2012年高考数学 考前查缺补漏系列 热点04 合情演绎推理你准备好如何有效推理了吗？

用心 爱心 专心1 合情演绎推理 你准备好如何有效推理了吗 合情演绎推理 你准备好如何有效推理了吗 一 归纳推理 归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同的性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 如果归纳的个别情况 越多 越具有代表性 那么推广的一般性命题就越可靠 例 1 已知 f x 设f1 x f x fn x fn 1 fn 1 x n 1 且n N 则f3 x x 1 x 的表达式为 猜想fn x n N 的表达式为 思路分析 由已知关系 计算f1 x f2 x f3 x 猜想出fn x f3 x f2 f2 x x 1 2x 1 2x 1 2x x 1 22x 由此猜想fn x nN x 1 2n 1x 规律方法 归纳推理的特点 1 归纳是依据特殊现象推断出一般现象 因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范 围 2 归纳的前提是特殊的情况 所以归纳是立足于观察 经验或试验的基础之上的 二 类比推理 由类比推理知 体积比是棱长比的立方 即可得它们的体积比为 1 8 答案 1 8 规律方法 类比推理的关键是找到合适的类比对象 平面几何中的一些定理 公式 结论等 可以类比到空间立体几何中 得到类似结论 三 演绎推理 三段论推理中包含三个判断 第一个判断称为大前提 它提供了一个一般的原理 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 揭示了一般原理和 特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断 结论 用心 爱心 专心2 例 3 2012 年珠海调研 已知函数f x a 0 且a 1 a ax a 1 证明 函数y f x 的图象关于点 对称 1 2 1 2 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 由已知得y a ax a 则 1 y 1 a ax a ax ax a f 1 x a a1 x a a a ax a a ax a a ax ax ax a 1 y f 1 x 即函数y f x 的图象关于点 对称 1 2 1 2 误区警示 此题在求 1 y和f 1 x 时易出现混乱和化简整理方面的错误 四 高考命题趋势 从近几年的高考试题来看 归纳推理 类比推理 演绎推理等问题是高考的热点 归纳 推理 类比推理大部分在填空题中出现 为中 低档题 突出 小而巧 主要考查类比推 理 归纳推理的能力 演绎推理大多出现在解答题中 为中 高档题目 在知识交汇点处 命题 考查学生的逻辑推理能力 以及分析问题 解决问题的能力 预测 2012 年高考仍将 以归纳推理 类比推理 特别是演绎推理为主要考查点 重点考查学生的逻辑推理能力 五 典型试题精选 1 河南省平顶山许昌新乡 2012 届第二次调研考试理科数 已知函 数 0 2 x f xx x 如下定义一列函数 1 f xf x 21 fxf f x 32 fxf fx 用心 爱心 专心3 解析 12 22 2 234 21 2 2 2 x xxx x f xfx x xxx x 由此归纳可得 3 33 34 78 21 2 2 34 x xx x fx x xx x 0 21 2 n nn x fxx x 2 山东省德州市 2012 届高三上学期期末考试数学试题 定义映射其中BAf 答案 6 解析 3 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2fffff 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2ffff 3 2 6f 3 保定市 2011 2012 学年度第一学期高三期末调研考试 已知数列满足 且总等于的个位数字 则的 n anN 12 3 7aa 2n a 1nn a a 2012 a 值为 A 1 B 3 C 7 D 9 答案 C 解析 用心 爱心 专心4 已知点 若曲线上存在两点 使为正三角形 则称为型曲 1 1 A G B CABC G 线 给定下列三条曲线 3 03 yxx 2 2 20 yxx 1 0 yx x 其中 型曲线的个数是 A B C D 0123 答案 C 解析 对于 的图像是一条线段 记为如图 1 所示 3 03 yxx BB 从图中可以看出 在 3 217 3 21817 BBB AAC 线段上一定存在两点 B C 使 ABC 为正三角形 故 满足型曲线 对 BC 于 2 2 20 yxx 的图象是圆在第二象限的部分 如图 2 所示 显然 无论点 22 2xy B C 在何处 ABC 都不可能为正三角形 所以 不是型 曲线 对于 表示双曲线在第四象限的一支 如 1 0 yx x 图 3 所示 显然 存在点 B C 使 ABC 为正三角形 所 以 满足 综上 型曲线的个数为 2 故选 C 5 北京市西城区 2011 2012 学年度第一学期期末试卷 有限集合中元素的个数记作 已知 Pcard Pcard 10M AM BM 且 若集合满足 则集合的个AB card 2A card 3B XAXM X 数是 