2017年中考数学专题复习试卷分类汇编(解析版)：--解直角三角形专题

解直角三角形解直角三角形 一 选择题 1 2016 山东省菏泽市 3 分 如图 ABC 与 A B C 都是等腰三角形 且 AB AC 5 A B A C 3 若 B B 90 则 ABC 与 A B C 的面积比为 A 25 9B 5 3 C D 5 3 考点 互余两角三角函数的关系 分析 先根据等腰三角形的性质得到 B C B C 根据三角函数的定义得到 AD AB sinB A D A B sinB BC 2BD 2AB cosB B C 2B D 2A B cosB 然后根据三 角形面积公式即可得到结论 解答 解 过 A 作 AD BC 于 D 过 A 作 A D B C 于 D ABC 与 A B C 都是等腰三角形 B C B C BC 2BD B C 2B D AD AB sinB A D A B sinB BC 2BD 2AB cosB B C 2B D 2A B cosB B B 90 sinB cosB sinB cosB S BAC AD BC AB sinB 2AB cosB 25sinB cosB S A B C A D B C A B cosB 2A B sinB 9sinB cosB S BAC S A B C 25 9 故选 A 点评 本题考查了互余两角的关系 解直角三角形 在直角三角形中 由已知元素求未 知元素的过程就是解直角三角形 也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式 2 2016 重庆市 A 卷 4 分 某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动 如图 在点 A 处测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36 然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处 然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处 斜面 AB 的坡度 或坡比 i 1 2 4 那么大树 CD 的高度约为 参考数据 sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 A 8 1 米B 17 2 米C 19 7 米D 25 5 米 分析 作 BF AE 于 F 则 FE BD 6 米 DE BF 设 BF x 米 则 AF 2 4 米 在 Rt ABF 中 由勾股定理得出方程 解方程求出 DE BF 5 米 AF 12 米 得出 AE 的长度 在 Rt ACE 中 由三角函数求出 CE 即可得出结果 解答 解 作 BF AE 于 F 如图所示 则 FE BD 6 米 DE BF 斜面 AB 的坡度 i 1 2 4 AF 2 4BF 设 BF x 米 则 AF 2 4x 米 在 Rt ABF 中 由勾股定理得 x2 2 4x 2 132 解得 x 5 DE BF 5 米 AF 12 米 AE AF FE 18 米 在 Rt ACE 中 CE AEtan36 18 0 73 13 14 米 CD CE DE 13 14 米 5 米 8 1 米 故选 A 点评 本题考查了解直角三角形的应用 勾股定理 三角函数 由勾股定理得出方程是 解决问题的关键 3 2016 浙江省绍兴市 4 分 如图 在 Rt ABC 中 B 90 A 30 以点 A 为圆心 BC 长为半径画弧交 AB 于点 D 分别以点 A D 为圆心 AB 长为半径画弧 两弧交于点 E 连接 AE DE 则 EAD 的余弦值是 A B C D 考点 解直角三角形 分析 设 BC x 由含 30 角的直角三角形的性质得出 AC 2BC 2x 求出 AB BC x 根据题意得出 AD BC x AE DE AB x 作 EM AD 于 M 由等腰 三角形的性质得出 AM AD x 在 Rt AEM 中 由三角函数的定义即可得出结果 解答 解 如图所示 设 BC x 在 Rt ABC 中 B 90 A 30 AC 2BC 2x AB BC x 根据题意得 AD BC x AE DE AB x 作 EM AD 于 M 则 AM AD x 在 Rt AEM 中 cos EAD 故选 B 4 2016 重庆市 B 卷 4 分 如图所示 某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED 从办公楼顶端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角 是 45 旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距 离 DC 是 20 米 梯坎坡长 BC 是 12 米 梯坎坡度 i 1 则大楼 AB 的高度约为 精确到 0 1 米 参考数据 1 41 1 73 2 45 A 30 6 B 32 1 C 37 9 D 39 4 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 分析 延长 AB 交 DC 于 H 作 EG AB 于 G 则 