2011年高考数学试题分类汇编 函数与导数

用心 爱心 专心 1 20112011 年高考数学试题分类汇编 函数与导数年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一 选择题 1 安徽理 3 设 f x 是定义在R上的奇函数 当x 时 f xxx 则 f A B 3 答案 A 命题意图 本题考查函数的奇偶性 考查函数值的求法 属容易题 解析 2 1 1 2 1 1 3ff 故选 A 2 安徽理 10 函数 mn f xaxx g 在 区间 0 1 上的图像如图所示 则 m n 的 值可能是 A 1 1mn B 1 2mn C 2 1mn D 3 1mn 答案 B 命题意图 本题考查导数在研究 函数单调性中的应用 考查函数图像 考查思维的综合能力 难度大 解析 代入验证 当 1 2mn f xaxxn xxx g 则 fxaxx 由 fxaxx 可知 12 1 1 3 xx 结合图像可 知函数应在 1 0 3 递增 在 1 1 3 递减 即在 1 3 x 取得最大值 由 fa g 知 a 存在 故选 B 3 安徽文 5 若点 a b 在 lgyx 图像上 a 则下列点也在此图像上的是 A a b B 10a 1 b C a b 1 D a2 2b 答案 D 命题意图 本题考查对数函数的基本运算 考查对数函数的图像与对应点的关 系 解析 由题意 lgba lglgbaa 即 2 2 ab 也在函数 lgyx 图像上 y 0 51 x O 0 5 用心 爱心 专心 2 4 安徽文 10 函数 n f xaxx g 在区间 0 1 上的 图像如图所示 则 n 可能是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 A 命题意图 本题考查导数在 研究函数单调性中的应用 考查函数图像 考查思维的综合能力 难度大 解析 代入验证 当 1n 时 f xaxxa xxx g 则 fxaxx 由 fxaxx 可知 12 1 1 3 xx 结合图像可知函数应在 1 0 3 递增 在 1 1 3 递减 即在 1 3 x 取得最大值 由 fa g 知 a 存在 故选 A 5 北京理 6 根据统计 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 单位 分钟 为 c xA x f x c xA A A c 为常数 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟 组装第 A 件产 品时用时 15 分钟 那么 c 和 A 的值分别是 A 75 25B 75 16 C 60 25 D 60 16 答案 D 解析 由条件可知 x A 时所用时间为常数 所以组装第 4 件产品用时必然满足第一个 分段函数 即 4 3060 4 c fc 60 1516f AA A 选 D 6 北京文 8 已知点 0 2A 2 0B 若点C在函数 2 yx 的图象上 则使得 ABC 的 面积为 2 的点C的个数为 A 4 B 3C 2D 1 答案 A 7 福建理 5 1 2 0 x ex dx 等于 A 1B 1e C eD 1e 答案 C 0 51 x y O 0 5 用心 爱心 专心 3 8 福建理 9 对于函数 sinf xaxbxc 其中 a bR cZ 选取 a b c 的一 组值计算 1 f 和 1 f 所得出的正确结果一定不可能是 A 4 和 6B 3 和 1C 2 和 4D 1 和 2 答案 D 9 福建理 10 已知函数 x f xex 对于曲线 yf x 上横坐标成等差数列的三个点 A B C 给出以下判断 ABC 一定是钝角三角形 ABC 可能是直角三角形 ABC 可能是等腰三角形 ABC 不可能是等腰三角形 其中 正确的判断是 A B C D 答案 B 10 福建文 6 若关于 x 的方程 x2 mx 1 0 有两个不相等的实数根 则实数 m 的取值范 围是 A 1 1 B 2 2 C 2 2 D 1 1 答案 C 11 福建文 8 已知函数 f x 若 f a f 1 0 则实数 a 的值等于 2x x 0 x 1 x 0 A 3 B 1 C 1 D 3 答案 A 12 福建文 10 若 a 0 b 0 且函数 f x 4x3 ax2 2bx 2 在 x 1 处有极值 则 ab 的最大值等于 A 2 B 3 C 6 D 9 答案 D 13 广东理 4 设函数 f x 和 g x 分别是 R 上的偶函数和奇函数 则下列结论恒成立的是 A f x g x 是偶函数 B f x g x 是奇函数 C f x g x 是偶函数 D f x g x 是奇函数 答案 A 解析 因为 g x 是 R 上的奇函数 所以 g x 是 R 上的偶函数 从而 f x g x 是偶函 数 故选 A 14 广东文 4 函数 1 lg 1 1 f xx x 的定义域是 A 1 B 1 C 1 1 1 D 用心 爱心 专心 4 答案 C 15 广东文 10 设 xhxgxf 是 R 上的任意实值函数 如下定义两个函数 xgf 和 xgf 对任意 Rx xgfxgf xgxfxgf 则 下列等式恒成立的是 A xhghfxhgf B xhghfxhgf C xhghfxhgf D xhghfxhgf 答案 B 16 湖北理 6 已知定义在 R 上的奇函数 xf 和偶函数 xg 满足 2 xx