天津市河东区2013届高三数学第二次模拟考试 理（河东二模）（含解析）新人教A版

1 20132013 年天津市河东区高考数学二模试卷 理科 年天津市河东区高考数学二模试卷 理科 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求 每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求 1 5 分 2013 河东区二模 设全集 U R 集合 A x x 2 B x 0 x 5 则集合 UA B A x 0 x 2 B x 0 x 2 C x 0 x 2 D x 0 x 2 考点 交 并 补集的混合运算 专题 计算题 分析 根据全集 U R 集合 A x x 2 易知 CUA x x 2 再根据交集定义即可求解 解答 解 全集 U R 集合 A x x 2 CUA x x 2 B x 0 x 5 CUA B x 0 x 2 故选 B 点评 本题考查了补集 交集及其运算 属于基础题 2 5 分 2013 河东区二模 已知实数 x y 满足条件 那么 2x y 的最大值为 A 3B 2C 1D 2 考点 简单线性规划 专题 作图题 分析 先根据约束条件画出可行域 z 2x y 表示斜率为 2 的直线在 y 轴上的截距的相反数 只需求出可 行域直线在 y 轴上的截距最小值即可 解答 解 由约束条件作出图形 易知可行域为一个三角形 验证当直线过点 A 0 1 时 z 取得最大值 z 2 0 1 1 故选 C 点评 本题是考查线性规划问题 准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键 属中档题 2 3 5 分 2013 河东区二模 函数图象的一个对称轴方程是 A B C D x 考点 二倍角的正弦 正弦函数的对称性 专题 三角函数的图像与性质 分析 将函数解析式最后一个因式中的角变形后 利用诱导公式化简 再利用二倍角的余弦函数公式化简 最后利用诱导公式化为一个角的正弦函数 由正弦函数的图象与性质即可得出函数 y 的对称轴方程 进而确定出正确的选项 解答 解 y 2sin x cos x 2sin x cos x 2sin2 x 1 cos 2x 1 sin2x 令 2x 2k k Z 得到 x k k Z 则 k 1 时 x 为函数的一个对称轴方程 故选 A 点评 此题考查了诱导公式 二倍角的余弦函数公式 以及正弦函数的对称性 熟练掌握公式是解本题的 关键 4 5 分 2009 浙江 在二项式的展开式中 含 x4的项的系数是 A 10B 10C 5D 5 考点 二项式定理 专题 计算题 分析 利用二项展开式的通项公式求出第 r 1 项 令 x 的指数为 4 求得 解答 解 对于 对于 10 3r 4 r 2 则 x4的项的系数是 C52 1 2 10 故选项为 B 点评 二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具 5 5 分 2013 河东区二模 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 A 3B 2C 1D 考点 导数的几何意义 分析 根据斜率 对已知函数求导 解出横坐标 要注意自变量的取值区间 3 解答 解 设切点的横坐标为 x0 y0 曲线的一条切线的斜率为 y 解得 x0 3 或 x0 2 舍去 不符合题意 即切点的横坐标为 3 故选 A 点评 考查导数的几何意义 属于基础题 对于一个给定的函数来说 要考虑它的定义域 比如 该题的 定义域为 x 0 6 5 分 2013 河东区二模 已知 为不重合的两个平面 直线 m 那么 m 是 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 平面与平面垂直的判定 分析 利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者 容易判断出后者推不出前者 利用各种条件的定义 得到选项 解答 解 平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的垂线 则两平面垂直 直线 m 那么 m 成立时 一定有 成立 反之 直线 m 若 不一定有 m 成立 所以直线 m 那么 m 是 的充分不必要条件 故选 A 点评 本题考查平面垂直的判定定理 考查各种条件的定义并利用定义如何判定一个命题是另一个命题的 什么条件 7 5 分 2013 河东区二模 其中 m n 为正数 若 则 的最小值是 A 2B 3C 3 2D 2 3 考点 平行向量与共线向量 基本不等式 专题 平面向量及应用 分析 由两个向量共线的性质可得 m n 1 再根据 3 利用基本不等式求得它的最小值 解答 解 其中 m n 为正数 若 则 m 1 n 0 即 m n 1 3 3 2 3 2 当且仅当 时 