【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第二篇 第8讲 函数与方程 理 湘教版

1 第第 8 8 讲讲 函数与方程函数与方程 A 级 基础演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 函数f x sin x x零点的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 f x cos x 1 0 f x 单调递减 又f 0 0 则f x sin x x的 零点是唯一的 答案 B 2 2013 渝北区模拟 设f x ex x 4 则函数f x 的零点位于区间 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 解析 f x ex x 4 f x ex 1 0 函数f x 在 R R 上单调递增 对于 A 项 f 1 e 1 1 4 5 e 1 0 f 0 30 A 不正确 同理可验证 B D 不正确 对于 C 项 f 1 e 1 4 e 30 f 1 f 2 0 故选 C 答案 C 3 2013 石家庄期末 函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则实数a的取值 2 x 范围是 A 1 3 B 1 2 C 0 3 D 0 2 解析 由条件可知f 1 f 2 0 即 2 2 a 4 1 a 0 即a a 3 0 解之得 0 a 3 答案 C 4 2011 山东 已知f x 是 R R 上最小正周期为 2 的周期函数 且当 0 x 2 时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 A 6 B 7 C 8 D 9 解析 当 0 x 2 时 令f x x3 x 0 得x 0 或x 1 根据周期函数的性质 由f x 的最小正周期为 2 可知y f x 在 0 6 上有 6 个零点 又f 6 f 3 2 f 0 0 2 f x 在 0 6 上与x轴的交点个数为 7 答案 B 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 已知函数f x Error g x f x x a 若函数g x 有两个零点 则实数a的取值 范围为 解析 设n为自然数 则当n0 时 函数f x 的 图象是以 1 为周期重复出现 而函数y x a是一族平行直线 当它过点 0 1 此时 a 1 时与函数f x 的图象交于一点 向左移总是一个交点 向右移总是两个交点 故 实数a的取值范围为a0 1 1 x 1 作出函数f x 的图象 2 当 0 a b 且f a f b 时 求 的值 1 a 1 b 3 若方程f x m有两个不相等的正根 求m的取值范围 解 1 如图所示 2 f x 1 1 x Error 故f x 在 0 1 上是减函数 而在 1 上是增 函数 由 0 a b且f a f b 得 0 a 1 b 且 1 1 2 1 a 1 b 1 a 1 b 3 由函数f x 的图象可知 当 0 m 1 时 方程f x m有两个不相等的正根 3 8 13 分 已知函数f x x3 2x2 ax 1 1 若函数f x 在点 1 f 1 处的切线斜率为 4 求实数a的值 2 若函数g x f x 在区间 1 1 上存在零点 求实数a的取值范围 解 由题意得g x f x 3x2 4x a 1 f 1 3 4 a 4 a 3 2 法一 当g 1 a 1 0 a 1 时 g x f x 的零点x 1 1 1 3 当g 1 7 a 0 a 7 时 f x 的零点x 1 1 不合题意 7 3 当g 1 g 1 0 时 1 a 7 当Error 时 a 1 4 3 综上所述 a 4 3 7 法二 g x f x 在区间 1 1 上存在零点 等价于 3x2 4x a在区间 1 1 上 有解 也等价于直线y a与曲线y 3x2 4x在 1 1 有公共点 作图可得a 4 3 7 或者又等价于当x 1 1 时 求值域 a 3x2 4x 3 2 x 2 3 4 3 4 3 7 B 级 能力突破 时间 30 分钟 满分 45 分 一 选择题 每小题 5 分 共 10 分 1 2011 陕西 函数f x cos x在 0 内 x A 没有零点 B 有且仅有一个零点 C 有且仅有两个零点 D 有无穷多个零点 解析 令f x 0 得 cos x 在同一坐标系内画出 x 两个函数y 与y cos x的图象如图所示 由图象知 x 两个函数只有一个交点 从而方程 cos x只有一个 x 解 函数f x 只有一个零点 答案 B 2 2012 辽宁 设函数f x x R R 满足f x f x f x f 2 x 且当x 0 1 时 f x x3 又函数g x xcos x 则函数h x g x f x 在上的零 1 2 3 2 4 点个数为 A 5 B 6 C 7 D 8 解析 由题意知函数y f x 是周期为 2 的偶函数且 0 x 1 时 f x x3 则当 1 x 0 时 f x x3 且g x xcos x 所以当x 0 时 f x g x 当 x 0 时 若 00 为函数f x 的 友好 点对 则y y 2 x 2 4 x 2 ex 5 1 2x2 4x 1 2x2 4x 1 0 在同一坐标系中作函数 2 ex y1 y2 2x2 4x 1 的图象 y1 y2的图象有两个交点 所以f x 有 2 个 友好 2 ex 点对 故填 2 答案 2 三 解答题 共 25 分 5 12 分 设函数f x 3ax2 2 a c x c a 0 a c R R 1 设a c 0 若f x c2 2c a对x 1 恒成立 求c的取值范围 2 函数f x 在区间 0 1 内是否有零点 有几个零点 为什么 解 1 因为二次函数f x 3ax2 2 a c x c的图象的对称轴为x 由条件 a c 3a a c 0 得 2a a c 故 c2 2c a对x 1 恒成立 则f x min f 1 c2 2c a 即 a c c2 2c a 得c2 c 0 所以 0 c 1 2 若f 0 f 1 c a c 0 则c 0 或a0 f 1 a c 0 则a c 0 因为二次函数f x 3ax2 2 a c x c的图象的对称轴是x 而f a c 3a a c 3a 0 a2 c2 ac 3a 所以函数f x 在区间和内各有一个零点 故函数f x 在区间 0 1 0 a c 3a a c 3a 1 内有两个零点 6 13 分 已知二次函数f x x2 16x q 3 1 若函数在区间 1 1 上存在零点 求实数q的取值范围 2 是否存在常数t t 0 当x t 10 时 f x 的值域为区间D 且区间D的长度为 12 t 视区间 a b 的长度为b a 解 1 函数f x x2 16x q 3 的对称轴是x 8 f x 在区间 1 1 上是减 函数 函数在区间 1 1 上存在零点 则必有Error 即Error 20 q 12 2 0 t 10 f x 在区间 0 8 上是减函数 在区间 8 10 上是增函数 且对称轴是 6 x 8 当 0 t 6 时 在区间 t 10 上 f t 最大 f 8 最小 f t f 8 12 t 即t2 15t 52 0 解得t t 15 17 2 15 17 2 当 6