2012中考数学 压轴题精选精析（41-50例）

用心 爱心 专心1 A B C D l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 20122012 中考数学压轴题精选精析 中考数学压轴题精选精析 41 5041 50 例 例 2011 安徽八 本题满分 14 分 23 如图 正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1 l2 l3 l4上 这四条直线中相 邻两条之间的距离依次为h1 h2 h3 h1 0 h2 0 h3 0 1 求证 h1 h2 证 2 设正方形ABCD的面积为S 求证 S h1 h2 2 h12 证 3 若h1 h2 1 当h1变化时 说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况 3 2 解 23 1 过 A 点作 AF l3分别交l2 l3于点 E F 过 C 点作 CH l2分别交l2 l3于点 H G 证 ABE CDG 即可 2 易证 ABE BCH CDG DAF 且两直角边长分别为h1 h1 h2 四边形 EFGH 是边 长为h2的正方形 所以 2 1 2 21 2 221 2 1 2 2211 22 2 1 4hhhhhhhhhhhS 3 由题意 得 12 3 2 1hh 所以 5 4 5 2 4 5 1 4 5 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 2 11 h hhhhhS 又 0 2 3 1 0 1 1 h h 解得 0 h1 3 2 当 0 h1 5 2 时 S 随h1的增大而减小 当h1 5 2 时 S 取得最小值 5 4 当 5 2 h1 3 2 时 S 随h1的增大而增大 2011 芜湖 24 本小题满分 14 分 平面直角坐标系中 平行四边形 ABOC 如图放置 点 A C 的坐标分别为 0 3 1 0 将此平行四边形绕点 0 顺时针旋转 90 得到平行四边形 A B OC 1 若抛物线过点 C A A 求此抛物线的解析式 2 求平行四边形 ABOC 和平行四边形 A B OC重叠部分 OC D的周长 用心 爱心 专心2 3 点 M 是第一象限内抛物线上的一动点 间 点 M 在何处时 AMA 的面积最大 最 大面积是多少 并求出此时点 M 的坐标 24 本小题满分 l4 分 解 1 A B OC 由 ABOC 旋转得到 且点 A 的坐标为 0 3 点A 的坐标为 3 0 所以抛物线过点 C 1 0 A 0 3 A 3 0 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxc a 可得 0 3 930 abc c abc 解得 1 2 3 a b c 过点 C A A 的抛物线的解析式为 2 23yxx 2 因为 AB CO 所以 OAB AOC 90 22 10OBOAAB 又 OC DOCAB C ODBOA C ODBOA 又 1OCOC 1 BOA10 C ODOC OB 的周长 的周长 又 ABO 的周长 为 410 C OD 的周长为 4102 10 1 510 3 连接 OM 设 M 点的坐标为 mn 用心 爱心 专心3 点 M 在抛物线上 2 23nmm AMAAMOOMAAOA SSSS 111393 3 222222 OA mOA nOA OAmnmn 22 33327 3 2228 mmm 因为03m 所以当 3 2 m 时 15 4 n AMA 的面积有最大值 所以当点 M 的坐标为 3 15 24 时 AMA 的面积有最大值 且最大值为 27 8 2011 上海 25 本题满分 14 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 3 小题满分各 5 分 在 Rt ABC中 ACB 90 BC 30 AB 50 点P是AB边上任意一点 直线 PE AB 与边AC或BC相交于E 点M在线段AP上 点N在线段BP上 EM EN 12 sin 13 EMP 1 如图 1 当点E与点C重合时 求CM的长 2 如图 2 当点E在边AC上时 点E不与点A C重合 设AP x BN y 求y关 