnnndd ssyyyy 29 111211 nnnnnndd xssyyyy Step 定义第个动态面 nn 30 nnn sxz 由方程 1 中子系统知 nnnnnnn xfxgxudx t 31 nnnnnnnn sfxgxudx tz 定义一个光滑的标量函数如下 32 1 0 n s snnnn Vgxzd 根据积分第二中值定理 又可改写为 其中 又由假设 1 知关于 sn V 2 1 2 snnnnnn Vsgxsz 0 1 sn V 正定 对关于 求导 由假设 3 及方程 31 有 n s sn Vt 1 11 11 00 1 nn n ss snnnnnnnnnnnnnjj j Vs sgxzgxzz dgxzx xd 1 1 21 111 0 1 n nnnnnnnnnnnnjjjjj j s sgxz sg xsgxszxg xfxd 33 11 11 42122 11 00 11 1 2 2 nn nnnnnnnjjnnnnjj jj z sgxszdsxgxszxdp 将 33 式化简得 34 2 1 2 n snnj j Vs uZp 在上式中 1 1 2232 1 0 1 21 2 n nnnnnnnnnnnnnnjj j Zfxgxsxgxzgxsz dsx 35 1 11 121 1111 00 1 n nnnnjnnnnnjjjjj j gxszxdsgxszxfxg xd 用 RBF 神经网络对函数进行逼近有 Z 36 nnn ZZZ 其中为未知正常数 2 nn 2 n nnn Zxsz R 利用 36 式及 Young s 不等式 在 34 式中 37 22222 2222 nnnnnnnnnn s uZs usZZaasZ 增刊 鲁瑶 等 一种改进的非线性纯反馈系统的自适应动态面控制 5 将 37 式代入 34 式可得 38 222222 1 22222 n snnnnnnnnnjn j Vs ussZZaapZ 取控制律为 39 2 11 2 nnnnnnnnn ugsk ssZZa 取的自适应律 n 40 22 2 nnnnnnnn ZZ sa 其中为的估计值 为估计误差 为设计常数 n n nnn 0 n a 0 n n n k 则 38 式可化为 41 222222 1 112 1 2222 n snnnnnnnnnnnnjn j VksgsssZZaapZ 存在非负连续函数满足 121 nnnndd ssyyyy 42 121 nnnnndd Zssyyyy 3 稳定性分析 定义有界闭集 1 T 112211 p s syVp R T 11211 i p iiiii ssyyVp R 2 1in T 121 n p nnnnn ssyyVp R 其中 为正常数由设计者给定 31 i pi 1 1in 31 n pn p 22 1111 Vs 222 121 2 iii ijjjj jjj Vsyin 易知 令连续函数在有界闭集上的最大值为 1 1 n pp R 21 21 nnn pppp n RR n i di 连续函数在有界闭集上的最大值为 i M2 in j dj j H1 jn 可得如下稳定性定理 定理定理 1 考虑由纯反馈非线性系统 1 控制律 39 及自适应律 7 16 25 和 40 组成的闭环系统 若假 设 1 3 成立 则对于任意给定的正常数及初始条件满足 满足式 43 的正常数 p n Vp i k i a i i 1i 使得闭环系统半全局一致终结有界 且跟踪误差收敛到一个小的残差内 其中满足 i k 1i 43 0 00 2 10 012 12 1 1 1 22 1122 1 1 min i nn ii n kin kg gin 证明 考虑如下 Lyapunov 函数 44 22 121 22 nnn siiii iii VVy 将对时间 t 求导 则有V 45 121 nnn siiiiii iii VVy y 将 10 19 28 41 式和 9 18 27 式及 7 16 25 40 式代入 45 式中可得 1 222222 1 11111112 11 42 nn iiiiiiiiiiiiiiii ii Vksyyg s ysxxa 1 222222 111 2 2222 nnn nnnnniiiiiii iii sZZaapp 46 11 22222 1 112 111 11122 nnn iinniiiiii iii ksksgy 东南大学学报 自然科学版 第 40 卷 6 当时 于是 将 43 式代入 46 式可得Vp 22 ii M 22 ii H 47 0 VV 其中 48 222 1 222 2111 11 42222 nnnn iiin iii iiii i ap MHp 当 且 则有 由此可知当初始条件时 将式 47 两边同乘Vp 0 p 0V 0Vp 0V tpt 可得 0t e 49 00 tt d V t ee dt 将式 49 两边在上积分得 0 t 50 0 00 0 0 t V tVe 因此 闭环系统内的所有信号 都是一致终结有界的 从而也都是一致终结有界的 根据 1 iii s y 1 iii xz 式 43 48 可知 对于给定的任意常数可以通过选择合适的使得任意小 最终 0 B p 1 i M i i a i 0 使得足够小 1 s 4 结语 本文研究了一类不确定非线性纯反馈系统的跟踪控制问题 用 RBF 神经网络逼近未知系统函数 基 于 DSC 技术提出了一种自适应神经网络动态面控制算法 这种方法解决了传统后推中由于循环设计所导 致的 计算膨胀 问题 通过调整控制律中的参数可以使得跟踪误差足够小并且保证闭环系统内所有信号一 致终结有界 参考文献 References 1 Yang Y S Feng G Reng J S A combined backstepping and small gain approach to robust adaptive fuzzy control for strict feedback nonlinear systems J IEEE Trans on Systems Man and Cybernetics Part A Systems and Humans 2004 34 3 406 420 2 Lee C Y Lee J J Adaptive control for uncertain nonlinear systems based on multiple neural networks J IEEE Trans on Systems Man and Cybernetics Part B Cybernetics 2004 34 1 325 333 3 Yang Y S Zhou C J Robust adaptive fuzzy tracking control for a class of perturbed strict feedback nonlinear systems via small gain approach J Information Sciences 2005 170 2 4 211 234 4 Wang M Chen B Dai S L Direct adaptive fuzzy tracking control for a class of perturbed strict feedback nonlinear systems J Fuzzy Sets and Systems 2007 158 24 2655 2670 5 Wang C Hill D J Ge S S Chen G An ISS modular approach for adaptive neural control of pure