2012年高考数学《数列》专题 等比数列学案

1 第第 3 3 课时课时 等比数列等比数列 1 1 等比数列的定义 q q 为不等于零的常数 2 2 等比数列的通项公式 an a1qn 1 an amqn m 3 3 等比数列的前 n 项和公式 Sn 1 1 q q 4 4 等比中项 如果 a b c 成等比数列 那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项 即 b2 或 b 5 5 等比数列 an 的几个重要性质 m n p q N 若 m n p q 则 Sn是等比数列 an 的前 n 项和且 Sn 0 则 Sn S2n Sn S3n S2n成 数列 若等比数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn 是等差数列 则 an 的公比 q 例例 1 1 已知等比数列 an 中 a1 an 66 a2an 1 128 Sn 126 求项数 n 和公比 q 的值 解 解 an 是等比数列 a1 an a2 an 1 128 66 1 1 n n aa aa 解得 64 2 1 n a a 或 2 64 1 n a a 若 a1 2 an 64 则 2 qn 1 64 qn 32q 由 Sn 126 1 321 2 1 1 1 q q q qa n 解得 q 2 于是 n 6 若 a1 64 an 2 则 64 qn 1 2 qn q 32 1 由 Sn 126 1 32 1 1 64 1 1 1 q q q qa n 解得 q 2 1 n 6 变式训练变式训练 1 1 已知等比数列 an 中 a1 a9 64 a3 a7 20 则 a11 解 解 64 或1 由 20 64 73 91 aa aa 20 64 73 73 aa aa 典型例题典型例题 基础过关基础过关 2 4 16 7 3 a a 或 16 4 7 3 a a q2 2 1 或 q2 2 a11 a7 q2 a11 64 或 a11 1 例例 2 2 设等比数列 an 的公比为 q q 0 它的前 n 项和为 40 前 2n 项和为 3280 且前 n 项 中数值最大项为 27 求数列的第 2n 项 解解 若 q 1 则 na1 40 2na1 3280 矛盾 q 1 3280 1 1 40 1 1 2 1 1 q qa q qa n n 两式相除得 qn 81 q 1 2a1 又 q 0 q 1 a1 0 an 是递增数列 an 27 a1qn 1 1 1 21 81 a a 解得 a1 1 q 3 n 4 变式训练变式训练 2 2 已知等比数列 an 前 n 项和 Sn 2n 1 an2 前 n 项和为 Tn 求 Tn的表达式 解 解 1 a1 2a22 0 公比 q 2 1 1 2 a a 又 S4 S2 8 1 将 q 2 1 代入上式得 a1 1 an a1qn 1 2 1 n 1 n N 2 an 16 1 2 1 n 1 2 1 4 n 5 原不等式的解为 n 1 或 n 3 或 n 5 例例 3 3 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数与第四个 数的和是 16 第二个数与第三个数的和是 12 求这四个数 解 解 设这四个数为 a d a a d a da 2 依题意有 12 16 2 daa a da da 解得 4 4 d a 或 6 9 d a 这四个数为 0 4 8 16 或 15 9 3 1 变式训练变式训练 3 3 设 n S是等差数列 n a的前n项和 66 36 324 144 6 nn SSSn 则n等于 3 A 15 B 16 C 17 D 18 答案 答案 D 解析 由 6 324 144 nn SS 得 12345 180 nnnnnn aaaaaa 再由 1 61 326 36 324 18 2 n nn n aa SaaSn 例例 4 4 已知函数 f x x 1 2 数列 an 是公差为 d 的等差数列 数列 bn 是公比为 q 的等 比数列 q 1 若 a1 f d 1 a3 f d 1 b1 f q 1 b3 f q 1 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设数列 cn 对任意的自然数 n 均有 1 2 2 1 1 1 n n n an b c b c b c 求数列 cn 前 n 项和 Sn 解 解 1 a1 d 2 2 a3 d2 a3 a1 2d 即 d2 d 2 2 2d 解之得 d 2 a1 0 an 2 n 1 又 b1 q 2 2 b3 q2 b3 b1q2 即 q2 q 2 2 q2 解之得 q 3 b1 1 bn 3n 1 2 1 1 34 4 1 n nnn n n ncnnaan b C Sn C1 C2 C3 Cn 4 1 3 2 31 3 32 n 3 n 1 设 n S1 3 2 3 3 32 n 3 n 1 3 n S1 31 2 32 3 33 n 3 n 2 n S1 3 32 33 3 n 1 n 3 n 2 13 1 n 3 n n 4 13 3 2 n n n n S Sn 2n 3n 3n 1 变式训练变式训练 4 4 已知等差数列 an 的首项 a1 1 公差 d 0 且第二项 第五项 第十四项分别是 等比数列 bn 的第二项 第三项 第四项 求数列 an 与 bn 的通项公式 设数列 cn 对任意正整数 n 均有 1 3 3 2 2 1 1 n n n a b c b c b c b c 求 c1 c2 c3 c2007 的值 解 解 由题意得 a1 d a1 13d a1 4d 2 d 0 解得 d 2 an 2n 1 bn 3n 1 4 当 n 1 时 c1 3 当 n 2 时 1nn n n aa b c 2 32 1 3 1 n n c n n 故 1 32 n n c 220062007 122007 32 32 32 33ccc 1 在等比数列的求和公式中 当公比 q 1 时 适用公式 Sn q qa n 1 1 1 且要注意 n 表示项 数 当 q 1 时 适用公式 Sn na1 若 q 的范围未确定时 应对 q 1 和 q 1 讨论求和 2 在等比数列中 若公比 q 0 且 q 1 时 可以用指数函数的单调性确定