于x的函数关系式 并写出函数的定义域 3 若 AME ENB AME的顶点A M E分别与 ENB的顶点E N B对应 求AP的长 图 1 图 2 备用图 25 本题满分 14 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 3 小题满分各 5 分 1 由AE 40 BC 30 AB 50 CP 24 又 sin EMP 13 12 CM 26 2 在 Rt AEP与 Rt ABC中 EAP BAC Rt AEP Rt ABC AC BC AP EP 即 40 30 x EP EP 4 3 x 又 sin EMP 13 12 tg EMP 5 12 MP EP 5 12 MP x 4 3 MP 16 5 x PN BN AB AP PN 50 x 16 5 x 50 16 21 x 0 x 32 3 當E在線段AC上時 由 2 知 12 13 EP EM 即 12 13 4 3 x EM EM 16 13 x EN 用心 爱心 专心4 y x E D Q PO B A 又AM AP MP x 16 5 x 16 11 x 由題設 AME ENB NB ME EN AM x x 16 13 16 11 x x 16 21 50 16 13 解得x 22 AP 當E在線段BC上時 由題設 AME ENB AEM EBN 由外角定理 AEC EAB EBN EAB AEM EMP Rt ACE Rt EPM PM EP CE AC 即 x x CE 16 5 4 3 40 CE 3 50 设AP z PB 50 z 由Rt BEP Rt BAC BC BA PB BE 即 z BE 50 30 50 BE 3 5 50 z CE BC BE 30 3 5 50 z 由 解 3 50 30 3 5 50 z 得z 42 AP 2011 泉州 26 14 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 直线AB与x轴交于点A 与y 轴交于点B 且OA 3 AB 5 点P从点O出发沿OA以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动 到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回 点Q从点A出发沿AB以每秒 1 个单 位长的速度向点B匀速运动 伴随着P Q的运动 DE保持垂直平分PQ 且交PQ于点D 交折线QB BO OP于点E 点P Q同时出发 当点Q到达点B时停止运动 点P也随之 停止 设点P Q运动的时间是t秒 t 0 1 求直线AB的解析式 2 在点P从O向A运动的过程中 求 APQ的面积S与t之间的函数关系式 不必写出 t的取值范围 3 在点E从B向O运动的过程中 完成下面问题 四边形QBED能否成为直角梯形 若能 请求出t的值 若不能 请说明理由 当DE经过点O时 请你直接写出t的值 26 本小题 14 分 解 解 1 在 Rt AOB 中 OA 3 AB 5 由勾股定理得 22 4OBABOA A 3 0 B 0 4 设直线 AB 的解析式为 y kxb FA B OP Q D E x y 用心 爱心 专心5 30 4 kb b 解得 4 3 4 k b 直线 AB 的解析式为 4 4 3 yx 2 分 2 如图 过点 Q 作 QF AO 于点 F AQ OP t 3APt 由 AQF ABO 得 QFAQ BOAB 45 QFt 4 5 QFt 2 分 14 3 25 Stt 2 26 55 Stt 4 分 3 四边形 QBED 能成为直角梯形 如图 当 DE QB 时 DE PQ PQ QB 四边形 QBED 是直角梯形 此时 AQP 90 由 APQ ABO 得 AQAP AOAB 3 35 tt 解得 9 8 t 6 分 如图 当 PQ BO 时 DE PQ DE BO 四边形 QBED 是直角梯形 此时 APQ 90 由 AQP ABO 得 AQAP ABAO 即 3 53 tt 解得 15 8 t 10 分 4 5 2 t 或 45 14 t 14 分 2011 广州 25 14 分 如图 7 O 中 AB 是直径 C 是 O 上一点 ABC 450 等腰直 角三角形 DCE 