aaxgxf 1 0 aa且 若 ag 2 则 2f A 2 B 4 15 C 4 17 D 2 a 答案 B 解析 由条件 222 22 aagf 222 22 aagf 即 222 22 aagf 由此解得 22 g 22 2 aaf 所以 2 a 4 15 222 22 f 所以选 B 17 湖北理 10 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素 其含量不断减 少 这种现象成为衰变 假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中 其含量M 单位 太 贝克 与时间t 单位 年 满足函数关系 30 02 t MtM 其中 0 M 为 0 t 时铯 137 的 含量 已知 30 t 时 铯 137 的含量的变化率是 2ln10 太贝克 年 则 60M A 5 太贝克 B 2ln75 太贝克 C 2ln150 太贝克 D 150 太贝克 答案 D 解析 因为 30 0 22ln 30 1 t MtM 则 2ln1022ln 30 1 30 30 30 0 MM 用心 爱心 专心 5 解得 600 0 M 所以 30 2600 t tM 那么 150 4 1 600260060 30 60 M 太贝克 所以选 D 18 湖南文 7 曲线 sin1 sincos2 x y xx 在点 0 4 M 处的切线的斜率为 A 1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 2 答案 B 解析 22 cos sincos sin cossin 1 sincos sincos xxxxxx y xxxx 所以 2 4 11 2 sincos 44 x y 19 湖南文 8 已知函数 2 1 43 x f xeg xxx 若有 f ag b 则b的取值 范围为 A 2 2 22 B 2 2 22 C 1 3 D 1 3 答案 B 解析 由题可知 11 x f xe 22 43 2 1 1g xxxx 若有 f ag b 则 1 1 g b 即 2 431bb 解得2 222b 20 湖南理 6 由直线 0 33 xxy 与曲线 cosyx 所围成的封闭图形的面积为 A 1 2 B 1 C 3 2 D 3 答案 D 解析 由定积分知识可得 3 3 3 3 33 cossin 3 22 Sxdxx 故选 D 21 湖南理 8 设直线x t 与函数 2 lnf xxg xx 的图像分别交于点 M N 则当 MN 达到最小时t的值为 用心 爱心 专心 6 A 1 B 1 2 C 5 2 D 2 2 答案 D 解析 由题 2 lnMNxx 0 x 不妨令 2 lnh xxx 则 1 2h xx x 令 0h x 解得 2 2 x 因 2 0 2 x 时 0h x 当 2 2 x 时 0h x 所 以当 2 2 x 时 MN 达到最小 即 2 2 t 22 江西文 3 若 1 2 1 log 21 f x x 则 f x 的定义域为 1 0 2 B 1 2 C 1 0 0 2 D 1 2 2 答案 C 解析 0 0 2 1 112 012 012log 2 1 x xxx 23 江西文 4 曲线 x ye 在点 A 0 1 处的切线斜率为 A 1 B 2 C e D 1 e 答案 A 解析 1 0 0 exey x 24 江西文 6 观察下列各式 则 234 749 7343 72401 则 2011 7 的末两位数字 为 A 01 B 43 C 07 D 49 答案 B 解析 343 2011 200922011 168075 24014 3433 492 7 f ffffxf x 25 江西理 3 若 12 log 1 2 1 x xf 则 xf 定义域为 用心 爱心 专心 7 A 0 2 1 B 0 2 1 C 2 1 D 0 答案 A 解析 由 0 12 log 012 2 1 x x 解得 0 2 1 x x 故 0 2 1 x 选 A 26 江西理 4 设 xxxxfln42 2 则 0 xf 的解集为 A 0 B 2 0 1 C 2 D 0 1 答案 C 解析 xf 定义域为 0 又由 0 1 2 24 22 x xx x xxf 解得 01 x 或 2 x 所以 0 xf 的解集 2 27 江西理 7 观察下列各式 312555 1562556 7812557 则 2011 5 的末 四位数字为 A 3125 B 5625 C 0625 D 8125 答案 D 解析 观察可知当指数为奇数时 末三位为 125 又 11004 252011 即 2011 5 为第 1004 个指数为奇数的项 应该与第二个指数为奇数的项 7812557 末四位相同 2011 5 的末四位数字为 8125 28 辽宁理 9 设函数 1 log1 1 2 2 1 xx x xf x 则满足 2 xf 的 x 的取值范围是 A 1 2 B 0 2 C 1 D 0 答案 D 29 辽宁理 11 函数 xf 的定义域为R 2 1 f 对任意 R x 2 x f 则 42 xxf 的解集为 A 1 1 B 1 C 1 D 答案 B 30 辽宁文 6 若函数 12 axx x xf 为奇函数 则 a 用心 爱心 专心 8 A 2 1 B 3 2 C 4 3 D 1 答案 A 31 全国 理 2 下列函数中 既是偶函数又在 0 单调递增的函数是 