GH DE 15 米 EG DH 设 BH x 米 则 CH x 米 在 Rt BCH 中 BC 12 米 由勾股定理得出方程 解方程求出 BH 6 米 CH 6 米 得出 BG EG 的长度 证明 AEG 是等腰直角三角形 得出 AG EG 6 20 米 即可得出大楼 AB 的高度 解答 解 延长 AB 交 DC 于 H 作 EG AB 于 G 如图所示 则 GH DE 15 米 EG DH 梯坎坡度 i 1 BH CH 1 设 BH x 米 则 CH x 米 在 Rt BCH 中 BC 12 米 由勾股定理得 x2 x 2 122 解得 x 6 BH 6 米 CH 6米 BG GH BH 15 6 9 米 EG DH CH CD 6 20 米 45 EAG 90 45 45 AEG 是等腰直角三角形 AG EG 6 20 米 AB AG BG 6 20 9 39 4 米 故选 D 点评 本题考查了解直角三角形的应用 坡度 俯角问题 通过作辅助线运用勾股定理求 出 BH 得出 EG 是解决问题的关键 二 填空题 1 2016 山东省菏泽市 3 分 如图 在正方形 ABCD 外作等腰直角 CDE DE CE 连 接 BE 则 tan EBC 考点 正方形的性质 等腰直角三角形 解直角三角形 专题 计算题 分析 作 EF BC 于 F 如图 设 DE CE a 根据等腰直角三角形的性质得 CD CE a DCE 45 再利用正方形的性质得 CB CD a BCD 90 接着判断 CEF 为 等腰直角三角形得到 CF EF CE a 然后在 Rt BEF 中根据正切的定义求解 解答 解 作 EF BC 于 F 如图 设 DE CE a CDE 为等腰直角三角形 CD CE a DCE 45 四边形 ABCD 为正方形 CB CD a BCD 90 ECF 45 CEF 为等腰直角三角形 CF EF CE a 在 Rt BEF 中 tan EBF 即 EBC 故答案为 点评 本题考查了正方形的性质 正方形的四条边都相等 四个角都是直角 正方形的 两条对角线相等 互相垂直平分 并且每条对角线平分一组对角 正方形具有四边形 平 行四边形 矩形 菱形的一切性质 也考查了等腰直角三角形的性质 2 2016 湖北荆州 3 分 全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外 如图 张三同学 在东门城墙上 C 处测得塑像底部 B 处的俯角为 18 48 测得塑像顶部 A 处的仰角为 45 点 D 在观测点 C 正下方城墙底的地面上 若 CD 10 米 则此塑像的高 AB 约为 58 米 参考数据 tan78 12 4 8 分析 直接利用锐角三角函数关系得出 EC 的长 进而得出 AE 的长 进而得出答案 解答 解 如图所示 由题意可得 CE AB 于点 E BE DC ECB 18 48 EBC 78 12 则 tan78 12 4 8 解得 EC 48 m AEC 45 则 AE EC 且 BE DC 10m 此塑像的高 AB 约为 AE EB 58 米 故答案为 58 点评 此题主要考查了解直角三角形的应用 根据题意得出 EC 的长是解题关键 三 解答题 1 2016 湖北随州 8 分 某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎 帝雕像高度 已知烈山坡面与水平面的夹角为 30 山高 857 5 尺 组员从山脚 D 处沿山 坡向着雕像方向前进 1620 尺到达 E 点 在点 E 处测得雕像顶端 A 的仰角为 60 求雕像 AB 的高度 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 构造直角三角形 利用锐角三角函数 进行简单计算即可 解答 解 如图 过点 E 作 EF AC EG CD 在 Rt DEG 中 DE 1620 D 30 EG DEsin D 1620 810 BC 857 5 CF EG BF BC CF 47 5 在 Rt BEF 中 tan BEF EF BF 在 Rt AEF 中 AEF 60 设 AB x tan AEF AF EF tan AEF x 47 5 3 47 5 x 95 答 雕像 AB 的高度为 95 尺 2 2016 吉林 7 分 如图 某飞机于空中 A 处探测到目标 C 此时飞行高度 AC 1200m 从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角 43 求飞机 A 与指挥台 B 的距离 结果取整数 参考数据 sin43 0 68 cos43 0 73 tan43 0 93 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 先利用平行线的性质得到 B 43 然后利用 B 的正弦计算 AB 的长 解答 解 如图 B 43 在 Rt ABC 中 sinB AB 1765 m 答 飞机 A 与指挥台 B 的距离为 1765m 3 2016 江西 8 分 如图 1 是一副创意卡通圆规 图 2 是其平面示意图 OA 是支撑臂 OB 是旋转臂 使用时 以点 A 为支撑点 铅笔芯端点 B 可绕点 A 旋转作出圆 已知 OA OB 10cm 1 当 