中 DCE 是直角 点 D 在线段 AC 上 1 证明 B C E 三点共线 2 若 M 是线段 BE 的中点 N 是线段 AD 的中点 证明 MN 2OM 3 将 DCE 绕点 C 逆时针旋转 00 900 后 记为 D1CE1 图 8 若 M1是线段 y x E D Q P O B A A B OP Q D E x y 用心 爱心 专心6 BE1的中点 N1是线段 AD1的中点 M1N1 2OM1是否成立 若是 请证明 若不是 说明 理由 25 1 证明 AB 是 O 的直径 ACB 90 DCE 90 ACB DCE 180 B C E 三点共线 2 证明 连接 ON AE BD 延长 BD 交 AE 于点 F ABC 45 ACB 90 BC AC 又 ACB DCE 90 DC EC BCD ACE BD AE DBC CAE DBC AEC CAE AEC 90 BF AE AO OB AN ND ON 1 2 BD ON BD AO OB EM MB OM 1 2 AE OM AE OM ON OM ON OMN 45 又 cos OMN OM MN 2MNOM 3 111 2M NOM 成立 证明同 2 F F N N1 1 M M1 1 D D O O B B C C A A E E 用心 爱心 专心7 2011 广东 22 如图 1 2 所示 矩形 ABCD 的边长 AB 6 BC 4 点 F 在 DC 上 DF 2 动点 M N 分别 从点 D B 同时出发 沿射线 DA 线段 BA 向点 A 的方向运动 点 M 可运动到 DA 的延 长线上 当动点 N 运动到点 A 时 M N 两点同时停止运动 连接 FM FN 当 F N M 不在同一 直线时 可得 FMN 过 FMN 三边的中点作 PQW 设动点 M N 的速度都是 1 个单位 秒 M N 运动的 时间为 x 秒 试解答下列问题 1 说明 FMN QWP 2 设 0 x 4 即 M 从 D 到 A 运动的时间段 试问 x 为何值时 PQW 为直角三角 形 当 x 在何范围时 PQW 不为直角三角形 3 问当 x 为何值时 线段 MN 最短 求此时 MN 的值 22 1 提示 PQ FN PW MN QPW PWF PWF MNF QPW MNF 同理可得 PQW NFM 或 PWQ NFM FMN QWP 2 当 4 4 3 xx 或时 PQW 为直角三角形 当 0 x 4 3 4 3 x2 AP 2 因此以 1 2 3 4 为边或以 2 3 4 5 为边都不符合题意 所以四条边的长只能是 3 4 5 6 的一种情况 在 Rt AOM 中 534 2222 OMOAAM 因为抛物线对称 轴过点 M 所以在抛物线5 x的图象上有关于点 A 的对称 点与 M 的距离为 5 即 PM 5 此时点 P 横坐标为 6 即 AP 6 故以 A O M P 为顶点的四边形的四条边长度分别 是四个连续的正整数 3 4 5 6 成立 即 P 6 4 5 分 注 如果考生直接写出答案 P 给满分 2 分 但考生答案错误 解答过程分析合理可酌情给 1 分 法一 在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N 使 NAC 面积最大 设 N 点的横坐标为t 此时点 N 4 5 24 5 4 2 ttt 50 t 过点 N 作 NG y轴交 AC 于 G 由点 A 0 4 和点 C 5 0 可求出直线 AC 的解析式为 4 5 4 xy 把tx 代入得 4 5 4 ty 则 G 4 5 4 tt 此时 NG 4 5 4 t 4 5 24 5 4 2 tt tt 5 20 5 4 2 分 2 25 2 5 21025 5 20 5 4 2 1 2 1 222 tttttOCNGS ACN 当 2 5 t时 CAN 面积的最大值为 2 25 用心 爱心 专心15 由 2 5 t 得 34 5 24 5 4 2 tty N 2 5 3 8 分 法二 提示 过点 N 作x轴的平行线交y轴于点 E 作 CF EN 于点 F 则 NFCAENAEFCANC SSSS 梯形 再设出点 N 的坐标 同样可求 余下过程略 2011 年凉山州 如图 抛物线与x轴交于A 1 x 0 B 2 x 0 两点 且 12 xx 与y轴交于点 0 4C 