A 3 yx B 1yx C 2 1yx D 2 x y 答案 B 32 全国 理 9 由曲线 yx 直线 2yx 及 y 轴所围成的图形的面积为 A 10 3 B 4 C 16 3 D 6 答案 C 33 全国 理 12 函数 1 1 y x 的图像与函数 2sin 24 yxx 的图像所有交点的 横坐标之和等于 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 D 34 全国 文 4 曲线 2 y21xx 在点 1 0 处的切线方程为 A 1yx B 1yx C 22yx D 22yx 答案 A 35 全国 文 9 设偶函数 f x 满足 f x 2x 4 x 0 则 20 x f x A 24x xx 或 B 04 x xx 或 C 06 x xx 或 D 22 x xx 或 答案 B 36 全国 理 2 函数 y 2 x x 0 的反函数为 A y 2 4 x x R B y 2 4 x x 0 C y 2 4x x R D y 2 4x x 0 答案 B 命题意图 本小题主要考查函数与反函数概念及求法特别要注意反函数的定义域即原函 数的值域 解析 由 y 2 x 得x 2 4 y 函数 y 2 x x 0 的反函数为 用心 爱心 专心 9 y 2 4 x x 0 37 全国 理 8 曲线 2 1 x ye 在点 0 2 处的切线与直线 0y 和 yx 围成的三角形 的面积为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 1 答案 A 命题意图 本小题主要考查导数的求法 导数的几何意义及过曲线上一点切线的方程的 求法 解析 2 00 2 2 x xx ye 故曲线 2 1 x ye 在点 0 2 处的切线方程为 22yx 易得切线与直线 0y 和 yx 围成的三角形的面积为 1 3 38 全国 理 9 设 f x 是周期为 2 的奇函数 当0 1x 时 2 1 f xxx 则 5 2 f A 1 2 B 1 4 C 1 4 D 1 2 答案 A 命题意图 本小题主要考查了函数的奇偶性 周期性的概念 解析 5511111 2 2 1 2222222 ffff A 39 山东理 9 函数 2sin 2 x yx 的图象大致是 答案 C 解析 因为 1 2cos 2 yx 所以令 1 2cos0 2 yx 得 1 cos 4 x 此时原函数是增函 数 令 1 2cos0 2 yx 得 1 cos 4 x 此时原函数是减函数 结合余弦函数图象 可得选 C 用心 爱心 专心 10 正确 40 山东理 10 已知 f x 是R上最小正周期为 2 的周期函数 且当0 2x 时 3 f xxx 则函数 yf x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 A 6 B 7 C 8 D 9 答案 A 解析 因为当0 2x 时 3 f xxx 又因为 f x 是R上最小正周期为 2 的周期函 数 且 0 0f 所以 6 4 2 0 0ffff 又因为 1 0f 所以 3 0f 5 0f 故函数 yf x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 6 个 选 A 41 山东文 4 曲线 3 11yx 在点 P 1 12 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 A 9 B 3 C 9 D 15 答案 C 42 陕西理 3 设函数 f x x R 满足 fxf x 2 f xf x 则函数 yf x 的图像是 答案 B 分析 根据题意 确定函数 yf x 的性质 再判断哪一个图像具有这些性质 解析 选由 fxf x 得 yf x 是偶函数 所以函数 yf x 的图象关于 y 轴对称 可知 B D 符合 由 2 f xf x 得 yf x 是周期为 2 的周期函数 选项 D 的图像的最 小正周期是 4 不符合 选项 B 的图像的最小正周期是 2 符合 故选 B 43 陕西文 4 函数 1 3 yx 的图像是 用心 爱心 专心 11 答案 B 分析 已知函数解析式和图像 可以用取点验证的方法判断 解析 取 1 8 x 1 8 则 1 2 y 1 2 选项 B D 符合 取 1x 则 1y 选项 B 符 合题意 44 上海理 16 下列函数中 既是偶函数 又是在区间 0 上单调递减的函数是 A 1 ln y x B 3 yx C 2 x y D cosyx 答案 A 45 上海文 15 下列函数中 既是偶函数 又在区间 0 上单调递减的函数是 A 2 yx B 1 yx C 2 yx D 1 3 yx 答案 A 46 四川理 7 若 f x 是 R 上的奇函数 且当 0 x 时 1 1 2 x f x 则 f x 的反函数的 图象大致是 答案 A 解析 当 0 x 时 函数 f x 单调递减 值域为 1 2 此时 其反函数单调递减且图象在 1x 与 2x 之间 故选 A 47 四川文 4 函数 1 1 2 x y 的图象关于直线 y x 对称的图象像大致是 用心 爱心 专心 12 答案 A 解析 1 1 2 x y 图象过点 0 2 且单调递减 故它关于直线 y x 对称的图象过点 2 0 且单调递减 选 A 48 天津理 2 函数 23 x f xx 的零点所在的一个区间是 2 1 1 0 