旋转变换模型

1 第第 1010 讲讲 几何变换几何变换 旋转变换模型旋转变换模型 知识关联图知识关联图 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形 包含正方形 等边三角形 包含费马点 特殊角 旋转变换 对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换 与圆相关 真题演练真题演练 练 1 2013 北京中考 在中 将线段绕点逆时 ABC ABAC BAC 060 BCB 针旋转 60 得到线段 BD 1 如图 1 直接写出的大小 用含的式子表示 ABD 2 如图 2 判断的形状并加以证明 15060BCEABE ABE 3 在 2 的条件下 连结 若 求的值 DE45DEC 2 练 2 2012 年北京中考 在中 是的中点 是线段上的动点 ABC BABCBAC MACP 将线段绕点顺时针旋转得到线段 PAP2 PQ 1 若且点与点重合 如图 1 线段的延长线交射线于点 请补全图形 PM CQ BMD 并写出的度数 CDB 2 在图 2 中 点不与点重合 线段的延长线与射线交于点 猜想的大 P BM CQ BMDCDB 小 用含的代数式表示 并加以证明 3 对于适当大小的 当点在线段上运动到某一位置 不与点 重合 时 能使得线 PBMBM 段的延长线与射线交于点 且 请直接写出的范围 CQ BMD PQQD 3 例题精讲例题精讲 考点 1 手拉手模型 全等和相似 包含 包含 等腰三角形 等腰直角三角形 正方形 等边三角形伴随旋转出全等 处于各种位置的旋转模型 及残缺的旋转模型都要能很快看出来 1 等腰三角形旋转模型图 共顶点旋转等腰出伴随全等 2 等边三角形旋转模型图 共顶点旋转等边出伴随全等 3 等腰直角旋转模型图 共顶点旋转等腰直角出伴随全等 4 不等边旋转模型图 共顶点旋转不等腰出伴随相似 4 例 1 14 年海淀期末 已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 且AB CE 1 如图1 连接BG DG 求证 BG DE 2 如图2 如果正方形ABCD的边长为 2 将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好 使得CG BD BG BD 求 BDE 的度数 请直接写出正方形CEFG的边长的值 题型总结题型总结 手拉手模型是中考中最常见的模型 突破口常见的有哪些信息 常见的考试方法有哪些 5 例 2 2014 年西城一模 四边形是正方形 是等腰直角三角形 ABCDBEF 90BEF 连接 为的中点 连接 BEEF DFGDFEGCGEC 1 如图 24 1 若点在边的延长线上 直接写出与的位置关系及的值 ECBEGGC EC GC 2 将图 24 1 中的绕点顺时针旋转至图 24 2 所示位置 请问 1 中所得的结论是否 BEF B 仍然成立 若成立 请写出证明过程 若不成立 请说明理由 A C D G E F B 图 1图 24 2 A C D G E F B 题型总结题型总结 此类型题目方法多样 你还能找到其他的解题方法吗 另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种 6 例 3 2015 年海淀九上期末 如图 1 在 中 以线段为边作 使得 ABC 4BC ABABD 连接 再以为边作 使得 ADBD DCDCCDE DCDE CDEADB 1 如图 2 当且时 用等式表示线段之间的数量关系 45ABC 90 ADDE E A BC D 2 将线段沿着射线的方向平移 得到线段 连接 若 依题意补 CBCEEFBFAF 90 全图 3 求线段的长 请直接写出线段的长 用含的式子表示 AFAF E A B C D E A BC D E A BC D 图 2 图 3 备用图 图 1 7 例 4 13 年房山一模 1 如图 1 和都是等边三角形 且 三点共线 联结 相交 ABC CDE BCDADBE 于点 求证 PBEAD 2 如图 2 在中 分别以 和为边在外部作等边 BCD 120BCD BCCDBDBCD 等边和等边 联结 和交于点 下列结论中正确的是 ABC CDE BDF ADBECFP 只填序号即可 ADBECF BECADC 60DPEEPCCPA 3 如图 2 在 2 的条件下 求证 PBPCPDBE P P F D E C A D E C A B B 图 1 图 2 P P F D E C A D E C A B B 题型总结题型总结 到三个定理的三条线段之和最小 