其中 12 xx 是方程 2 4120 xx 的两个根 1 求抛物线的解析式 2 点M是线段AB上的一个动点 过点M作MN BC 交AC于点N 连接CM 当CMN 的面积最大时 求点M的坐标 3 点 4 Dk在 1 中抛物线上 点E为抛物线上一动点 在x轴上是否存在点F 使以ADEF 为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 求出所有满足条件的点 F的坐标 若不存在 请说明理由 28 1 2 4120 xx 1 2x 2 6x 2 0 A 6 0 B 1 分 又 抛物线过点A B C 故设抛物线的解析式为 2 6 ya xx 将点C的坐标代入 求得 1 3 a 抛物线的解析式为 2 14 4 33 yxx 3 分 2 设点M的坐标为 m 0 过点N作NHx 轴于点H 如图 1 点A的坐标为 2 0 点B的坐标为 6 0 8AB 2AMm 4 分 MNBC MNABC NHAM COAB 2 48 NHm 2 2 m NH 5 分 y x O B M N C A 28 题图 用心 爱心 专心16 11 22 CMNACMAMN SSSAM COAM NH 2 121 2 4 3 224 m mmm 6 分 2 1 2 4 4 m 当2m 时 CMN S 有最大值 4 此时 点M的坐标为 2 0 7 分 3 点D 4 k 在抛物线 2 14 4 33 yxx 上 当4x 时 4k 点D的坐标是 4 4 如图 2 当AF为平行四边形的边时 AFDE D 4 4 E 0 4 4DE 1 6 0 F 2 2 0 F 9 分 如图 3 当AF为平行四边形的对角线时 设 0 F n 则平行四边形的对称中心为 2 2 n 0 10 分 E 的坐标为 6n 4 把 E 6n 4 代入 2 14 4 33 yxx 得 2 16360nn 解得 82 7n 3 8 2 7 0 F 4 8 2 7 0 F 株洲市 2011 年 24 本题满分 10 分 孔明是一个喜欢探究钻研的同学 他在和同学 们一起研究某条抛物线 2 0 yaxa 的性质时 将一把直角三角板的直角顶点置于平面 直角坐标系的原点O 两直角边与该抛物线交于A B两点 请解答以下问题 1 若测得2 2OAOB 如图 1 求a的值 2 对同一条抛物线 孔明将三角板绕点O旋转到如图 2 所示位置时 过B作 BFx 轴于点F 测得1OF 写出此时点B的坐标 并求点A的横坐标 3 对该抛物线 孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现 交点A B的连 线段总经过一个固定的点 试说明理由并求出该点的坐标 y x OB 2 F E A 图 2 1 F D y x OB 3 F A 图 3 E D 4 F E y x BA O 图 1 FE y x B A O 图 2 用心 爱心 专心17 24 解 1 设线段AB与y轴的交点为C 由抛物线的对称性可得C为AB中点 2 2OAOB 90AOB 2ACOCBC B 2 2 2 分 将B 2 2 代入抛物线 2 0 yaxa 得 1 2 a 3 分 2 解法一 过点A作AEx 轴于点E 点B的横坐标为1 B 1 1 2 4 分 1 2 BF 又 90AOB 易知AOEOBF 又90AEOOFB AEO OFB 1 2 1 2 AEOF OEBF 2AEOE 5 分 设点A m 2 1 2 m 0m 则OEm 2 1 2 AEm 2 1 2 2 mm 4m 即点A的横坐标为4 6 分 解法二 过点A作AEx 轴于点E 点B的横坐标为1 B 1 1 2 4 分 1 tan2 1 2 OF OBF BF 90AOB 易知AOEOBF tantan2 AE AOEOBF OE 2AEOE 5 分 FE y x B A O 用心 爱心 专心18 设点A m 2 1 2 m 0m 则OEm 2 1 2 AEm 2 1 2 2 mm 4m 即点A的横坐标为4 6 分 解法三 过点A作AEx 轴于点E 点B的横坐标为1 B 1 1 2 4 分 设A m 2 1 2 m 0m 则 222 15 1 24 OB 224 1 4 OAmm 2222 11 1 22 ABmm 90AOB 222 ABOAOB 222222 1111 1 1 2222 