0 1 1 2 答案 B 解析 解法 1 因为 2 2260f 1 1230f 0 0200f 所以函数 23 x f xx 的零点所在的一个区间是 1 0 故选 解法 2 230 x f xx 可化为2 3 x x 画出函数 2xy 和 3yx 的图象 可观察出选项 不正确 且 0 0200f 由 此可排除 故选 49 天津理 8 设函数 2 1 2 log 0 log 0 xx f x xx 若 f afa 则实数a的取值范 围是 1 00 1 U 11 U 1 01 U 10 1 U 答案 C 解析 若 0a 则 21 2 loglogaa 即 2 2log0a 所以 1a 若 0a 则 12 2 loglogaa 即 2 2log0a 所以0 1a 10a 所以实数a的取值范围是 1a 或 10a 即 1 01a U 故选 C 50 天津文 4 函数 e2 x f xx 的零点所在的一个区间是 用心 爱心 专心 13 2 1 1 0 0 1 1 2 答案 C 解析 因为 1 1e1 20f 0 0e0210f 1 1e1 2e 10f 所以函数 e2 x f xx 的零点所在的一个区间 是 0 1 故选 51 天津文 6 设 5 log 4a 2 5 log 3b 4 log 5c 则 a cb b ca a bc b ac 答案 D 解析 因为 44 log 5log 41cc 5 0log 41a 5 0log 31a 所以 2 5555 log 3log 3 log 4log 4ba 所以b ac 故选 52 天津文 10 设函数 2 2g xx x R 4 g xxxg x f x g xx xg x 则 f x 的值域是 9 01 4 U 0 9 4 9 02 4 U 答案 D 解析 解 2 2xg xx 得 2 20 xx 则 1x 或 2x 因此 2 2xg xx 的解为 12x 于是 2 2 2 12 2 12 xxxx f x xxx 当 1x 或 2x 时 2f x 当 12x 时 2 2 19 2 24 xxx 则 9 4 f x 又当 1x 和 2x 时 2 20 xx 所以 9 0 4 f x 用心 爱心 专心 14 由以上 可得 2f x 或 9 0 4 f x 因此 f x 的值域是 9 02 4 U 故选 53 浙江理 1 已知 0 1 0 2 xxf xx xf 则 22 ff 的值为 A 6 B 5 C 4 D 2 答案 B 54 浙江文 10 设函数 2 f xaxbxc a b cR 若 1x 为函数 2 f x e 的一个 极值点 则下列图象不可能为 yf x 的图象是 答案 D 55 重庆理 5 下列区间中 函数 f x ln 2 x 在其上为增函数的是 A 1 B 4 1 3 C 3 0 2 D 1 2 答案 D 56 重庆理 10 设 m k 为整数 方程 2 20mxkx 在区间 0 1 内有两个不同的根 则 m k 的最小值为 A 8 B 8 C 12 D 13 答案 D 57 重庆文 3 曲线在点 处的切线方程为 A 3 3 2 1 2 A B 3 1 3 5 C D 3 5 2 58 重庆文 6 设 则 的大小关系是 1 3 1 2 1 2 2 3 34 3 A B C D 2 用心 爱心 专心 15 A B 1 2 1 3 C 3 D 4 答案 C 二 填空题 60 重庆文 15 若实数 满足 则 的最大 2 2 2 2 2 2 2 值是 答案 2 2log 3 61 浙江文 11 设函数k 4 1 f x x 若 2f a 则实数 a 答案 1 62 天津文 16 设函数 1 f xx x 对任意 1 x 0f mxmf x 恒成立 则实数m的取值范围是 答案 1 解析 解法 1 显然 0m 由于函数 1 f xx x 对 1 x 是增函数 则当 0m 时 0f mxmf x 不恒成立 因此 0m 当 0m 时 函数 h xf mxmf x 在 1 x 是减函数 因此当 1x 时 h x 取得最大值 1 1hm m 于是 0h xf mxmf x 恒成立等价于 h x 1 x 的最大值 0 即 1 10hm m 解 1 0 0 m m m 得 1m 于是实数m的取值范围是 1 解法 2 然 0m 由于函数 1 f xx x 对 1 x 是增函数 则当 0m 时 0f mxmf x 不成立 因此 0m 2222 1121 20 mmm xm f mxmf xmxmxmx mxxmxmx 用心 爱心 专心 16 因为 1 x 0m 则 222 210m xm 设函数 222 21g xm xm 则当 1 x 时为增函数 于是 1x 时 g x 取得最小值 2 11gm 解 2 110 0 gm m 得 1m 于是实数m的取值范围是 1 解法 3 因为对任意 1 x 0f mxmf x 恒成立 所以对 1x 不等式 0f mxmf x 也成立 于是 10f mmf 即 1 0m m 解 1 0 0 m m m 得 1m 于是实数m的取值范围是 1 63 天津理 16 设函数 2 1f xx 对任意 3 2 x 2 414 x fm f xf xf m m 恒成立 则实数m的取值范围是 答案 33 22 U 解析 解法 不等式化为 2 1440 x f xf mfm f x m 即 2 2 2222 2 11441440 x xmm xm m 整理得 22 2 1 14230mxx m 因为 2 0 x 所以 2 