AOB 18 时 求所作圆的半径 结果精确到 0 01cm 2 保持 AOB 18 不变 在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下 作出的圆与 1 中所作圆的大小相等 求铅笔芯折断部分的长度 结果精确到 0 01cm 参考数据 sin9 0 1564 cos9 0 9877 sin18 0 3090 cos18 0 9511 可使用科学计 算器 考点 解直角三角形的应用 分析 1 根据题意作辅助线 OC AB 于点 C 根据 OA OB 10cm OCB 90 AOB 18 可以求得 BOC 的度数 从而可以求得 AB 的长 2 由题意可知 作出的圆与 1 中所作圆的大小相等 则 AE AB 然后作出相应的辅 助线 画出图形 从而可以求得 BE 的长 本题得以解决 解答 解 1 作 OC AB 于点 C 如右图 2 所示 由题意可得 OA OB 10cm OCB 90 AOB 18 BOC 9 AB 2BC 2OB sin9 2 10 0 1564 3 13cm 即所作圆的半径约为 3 13cm 2 作 AD OB 于点 D 作 AE AB 如下图 3 所示 保持 AOB 18 不变 在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下 作出的圆与 1 中所作圆的大小相等 折断的部分为 BE AOB 18 OA OB ODA 90 OAB 81 OAD 72 BAD 9 BE 2BD 2AB sin9 2 3 13 0 1564 0 98cm 即铅笔芯折断部分的长度是 0 98cm 4 2016 辽宁丹东 10 分 某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度 他们在 C 处仰望建筑物顶端 测得仰角为 48 再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处 测得仰角 为 64 求建筑物的高度 测角器的高度忽略不计 结果精确到 0 1 米 参考数据 sin48 tan48 sin64 tan64 2 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 Rt ADB 中用 AB 表示出 BD Rt ACB 中用 AB 表示出 BC 根据 CD BC BD 可得 关于 AB 的方程 解方程可得 解答 解 根据题意 得 ADB 64 ACB 48 在 Rt ADB 中 tan64 则 BD AB 在 Rt ACB 中 tan48 则 CB AB CD BC BD 即 6 AB AB 解得 AB 14 7 米 建筑物的高度约为 14 7 米 5 2016 四四川川宜宜宾宾 如图 CD 是一高为 4 米的平台 AB 是与 CD 底部相平 的一棵树 在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角 30 从平台底部向树的方向 水平前进 3 米到达点 E 在点 E 处测得树顶A 点的仰角 60 求树高 AB 结果保留根号 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 作 CF AB 于点 F 设 AF x 米 在直角 ACF 中利用三角函数用x 表示出 CF 的长 在直角 ABE 中表示出 BE 的长 然后根据CF BE DE 即可 列方程求得x 的值 进而求得AB 的长 解答 解 作 CF AB 于点 F 设 AF x 米 在 Rt ACF 中 tan ACF 则 CF x 在直角 ABE 中 AB x BF 4 x 米 在直角 ABF 中 tan AEB 则 BE x 4 米 CF BE DE 即x x 4 3 解得 x 则 AB 4 米 答 树高 AB 是米 6 2016 湖北黄石 8 分 如图 为测量一座山峰 CF 的高度 将此山的某侧山坡划分为 AB 和 BC 两段 每一段山坡近似是 直 的 测得坡长 AB 800 米 BC 200 米 坡角 BAF 30 CBE 45 1 求 AB 段山坡的高度 EF 2 求山峰的高度 CF 1 414 CF 结果精确到米 分析 1 作 BH AF 于 H 如图 在 Rt ABF 中根据正弦的定义可计算出 BH 的长 从 而得到 EF 的长 2 先在 Rt CBE 中利用 CBE 的正弦计算出 CE 然后计算 CE 和 EF 的和即可 解答 解 1 作 BH AF 于 H 如图 在 Rt ABF 中 sin BAH BH 800 sin30 400 EF BH 400m 2 在 Rt CBE 中 sin CBE CE 200 sin45 100 141 4 CF CE EF 141 4 400 541 m 答 AB 段山坡高度为 400 米 山 CF 的高度约为 541 米 点评 本题考查了解直角三角形的应用 坡度与坡角问题 坡度是坡面的铅直高度 h 和水 平宽度 l 的比 又叫做坡比 它是一个比值 反映了斜坡的陡峭程度 一般用 i 表示 常 写成 i 1 m 的形式 把坡面与水平面的夹角 叫做坡角 坡度 i 与坡角 之间的关系为 i tan 7 2016 湖北荆门 6 分 如图 天星山山脚下西端 A 处与东端 B 