mmmm 解得 4m 即点A的横坐标为4 6 分 3 解法一 设A m 2 1 2 m 0m B n 2 1 2 n 0n 设直线AB的解析式为 ykxb 则 2 2 1 1 2 1 2 2 mkbm nkbn 7 分 1 2 nm 得 22 11 22 mn bm nmnmn mn 1 2 bmn 8 分 又易知 AEO OFB AEOE OFBF 2 2 0 5 0 5 mm nn 4mn 9 分 1 42 2 b 由此可知不论k为何值 直线AB恒过点 0 2 10 分 说明 写出定点C的坐标就给 2 分 解法二 设A m 2 1 2 m 0m B n 2 1 2 n 0n 直线AB与y轴的交点为C 根据 0AOBAOEB FAOCBOCABFE SSSSSS 梯形 可 得 2222 111111111 222222222 nmmnmmnnOC mOC n 用心 爱心 专心19 化简 得 1 2 OCmn 8 分 又易知 AEO OFB AEOE OFBF 2 2 0 5 0 5 mm nn 4mn 9 分 2OC 为固定值 故直线AB恒过其与y轴的交点C 0 2 10 分 说明 mn的值也可以通过以下方法求得 由前可知 224 1 4 OAmm 224 1 4 OBnn 22222 11 22 ABmnmn 由 222 OAOBAB 得 24242222 1111 4422 mmnnmnmn 化简 得4mn 本答案仅供参考 若有其他解法 请参照本评分标准 2011 年桂林市 26 本题满分 12 分 已知二次函数 2 13 42 yxx 的图象如图 1 求它的对称轴与x轴交点D的坐标 2 将该抛物线沿它的对称轴向上平移 设平移后的抛物线与x轴 y轴的交点分别为 A B C三点 若 ACB 90 求此时抛物线的解析式 3 设 2 中平移后的抛物线的顶点为M 以AB为直径 D为圆心作 D 试判断直线 CM与 D的位置关系 并说明理由 26 本题满分 12 分 解 1 由 2 13 42 yxx 得 3 2 b x a 1 分 2 分 2 方法一 如图 1 设平移后的抛物线的解析式为 2 13 42 yxxk 3 分 则 C 0 k OC k 用心 爱心 专心20 令0y 即 2 13 0 42 xxk 得 1 349xk 2 349xk 4 分 A 349 0 k B 349 0 k 22 493349 1636ABkkk 5 分 222222 349 349 ACBCkkkk 2 2836kk 6 分 222 ACBCAB 即 2 28361636kkk 得 1 4k 2 0k 舍去 7 分 抛物线的解析式为 2 13 4 42 yxx 8 分 方法二 2 13 42 yxx 顶点坐标 9 3 4 设抛物线向上平移h个单位 则得到 0 Ch 顶点坐标 9 3 4 Mh 3 分 平移后的抛物线 219 3 44 yxh 4 分 当0y 时 219 30 44 xh 得 1 349xh 1 349xh A 349 0 h B 349 0 h 5 分 ACB 90 AOC COB 2 OC OA OB 6 分 2 493493hhh 得 1 4h 2 0h 舍去 7 分 平移后的抛物线 2219125 343 4444 yxx 8 分 3 方法一 如图 2 由抛物线的解析式 2 13 4 42 yxx 可得 A 2 0 B 8 0 C 0 M 25 3 4 9 分 过C M作直线 连结CD 过M作MH垂直y轴于H 则3MH 22 25625 416 DM 22222 25225 3 4 416 CMMHCH 在Rt COD中 CD 22 345 AD 点C在 D上 10 分 用心 爱心 专心21 22 25625 416 DM 2222 22525625 5 16416 CDCM 11 分 222 DMCMCD CDM是直角三角形 CD CM 直线CM与 D相切 12 分 方法二 如图 3 由抛物线的解析式可得 A 2 0 B 8 0 C 0 M 25 3 4 9 分 作直线CM 过D作DE CM于E 过M作MH垂直y轴于H 则3MH 25 4 DM 由勾股定理得 15 4 CM DM OC MCH EMD Rt CMH Rt DME 10 分 DEMD MHCM 得 5DE 11 分 由 2 知10AB D的半径为 5 直线CM与 D相