22 123 14 x m mx 设 2 23x g x x 3 2 x 于是题目化为 2 2 1 14mg x m 对任意 3 2 x 恒成立的问题 为此需求 2 23x g x x 3 2 x 的最大值 设 1 u x 则 2 0 3 u 函数 2 32g xh uuu 在区间 2 0 3 上是增函数 因而在 2 3 u 处取得最大值 用心 爱心 专心 17 242 28 3 3933 h 所以 2 max 2 18 14 3 mux m 整理得 42 12530mm 即 22 43310mm 所以 2 430m 解得 3 2 m 或 3 2 m 因此实数m的取值范围是 33 22 m U 解法 2 同解法 1 题目化为 2 2 1 14mg x m 对任意 3 2 x 恒成立的问题 为此需求 2 23x g x x 3 2 x 的最大值 设 23tx 则 6 t 2 44 9 69 6 t g xh t tt t t 因为函数 9 t t 在 3 上是增函数 所以当 6t 时 9 t t 取得最小值 3 6 2 从而 h t 有最大值 48 3 3 66 2 所以 2 max 2 18 14 3 mgx m 整理得 42 12530mm 即 22 43310mm 所以 2 430m 解得 3 2 m 或 3 2 m 因此实数m的取值范围是 33 22 m U 解法 3 不等式化为 2 1440 x f xf mfm f x m 即 2 2 2222 2 11441440 x xmm xm m 整理得 22 2 1 14230mxx m 用心 爱心 专心 18 令 22 2 1 1423F xmxx m 由于 030F 则其判别式 0 因此 F x 的最小值不可能在函数图象的顶点得到 所以为使 0F x 对任意 3 2 x 恒成立 必须使 3 2 F 为最小值 即实数m应满足 2 2 2 2 1 140 3 0 2 23 12 2 14 m m F m m 解得 2 3 4 m 因此实数m的取值范围是 33 22 m U 解法 4 针对填空题或选择题 由题设 因为对任意 3 2 x 2 414 x fm f xf xf m m 恒成立 则对 3 2 x 不等式 2 414 x fm f xf xf m m 也成立 把 3 2 x 代入上式得 2 331 44 222 fm fff m m 即 222 2 991 1 44144 444 mmm m 因为 2 40m 上式两边同乘以 2 4m 并整理 得 42 12530mm 即 22 43310mm 所以 2 430m 解得 3 2 m 或 3 2 m 用心 爱心 专心 19 因此实数m的取值范围是 33 22 m U 64 四川理 13 计算 1 2 1 lglg25 100 4 答案 20 解析 1 2 1 2 1lg2lg51 lglg25 10022lg1020 410 100 65 四川理 16 函数 f x 的定义域为 A 若 12 x xA 且 12 f xf x 时总有 12 xx 则称 f x 为单函数 例如 函数 f x 2x 1 x R 是单函数 下列命题 函数 2 f xx x R 是单函数 若 f x 为单函数 12 x xA 且 12 xx 则 12 f xf x 若 f A B 为单函数 则对于任意b B 它至多有一个原象 函数 f x 在某区间上具有单调性 则 f x 一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 答案 解析 对于 若 12 f xf x 则 12 xx 不满足 实际上是单函数命题的逆否命题 故为真命题 对于 若任意b B 若有两个及以上的原象 也即当 12 f xf x 时 不一 定有 12 xx 不满足题设 故该命题为真 根据定义 命题 不满足条件 66 上海文 3 若函数 21f xx 的反函数为 1 fx 则 1 2 f 答案 3 2 67 上海文 12 行列式 1 1 2 ab a b c d cd 所有可能的值中 最大的是 答案 15 2 68 上海文 14 设 g x 是定义在R上 以 1 为周期的函数 若函数 f xxg x 在区 间 0 1 上的值域为 2 5 则 f x 在区间 0 3 上的值域为 用心 爱心 专心 20 答案 2 7 69 上海理 1 函数 1 2 f x x 的反函数为 1 fx 答案 1 2 x 70 上海理 10 行列式 1 1 2 ab a b c d cd 所有可能的值中 最大的是 答案 6 71 上海理 13 设 g x 是定义在R上 以 1 为周期的函数 若函数 f xxg x 在区 间 3 4 上的值域为 2 5 则 f x 在区间 10 10 上的值域为 答案 15 11 72 陕西文 11 设 lg 0 10 0 x x x f x x 则 2 f f 答案 2 分析 由 2x 算起 先判断x的范围 是大于 0 还是不大于 0 再判断 2 f 作为自 变量的值时的范围 最后即可计算出结果 解析 20 x 2 1 2 100 100 f 所以 22 10 lg102f 即 2 2f f 73 陕西理 11 设 2 0 lg0 30 a xx f x xt dtx 若 1 1f f 则a 分析 分段函数问题通常需要分布进行计算或判断 从 1x 算起是解答本题的突破口 解析 因为 10 x 所以 1 lg10f 又因为 23 0 3 a f xxt dtxa 