处相距 800 1 米 小军和小明同时分别从 A 处和 B 处向山顶 C 匀速行走 已知山的西端的坡角是 45 东端 的坡角是 30 小军的行走速度为米 秒 若小明与小军同时到达山顶 C 处 则小明的 行走速度是多少 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 分析 过点 C 作 CD AB 于点 D 设 AD x 米 小明的行走速度是 a 米 秒 根据直角三 角形的性质用 x 表示出 AC 与 BC 的长 再根据小明与小军同时到达山顶 C 处即可得出结 论 解答 解 过点 C 作 CD AB 于点 D 设 AD x 米 小明的行走速度是 a 米 秒 A 45 CD AB AD CD x 米 AC x 在 Rt BCD 中 B 30 BC 2x 小军的行走速度为米 秒 若小明与小军同时到达山顶 C 处 解得 a 1 米 秒 答 小明的行走速度是 1 米 秒 8 2016 四川内江四川内江 9 分 如图 8 禁渔期间 我渔政船在 A 处发现正北方向 B 处有一艘 可疑船只 测得 A B 两处距离为 200 海里 可疑船只正沿南偏东 45 方向航行 我渔政船 迅速沿北偏东 30 方向前去拦截 经历 4 小时刚好在 C 处将可疑船只拦截 求该可疑船只 航行的平均速度 结果保留根号 北 C A B 30 45 图 8 北 C A B 30 45 答案图 H 考点 三角函数 解决实际问题 解 如图 过点 C 作 CH AB 于 H 则 BCH 是等腰直角三角形 设 CH x 则 BH x AH CH 30 x 2 分tan3 AB 200 x x 200 3 x 100 1 4 分 200 31 3 BC x 100 6 分262 两船行驶 4 小时相遇 可疑船只航行的平均速度 100 4 45 8 分6262 答 可疑船只航行的平均速度是每小时 45 海里 9 分62 9 2016 四川泸州 如图 为了测量出楼房AC 的高度 从距离楼底C 处 60 米的点 D 点 D 与楼底 C 在同一水平面上 出发 沿斜面坡度为i 1 的斜坡 DB 前进 30 米到达点 B 在点 B 处测得楼顶A 的仰角为 53 求楼 房 AC 的高度 参考数据 sin53 0 8 cos53 0 6 tan53 计算结果用 根号表示 不取近似值 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 解直角三角形的应用 坡度坡 角问题 分析 如图作 BN CD 于 N BM AC 于 M 先在 RT BDN 中求出线段 BN 在 RT ABM 中求出 AM 再证明四边形CMBN 是矩形 得CM BN 即可 解决问题 解答 解 如图作BN CD 于 N BM AC 于 M 在 RT BDN 中 BD 30 BN ND 1 BN 15 DN 15 C CMB CNB 90 四边形 CMBN 是矩形 CM BM 15 BM CN 60 15 45 在 RT ABM 中 tan ABM AM 27 AC AM CM 15 27 10 2016 云南省昆明市 如图 大楼 AB 右侧有一障碍物 在障碍物的旁边有一幢小楼 DE 在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30 测得大楼顶端 A 的仰角为 45 点 B C E 在同一水平直线上 已知 AB 80m DE 10m 求障碍物 B C 两点间的距 离 结果精确到 0 1m 参考数据 1 414 1 732 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 如图 过点 D 作 DF AB 于点 F 过点 C 作 CH DF 于点 H 通过解直角 AFD 得到 DF 的长度 通过解直角 DCE 得到 CE 的长度 则 BC BE CE 解答 解 如图 过点 D 作 DF AB 于点 F 过点 C 作 CH DF 于点 H 则 DE BF CH 10m 在直角 ADF 中 AF 80m 10m 70m ADF 45 DF AF 70m 在直角 CDE 中 DE 10m DCE 30 CE 10 m BC BE CE 70 10 70 17 32 52 7 m 答 障碍物 B C 两点间的距离约为 52 7m 11 2016 浙江省绍兴市 8 分 如图 1 某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一 段河的宽度 在河的南岸边点 A 处 测得河的北岸边点 B 在其北偏东 45 方向 然后向西 走 60m 到达 C 点 测得点 B 在点 C 的北偏东 60 方向 如图 2 1 求 CBA 的度数 2 求出这段河的宽 结果精确到 1m 备用数据 1 41 1 73 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分析 1 根据三角形的外角的性质 结合题意计算即可 2 作 BD CA 交 CA 的延长线于 D 设 BD xm 根据正切的定义用 x 表示出 CD AD 根据题意列出方程 解方程即可 解答 解 1 由题意得 BAD 45 BCA 30 CBA BAD BCA 15 2 作 BD CA 交 CA 的延长线于 