夹角都为 旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化120 为两点之间线段最短的问题 同时与旋转有关路程最短的问题 比较重要的就是费马点问题 费尔马问题告诉我们 存在这么一个点到三个定点的距离的和最小 解决问题的方法是运用旋转变 换 8 9 考点 2 角含半角模型 全等 秘籍 角含半角要旋转 构造两次全等 F E D C B A G F E D CB A A B C D E FF E D C B A G A B C D E F G A BC DE A BC DE F 例 1 2012 年西城期末 已知 如图 正方形的边长为 a 分别平分正方形的两个 ABCDBMDN 外角 且满足 连结 猜想线段 和之间的等量关系 45MAN MCNCMNBMDNMN 并证明你的结论 10 例 2 2014 年平谷一模 1 如图 1 点E F 分别是正方形ABCD的边BC CD 上的点 45EAF 连接EF 则EF BEFD 之间的数量关系是 EF BEFD 连结BD 交AE AF 于点M N 且 MNBMDN 满足 222 DNBMMN 请证明这个等量关系 2 在中 ABAC 点D E 分别为BC边上的两点 ABC 如图 2 当 60BAC 30DAE 时 BDDEEC 应满足的等量关系是 如图 3 当 BAC 0 90 DAE 2 1 时 BD DEEC 应满足的等量 关系是 参考 1cossin 22 AB C D E F 图 1 BCDE 图 2 A BCDE 图 3 A M N 题型总结题型总结 角含半角的特点有哪些 哪些是不变的量 由角含半角产生的数量关系都是有哪些 如何描述这类题 目的辅助线 11 考点 3 对角互补模型 常和角平分线性质一起考 一般有两种解题方法 全等型 90 O A B C E D N O M A B C E D 全等型 120 全等型 任意角 O E D C B A O FE D C B A O E D C B A 例 1 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD 其中 A 和 C 都是直 角 另一条对角线AC的长度为2 求四边形ABCD的面积 D C B A 12 例 2 已知 点P是 MON 的平分线上的一动点 射线PA交射线OM于点A 将射线PA绕点P逆时 针旋转交射线ON于点B 且使 180APBMON 1 利用图 1 求证 PAPB 2 如图 1 若点C是AB与OP的交点 当 3 POBPCB SS 时 求与的比值 PBPC C A O P B M N T T N M B P O A C 图 1 图 2 题型总结题型总结 对角互补模型经常在哪里题目里出现 题目中有哪些提示信息 经常和哪种图形同时出现 13 例 3 初二期末 已知 如图 在中 且 为 ABC ABAC BAC 60120 P 内部一点 且 ABC PCAC 120PCA 1 用含的代数式表示 得 APC APC 2 求证 BAPPCB 3 求的度数 PBC BC P A 题型总结题型总结 一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来 根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法 14 全能突破全能突破 练 1 2015 年昌平九上期末 如图 已知和都是等腰直角三角形 ABCAADEA 连接交于 连接交于 与 90BACDAE ABAC ADAE BDAEMCEABNBD 交点为 连接 CEFAF 1 如图 1 求证 BDCE 2 如图 1 求证 是的平分线 AFCFD 3 如图 2 当 时 求的长 2AC 15BCE CF F E D C B A 图 1 N M 图 2 A B C D EF M N 15 练 2 2014 西城九上期末 已知 都是等边三角形 是与的中点 连接 ABC DEF MBCEF ADBE 1 如图 1 当与在同一条直线上时 直接写出与的数量关系和位置关系 EFBCADBE 2 固定不动 将图 1 中的绕点顺时针旋转 角 如图 2 所 ABC DEFAM o 0 o 90 示 判断 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请加以证明 若不成立 说明理由 3 ABC 固定不动 将图 1 中的绕点旋转 o 0 o 90 角 作于 DEFAM DHBC 点 设 线段 所围成的图形面积为 当 HBHx ABBEEDDAS6AB 时 求关于的函数关系式 