所以 3 0 fa 所以 3 1a 1a 答案 1 74 陕西理 12 设 nN 一元二次方程 2 40 xxn 有整数根的充要条件是n 用心 爱心 专心 21 答案 3 或 4 分析 直接利用求根公式进行计算 然后用完全平方数 整除等进行判断计算 解析 4164 2 n x 24n 因为x是整数 即2 4n 为整数 所以 4n 为整数 且 4n 又因为 nN 取 1 2 3 4n 验证可知 3 4n 符合题意 反 之 3 4n 时 可推出一元二次方程 2 40 xxn 有整数根 75 山东理 16 已知函数f x log 0a1 a xxb a 且 当 2 a 3 b 4 时 函 数f x 的零点 0 1 n xn nnN 则 答案 5 解析 方程log 0a1 a xxb a 且 0 的根为 0 x 即函数 log 23 a yxa 的图 象与函数 34 yxbb 的交点横坐标为 0 x 且 0 1 xn nnN 结合图象 因为当 23 xaa 时 1y 此时对应直线上 1y 的点的横坐标 1 4 5 xb 当 2y 时 对数函数 log 23 a yxa 的图象上点的横坐标 4 9 x 直线 34 yxbb 的图 象上点的横坐标 5 6 x 故所求的 5n 76 辽宁文 16 已知函数 axexf x 2 有零点 则a的取值范围是 答案 2ln22 77 江苏 2 函数 12 log 5 xxf 的单调增区间是 答案 1 2 解析 5 logyu 在 0 A 21ux 在 1 2 x 大于零 且增 本题主要考查函数的概念 基本性质 指数与对数 对数函数图象和性质 容易题 78 江苏 8 在平面直角坐标系 xOy 中 过坐标原点的一条直线与函数 x xf 2 的图象交 于 P Q 两点 则线段 PQ 长的最小值是 答案 4 解析 设经过原点的直线与函数的交点为 2 x x 2 x x 则 22 4 2 4PQx x 用心 爱心 专心 22 本题主要考查幂函数 函数图象与性质 函数与方程 函数模型及其应用 两点间距离公式 以及基本不等式 中档题 79 江苏 11 已知实数 0 a 函数 1 2 1 2 xax xax xf 若 1 1 afaf 则 a 的值为 答案 3 4 a 解析 0a 3 0 2212 2 aaaaa a 不符合 3 0 1222 4 aaaaa a 本题主要考查函数概念 函数与方程 函数模型及其应用 含参的分类讨论 中档题 80 江苏 12 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 P 是函数 0 xexf x 的图象上的动 点 该图象在 P 处的切线l交 y 轴于点 M 过点 P 作l的垂线交 y 轴于点 N 设线段 MN 的中点 的纵坐标为 t 则 t 的最大值是 答案 11 2 e e 解析 设 0 0 x P x e 则 000 00 0 1 xxx l yeexxMx e 过点 P 作l的垂线 0000 00 0 xxxx yeexxNex e 000000 000 11 1 22 xxxxxx tx eex eex ee 00 0 1 1 2 xx teex 所以 t 在 0 1 上单调增 在 1 单调减 0max 11 1 2 xte e 本题主要考查指数运算 指数函数图象 导数的概念 导数公式 导数的运算与几何意义 利 用导数研究函数 导数的应用 直线方程及其斜率 直线的位置关系 运算求解能力 综合应 用有关知识的能力 本题属难题 81 湖南文 12 已知 f x 为奇函数 9 2 3 2 g xf xgf 则 答案 6 解析 2 2 93 2 6gff 则 又 f x 为奇函数 所以 2 2 6ff 82 湖北文 15 里氏震级 M 的计算公式为 0 lglgMAA 其中 A 是测震仪记录的地震 用心 爱心 专心 23 曲线的最大振幅 是相应的标准地震的振幅 假设在一次地震中 测震仪记录的最大振幅是 1000 此时标准地 震的振幅为 0 001 则此次地震的震级为 级 9 级地震的最大的振幅是 5 级地震 最大振幅的 倍 答案 6 10000 83 广东文 12 设函数 1 cos 3 xxxf 若 11 af 则 af 答案 9 84 广东理 12 函数 32 31f xxx 在x 处取得极小值 答案 2 2 0 2 0 2 363x x 2 处取得极小值在 递减区间为的单调递增区间为解析 xxf xfxxxf 85 北京理 13 已知函数 3 2 2 1 2 x f xx xx 若关于 x 的方程 f xk 有两个不同的 实根 则实数 k 的取值范围是 答案 解析 2 2 f xx x 单调递减且值域为 0 1 3 1 2 f xxx 单调递增且值域 为 1 f xk 有两个不同的实根 则实数 k 的取值范围是 0 1 86 安徽文 13 函数 2 1 6 y xx 的定义域是 答案 3 2 命题意图 本题考查函数的定义域 考查一元二次不等式的解法 解析 由 2 60 xx 可得 2 60 xx 即 320 xx 所以 32x 三 解答题 87 安徽理 16 设 1 x e f x ax 其中a为正实数 当a 4 3 时 求 f x 的极值点 若 f x 为R上的单调函数 求a的取值范围 本题考查导数的运算 极值点的判断 导数符号与函数单调变化之间的关系 求解二次不等 式 考查运算能力 综合运用知识分析和解决问题的能力 解 对 xf 求导得 1 1 22 2 