D 设 BD xm BCA 30 CD x BAD 45 AD BD x 则x x 60 解得 x 82 答 这段河的宽约为 82m 12 2016 海南 如图 在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD CD 4 米 坡角 DCE 30 小 红在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60 在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45 其中点 A C E 在同一直线上 1 求斜坡 CD 的高度 DE 2 求大楼 AB 的高度 结果保留根号 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 专题 应用题 解直角三角形及其应用 分析 1 在直角三角形 DCE 中 利用锐角三角函数定义求出 DE 的长即可 2 过 D 作 DF 垂直于 AB 交 AB 于点 F 可得出三角形 BDF 为等腰直角三角形 设 BF DF x 表示出 BC BD DC 由题意得到三角形 BCD 为直角三角形 利用勾股定理 列出关于 x 的方程 求出方程的解得到 x 的值 即可确定出 AB 的长 解答 解 1 在 Rt DCE 中 DC 4 米 DCE 30 DEC 90 DE DC 2 米 2 过 D 作 DF AB 交 AB 于点 F BFD 90 BDF 45 BFD 45 即 BFD 为等腰直角三角形 设 BF DF x 米 四边形 DEAF 为矩形 AF DE 2 米 即 AB x 2 米 在 Rt ABC 中 ABC 30 BC 米 BD BF x 米 DC 4 米 DCE 30 ACB 60 DCB 90 在 Rt BCD 中 根据勾股定理得 2x2 16 解得 x 4 或 x 4 则 AB 6 米或 6 米 点评 此题考查了解直角三角形 仰角俯角问题 坡度坡角问题 熟练掌握勾股定理是解 本题的关键 13 2016 河南 如图 小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处 测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37 旗杆底部 B 点的俯角为 45 升旗时 国旗上端悬挂在距地面 2 25 米处 若国旗随国歌声冉冉升起 并在国歌播放 45 秒结束时到达旗杆顶端 则国旗应以多少米 秒的速度匀速上升 参考数据 sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 通过解直角 BCD 和直角 ACD 分别求得 BD CD 以及 AD 的长度 则易得 AB 的长度 则根据题意得到整个过程中旗子上升高度 由 速度 进行解答即可 解答 解 在 Rt BCD 中 BD 9 米 BCD 45 则 BD CD 9 米 在 Rt ACD 中 CD 9 米 ACD 37 则 AD CD tan37 9 0 75 6 75 米 所以 AB AD BD 15 75 米 整个过程中旗子上升高度是 15 75 2 25 13 5 米 因为耗时 45s 所以上升速度 v 0 3 米 秒 答 国旗应以 0 3 米 秒的速度匀速上升 点评 本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题 解决此类问题要了解角之间的关 系 找到与已知和未知相关联的直角三角形 当图形中没有直角三角形时 要通过作高或 垂线构造直角三角形 另当问题以一个实际问题的形式给出时 要善于读懂题意 把实际 问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决 14 2016 山东省菏泽市 3 分 南沙群岛是我国固有领土 现在我南海渔民要在南沙某海 岛附近进行捕鱼作业 当渔船航行至 B 处时 测得该岛位于正北方向 20 1 海里的 C 处 为了防止某国还巡警干扰 就请求我 A 处的鱼监船前往 C 处护航 已知 C 位于 A 处 的北偏东 45 方向上 A 位于 B 的北偏西 30 的方向上 求 A C 之间的距离 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分析 作 AD BC 垂足为 D 设 CD x 利用解直角三角形的知识 可得出 AD 继而 可得出 BD 结合题意 BC CD BD 可得出方程 解出 x 的值后即可得出答案 解答 解 如图 作 AD BC 垂足为 D 由题意得 ACD 45 ABD 30 设 CD x 在 Rt ACD 中 可得 AD x 在 Rt ABD 中 可得 BD x 又 BC 20 1 CD BD BC 即 x x 20 1 解得 x 20 AC x 20 海里 答 A C 之间的距离为 20海里 点评 此题考查了解直角三角形的应用 解答本题的关键是根据题意构造直角三角形 将实际问题转化为数学模型进行求解 难度一般 15 2016 山东省德州市 4 分 2016 年 2 月 1 日 我国在西昌卫星发射中心 用长征三 号丙运载火箭成功将第 5 颗新一代北斗星送入预定轨道 如图 火箭从地面 L 处发射 当 火