并写出相应的的取值范围 2DE Sxx 图 2 备用图图 1 16 练 3 2014 年朝阳一模 24 题 在中 在中 点 分别在 ABC ACBC AED ADED DE 上 CAAB 1 图 若 则与的数量关系是 90ACBADE CDBE 2 若 将绕点旋转至如图 所示的位置 则与的数量 120ACBADE AED ACDBE 关系是 3 若 将绕点旋转至如图 所示的位置 探究线段 2 090 ACBADE AED A 与的数量关系 并加以证明 用含的式子表示 CDBE 17 练 4 2015 年燕山九上期末 小辉遇到这样一个问题 如图 1 在中 RtABC 90BAC 点 在边上 若 求的长 ABAC EBC45DAE 3BD 1CE DE D 图 1 AB C D E 图 2 F AB C D E 图 3 E F D AB C 小辉发现 将绕点按逆时针方向旋转 90 得到 连接 如图 2 由图形旋转的 AACFAEF 性质和等腰直角三角形的性质以及 可证 得 解 45DAE FAEDAEAA FEDE 可求得 即 的长 FCEAEFDE 请回答 在图中 的度数是 的长为 2FCE DERt ABCA 参考小辉思考问题的方法 解决问题 如图 3 在四边形ABCD中 分别是边上的点 且 ABAD 180BD EF BCCD 猜想线段之间的数量关系并说明理由 1 2 EAFBAD BEEFFD 18 练 5 11 年石景山一模 已知 如图 正方形ABCD中 AC BD为对角线 将 BAC 绕顶点A逆时 针旋转 0 45 旋转后角的两边分别交BD于点P 点Q 交BC CD于点E 点F 联 结EF EQ 1 在 BAC 的旋转过程中 AEQ 的大小是否改变 若不变写出它的度数 若改变 写出它 的变化范围 直接在答题卡上写出结果 不必证明 2 探究 APQ 与 AEF 的面积的数量关系 写出结论并加以证明 Q F C D B A P E 19 练 6 2015 年延庆九上期末 已知 是的内接三角形 在所对弧上 ABC OAABAC BAC AC 任取一点 连接 DADBDCD 1 如图 1 BAC 直接写出的大小 用含 的式子表示 ADB 2 如图 2 如果 求证 60BAC BDCDAD 3 如图 3 如果 那么与之间的数量关系是什么 写出猜测 120BAC BDCD AD 并加以证明 4 如果 BAC 直接写出与之间的数量关系 BDCD AD A O BC D A O BC D D CB O A 图 1 图 2图 3 20 练 7 1 如图 在四边形ABCD中 90ABADBD E F 分别是边BC CD 上的点 且 1 2 EAF BAD 求证 EF BEFD 2 如图在四边形ABCD中 180ABADB D E F 分别是边BC CD 上的点 且 1 2 EAFBAD 1 中的结论是否仍然成立 不用证明 3 如图 在四边形ABCD中 AB AD 180BADC E F 分别是边 BC CD 延长线上 的点 且 1 2 EAFBAD 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请写 出它们之间的数量关系 并证明 E F D C B A E F D C B A E F D C B A 21 练 8 小华遇到这样一个问题 如图 1 中 30 在 ABCAACB 65BCAC ABCA 内部有一点 连接 求的最小值 PPAPBPC PAPBPC 小华是这样思考的 要解决这个问题 首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离 然后 再将它们连接成一条折线 并让折线的两个端点为定点 这样依据 两点之间 线段最短 就可 以求出这三条线段和的最小值了 他先后尝试了翻折 旋转 平移的方法 发现通过旋转可以解 决这个问题 他的做法是 如图 2 将绕点顺时针旋转 60 得到 连接 APCACEDCAPDBE 则的长即为所求 BE 1 请你写出图 2 中 的最小值为 PAPBPC 2 参考小华的思考问题的方法 解决下列问题 如图 3 菱形中 60 在菱形内部有一点 请在图 3 中画出并指明长 ABCDABC ABCDP 度等于最小值的线段 保留画图痕迹 画出一条即可 PAPBPC 若 中菱形的边长为 4 请直接写出当值最小时的长 ABCDPAPBPC PB A C B P 图 1 D E A C B P 图 2 D A C B 图 3 22 练 9 2014 年西城二模 在 为锐角 平分交于点 ABCABAC ABAC ADBAC BCD 1 如图 1 若是等腰直角三角形 直接写出线段 之间的数量关系