ax axax exf x 用心 爱心 专心 24 I 当 3 4 a 若 2 1 2 3 0384 0 21 2 xxxxxf解得则 综合 可知 所以 2 3 1 x 是极小值点 2 1 2 x 是极大值点 II 若 xf 为 R 上的单调函数 则 x f 在 R 上不变号 结合 与条件 a 0 知 012 2 axax 在 R 上恒成立 因此 0 1 444 2 aaaa 由此并结合 0 a 知 1 0 a 88 北京理 18 已知函数 k x ekxxf 2 1 求 xf 的单调区间 2 若对 0 x 都有 e xf 1 求k的取值范围 解 1 22 1 x k fxxke k 令 0fx 得x k 当 0k 时 f x 在 k 和 k 上递增 在 k k 上递减 当 0k 时 f x 在 k 和 k 上递减 在 kk 上递增 2 当 0k 时 1 1 1 k k f ke e 所以不可能对 0 x 都有 e xf 1 当 0k 时有 1 知 f x 在 0 上的最大值为 2 4 k fk e 所以对 0 x 都有 e xf 1 即 2 411 0 2 k k ee 故对 0 x 都有 e xf 1 时 k的取值范围为 x 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 x f 0 0 xf 极大值 极小值 用心 爱心 专心 25 1 0 2 89 北京文 18 已知函数 x f xxk e I 求 f x 的单调区间 II 求 f x 在区间 0 1 上的最小值 解 I 1 x fxxke 令 01fxxk 所以 f x 在 1 k 上递减 在 1 k 上递增 II 当 10 1kk 时 函数 f x 在区间 0 1 上递增 所以 min 0 f xfk 当0 1 1k 即1 2k 时 由 I 知 函数 f x 在区间 0 1k 上递减 1 1 k 上 递增 所以 1 min 1 k f xf ke 当 11 2kk 时 函数 f x 在区间 0 1 上递减 所以 min 1 1 f xfk e 90 福建理 18 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量 y 单位 千克 与 销售价格x 单位 元 千克 满足关系式 2 10 6 3 a yx x 其中3 6x a为常数 已知销售价格为 5 元 千克时 每日可售出该商品 11 千克 求a的值 若该商品的成品为 3 元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获 得的利润最大 解 因为 5x 时 11y 所以 10112 2 a a 由 知该商品每日的销售量 2 2 10 6 3 yx x 所以商场每日销售该商品所获得 的利润 22 2 3 10 6 2 10 3 6 36 3 f xxxxxx x 2 10 6 2 3 6 30 4 6 fxxxxxx 令 0fx 得 4x 函数 f x 在 3 4 上递增 在 4 6 上递减 所以当 4x 时函数 f x 取得最大值 4 42f 答 当销售价格 4x 时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 最大值为 42 91 福建文 22 已知 a b 为常数 且 a 0 函数 f x ax b axlnx f e 2 e 2 71828 是自然对数的底数 用心 爱心 专心 26 求实数 b 的值 求函数 f x 的单调区间 当 a 1 时 是否同时存在实数 m 和 M m M 使得对每一个 t m M 直线 y t 与曲线 y f x x e 都有公共点 若存在 求出最小的实数 m 和最大的实数 M 若 1 e 不存在 说明理由 解 b 2 a 0 时单调递增区间是 1 单调递减区间是 0 1 a 0 时单调递增区间是 0 1 单调递减区间是 1 存在 m M m 的最小 值为 1 M 的最大值为 2 92 广东理 21 22 12 2 12 2 000 0 1 L 40 4 0 max 1 1 0 yB ABQ 4 2 xOyyxp qpqx x xpxqp qxx A pppLp q p p q 在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程 的两根记 过点作的切线交轴于点证明对线段上的作一点 有 2 设 M a b 是定点 其中 a b满足 2 40aba 0 过 M a b 作L的两条切线 12 l l 切点分别为 22 1122 11 44 E ppE PP 12 l l 与 y 分别交于 F F 线段EF上异于两端点的 点集记为X 证明 1 12 2 P M a bXPPa b 2 minmax 15 1 1 44 Dx y yxyxp q p q 3 设当点 取遍D 时 求 的最小值 记为 和最大值 记为 解 00 0 11 22 ABxpxp kyxp 直线 AB 的方程为 2 000 11 42 yppxp 即 2 00 11 24 yp xp 2 00 11 24 qp pp 方程 2 0 xpxq 的判别式 22 0 4 pqpp 两根 00 1 2 22 pppp x 或 0 2 p p 0 0p p 00 22 pp pp 又 0 0 pp 用心 爱心 专心 27 000 222 ppp p 得 000 222 ppp pp 0 2 