若集合满足 且 则集合的个数是 YYM AY BY Y 用数字作答 答案 256 672 x y y x 3 O A B C x y A O y O A x 用心 爱心 专心5 6 北京市朝阳区 2011 2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试 已知两个正数 可按规则扩充为一个新数 在三个数中取两个较 a bcabab c a b c 大的数 按上述规则扩充得到一个新数 依次下去 将每扩充一次得到一个新数称为一次操 作 1 若 按上述规则操作三次 扩充所得的数是 1 3ab 2 若 经过 6 次操作后扩充所得的数为 为正整数 0pq 1 1 1 mn qp m n 则的值分别为 m n 答案 1 255 2 8 13 7 北京市西城区 2011 2012 学年度第一学期期末试卷 设 不等式组 所表示的平面区域是 给出下列三个结论 0 2 0 20 x xy xy W 当时 的面积为 1 W3 使是直角三角形区域 0 W 用心 爱心 专心6 设点 对于有 P x yPW 4 y x 其中 所有正确结论的序号是 答案 围成的三角形区域 令 则在三个点处得值分别为 故 y zx 2 1 0 4 2 的最大值为 4 正确 y zx 8 2012 东城区普通高中示范校高三综合练习 二 答案 10 495 A 解析 是数列的第项 由 10 495 1 2011 1 21n 1006 011 22221 nn 可得 即将位于数表的第行 位于第行的第21 1006 n 9n 1 2011 1010 的位置 故其可以记为 9 1006 21 495 10 495 A 9 湖北省武汉市 2012 年普通高等学校招生适应性 已知函数 规定 给定一个实数 赋值 若 则 21f xx x R 0 x 10 xf x 1 257x 继续赋值 若 则继续赋值 以此类推 若 21 xf x 2 257x 32 xf x 用心 爱心 专心7 则 否则停止赋值 已知赋 值次后该过程停止 则 1 257 n x 1 nn xf x k k N 的取值范围是 0 x A B 78 21 21 kk 89 21 21 kk C D 109 21 21 kk 89 2 2 kk 答案 B 10 2012 年河南省豫东 豫北十所名校性测试 三 已知如下等式 则由上述等式可归纳得到 n 答案 1 1 1 34 7 n n 解析 依题意及不完全归纳法得知 1 1221 1 334341434 7 nn nnnnn A A A 11 2012 豫南九校联考 若a b是正常数 a b x y 0 则 a2 x b2 y 当且仅当 时上式取等号 利用以上结论 可以得到函数f x a b 2 x y a x b y 用心 爱心 专心8 x 0 的最小值为 2 x 9 1 2x 1 2 答案 25 解析 依据给出的结论可知f x 25 等号在 4 2x 9 1 2x 2 3 2 2x 1 2x 2 2x 3 1 2x 即x 时成立 1 5 12 观察等式 sin230 cos260 sin30 cos60 sin220 cos250 sin20 3 4 cos50 和 sin215 cos245 sin15 cos45 由此得出以下推广命题 则 3 4 3 4 推广不正确的是 答案 A 解析 观察已知等式不难发现 60 30 50 20 45 15 30 推 广后的命题应具备此关系 但 A 中 与 无联系 从而推断错误的命题为 A 选 A 13 2012 山东潍坊一中期末 一次研究性课堂上 老师给出函数f x x R x 1 x 甲 乙 丙三位同学在研究此函数时分别给出命题 答案 A 解析 当x 0 时 f x 0 1 当x 0 时 f 0 0 当x2 1 f 8 f 23 1 f 16 f 24 3 2 1 2 2 2 5 2 3 2 3 1 观察可见自变量取值为 2n时 函数值大于或等于 1 即f 2n 1 4 2 n 2 n 2 答案 RSV 3 1 解析 类比平面中凸多边形的面积的求法 将空间凸多面体的内切球与各个顶点连接起 来 将凸多面体分割成若干个小棱锥 每个棱锥都以多面体的面为底面 以内切球的半径 为高 从而 为凸RSRSSSRSRSRSV nn 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 21211 S 2 S n S 多面体的各个面的面积 21 山东省济南市 2012 届高三 3 月 二模 月考 观察下列等式 用心 爱心 专心12 照此规律 第n个等式为 解析 第个等式的第一项是 共有 2 1 2 32 21 nnnnn nn 个数 最后一项是 故第个等式为21n 32n n 21 如图 1 过四面体V ABC的底面内任 2 1 2 32 21 nnnnn 一点O分别作OA1 VA OB1 VB OC1 VC A1 B1 C1分别是所作直线与侧面交点 求证 为定值 OA1 VA OB1 VB OC1 VC 分析 考虑平面上的类似命题 过 ABC底边AB上任一点O分别作OA1 AC OB1 BC 分别交BC AC于A1 B1 求证 为定值 这一命题利用相似三角形性质很容易推 OA1 AC OB1 BC 出其为定值 1 另外 过A O分别作BC垂线 过B O分别作AC垂线 则用面积法也不难 证明定值为 1 于是类比到空间图形 也可用两种方法证明 其定值为 1 证明 如图 2 设平面OA1VA BC M