p p q 由 2 40ab 知点 M a b 在抛物线 L 的下方 当 0 0ab 时 作图可知 若 M a bX 则 12 0pp 得 12 pp 若 12 pp 显然有点 M a bX M a bX 12 pp 当 0 0ab 时 点 M a b 在第二象限 作图可知 若 M a bX 则 12 0pp 且 12 pp 若 12 pp 显然有点 M a bX M a bX 12 pp 根据曲线的对称性可知 当 0a 时 M a bX 12 pp 综上所述 M a bX 12 pp 由 知点 M 在直线 EF 上 方程 2 0 xaxb 的两根 1 1 2 2 p x 或 1 2 p a 同理点 M 在直线 E F 上 方程 2 0 xaxb 的两根 2 1 2 2 p x 或 2 2 p a 若 1 2 p a b 则 1 2 p 不比 1 2 p a 2 2 p 2 2 p a 小 12 pp 又 12 pp M a bX 1 2 p a b M a bX 又由 知 M a bX 1 2 p a b 1 2 p a b M a bX 综合 式 得证 联立 1yx 2 15 1 44 yx 得交点 0 1 2 1 可知0 2p 用心 爱心 专心 28 过点 p q 作抛物线 L 的切线 设切点为 2 00 1 4 xx 则 2 0 0 0 1 1 4 2 xq x xp 得 2 00 240 xpxq 解得 2 0 4xppq 又 2 15 1 44 qp 即 2 442pqp 0 42xpp 设 42pt 2 0 1 2 2 xtt 2 15 1 22 t 0 maxmax 2 x 又 0 5 2 x max 5 4 1qp 2 0 44 2 2xppppp 0 minmin 1 2 x 93 广东文 19 设 0 a 讨论函数 xaxaaxxf 1 2 1 ln 2 的单调性 解 函数 f x 的定义域为 0 2 2 12 1212 2 1 2 1 1 1 12 1 2 1 1012 1 3 1 0 2 3 1 31 1 31 11 0 22 1 22 1 0 0 0 aa xa x fx x aaa xa xaa afx aaaa xx aaaaaa xxxxfxf xxx 00 g x 0的两根都小于 0 在 0 上 0fx 故 0 f x 在 上 单调递增 当 2a A时 0 g x 0的两根为 22 12 44 22 aaaa xx 当 1 0 xx 时 0fx 当 12 xxx 时 0fx 当 2 xx 时 0fx 故 f x 分别在 12 0 xx 上单调递增 在 12 x x 上单调递减 II 由 I 知 2a 因为 12 121212 12 lnln xx f xf xxxaxx x x 所以 1212 121212 lnln1 1 f xf xxx ka xxx xxx A 又由 I 知 12 1x x 于是 12 12 lnln 2 xx ka xx A 若存在a 使得 2 ka 则 12 12 lnln 1 xx xx 即 1212 lnlnxxxx 亦即 222 2 1 2ln0 1 xxx x 再由 I 知 函数 1 2lnh ttt t 在 0 上单调递增 而 2 1x 所以 22 2 11 2ln12ln10 1 xx x 这与 式矛盾 故不存在a 使得 2 ka 98 湖南理 20 如图 6 长方形物体 E 在雨中沿面 P 面积为 S 的垂直方向作匀速移动 速度为 0 v v 雨速沿 E 移动方向的分速度为 c cR E 移动时单位时间内的淋雨量包 括两部分 1 P 或 P 的平行面 只有一个面淋雨 的淋雨量 假设其值与 vc S 成正 用心 爱心 专心 33 比 比例系数为 1 10 2 其它面的淋雨量之和 其值为 1 2 记y为 E 移动过程中的总淋雨 量 当移动距离 d 100 面积 S 3 2时 写出 y 的表达式 设 0 v 10 0 c 5 试根据 c 的不同取值范围 确定移动速度v 使总淋雨量 y 最 少 解析 I 由题意知 E 移动时单位时间内的淋雨量为 31 202 vc 故 100315 3 10 202 yvcvc vv II 由 I 知 当0 vc 时 55 310 3310 15 c ycv vv 当 10cv 时 55 103 3310 15 c yvc vv 故 5 310 15 0 5 103 15 10 c vc v y c cv v 1 当 10 0 3 c 时 y 是关于v的减函数 故当 10v 时 min 3 20 2 c y 2 当 10 5 3 c 时 在 0 c 上 y 是关于v的减函数 在 10 c 上 y 是关于v的增函数 故当v c 时 min 50 y c 99 湖南理 22 已知函数 f x 3 x g x x x 求函数 h x f x g x 的零点个数 并说明理由 用心 爱心 专心 34 设数列 n anN 满足 1 0 aa a 1 nn f ag a 证明 存在常数 M 使得 对于任意的 nN 都有 n a M 解析 I 由 3 h xxxx 知 0 x 而 0 0h 且 1 10 2 620hh 则 0 x 为 h x 的一个零点 且 h x 在 12 内有零点 因此 h x 至少有两个零点 解法 1 1 2 2 1 31 2 h xxx 记 1 2 2 1 31 2 xxx 则 3 2 1 6 4 xxx 当 0 x 时 0 x 因此 x 在 0 上单调递增 则 x