取等号 故的最小值是 3 2 4 故选 D 点评 本题主要考查两个向量共线的性质 基本不等式的应用 属于基础题 8 5 分 2013 河东区二模 己知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数 且对任意的 x R 都有 f x 2 f x 当 0 x 1 对 f x x2 若直线 y x a 与函数 y f x 的图象在 0 2 内恰有两个 不同的公共点 则实数 a 的值是 A 0B 0 或 C 0 或 D 或 考点 根的存在性及根的个数判断 函数奇偶性的性质 专题 函数的性质及应用 分析 由题意可得函数的图象 属性结合可得当直线为图中的 m 或 n 是满足题意 求出其对应的 a 值即 可 解答 解 由对任意的 x R 都有 f x 2 f x 可知 函数的周期为 T 2 结合函数为偶函数 且当 0 x 1 对 f x x2可作出函数 y f x 和直线 y x a 的图象 当直线为图中的直线 m n 时 满足题意 易知当直线为 m 时 过原点 a 0 当直线为 n 时 直线与曲线相切 联立 消 y 可得 x2 x a 0 由 1 4a 0 可得 a 故 a 的值为 0 或 故选 C 点评 本题考查根的存在性与个数的判断 涉及函数的奇偶性与周期性 数形结合的思想 属中档题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 9 5 分 2013 河东区二模 已知 i 为虚单位 则复数的虚部为 1 考点 复数的基本概念 专题 计算题 分析 两个复数相除 分子和分母同时乘以分母的共轭复数 化简可得复数 z 从而得到复数的虚部 解答 解 i 复数的虚部为 1 5 故答案为 1 点评 本题考查复数的乘除运算及复数的基本概念 熟练掌握复数的运算法则是解题的关键 属于基础 题 10 5 分 2012 广东 执行如图所示的程序框图 若输入 n 的值为 8 则输出的 s 的值为 8 考点 循环结构 专题 阅读型 分析 由已知中的程序框图及已知中输入 8 可得 进入循环的条件为 i 8 即 i 2 4 6 模拟程序的运 行结果 即可得到输出的 s 值 解答 解 当 i 2 k 1 时 s 2 当 i 4 k 2 时 s 2 4 4 当 i 6 k 3 时 s 4 6 8 当 i 8 k 4 时 不满足条件 i 8 退出循环 则输出的 s 8 故答案为 8 点评 本题主要考查的知识点是程序框图 在写程序的运行结果时 我们常使用模拟循环的变法 同时考 查了运算求解能力 属于基础题 11 5 分 2013 河东区二模 过双曲线的右焦点 且平行于经过一 三象限的渐近线的直 线方程是 4x 3y 20 0 考点 双曲线的简单性质 专题 函数的性质及应用 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 根据双曲线方程 可得右焦点的坐标为 F 5 0 且经过一 三象限的渐近线斜率为 k 由平 行直线的斜率相等 可得所求的直线方程的点斜式 再化成一般式即可 6 解答 解 双曲线的方程为 a2 9 b2 16 得 c 5 因此 该双曲线右焦点的坐标为 F 5 0 双曲线的渐近线方程为 y x 双曲线经过一 三象限的渐近线斜率为 k 经过双曲线右焦点 且平行于经过一 三象限的渐近线的直线方程是 y x 5 化为一般式 得 4x 3y 20 0 故答案为 4x 3y 20 0 点评 本题给出双曲线方程 求经过一个焦点并且平行于渐近线的直线方程 考查了直线的方程 直线的 位置关系和双曲线的简单性质等知识 属于基础题 12 5 分 2013 河东区二模 如图 以 ABC 的边 AB 为直径的半圆交 AC 于点 D 交 BC 于点 E EF AB 于点 F AF 3BF BE 2EC 2 那么 CD 考点 与圆有关的比例线段 专题 计算题 分析 连结 AE OE 说明 OBE 是正三角形 求出圆的半径为 2 然后求出 AC 利用切割线定理去 CD 即 可 解答 解 连结 AE OE O 是圆的圆心 因为 AB 是圆的直径 所以 AE BC 又 AF 3BF EF AB 所以 OBE 是正三角形 BE 2EC 2 所以圆的半径为 2 AE 2 所以 AC CA 与 CB 是圆的割线 所以 CD CA CE CB 故答案为 7 点评 本题考查圆的切割线定理的应用 勾股定理的应用 考查分析问题解决问题的能力 13 5 分 2013 红桥区二模 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 由已知中的三视图 我们可以判断出几何体的形状 进而求出几何体的底面面积和高后 代入棱锥 体积公式 可得答案 解答 解 由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥 且棱锥的底面是一个以 2 1 3 为底 以 1 为高的三角形 棱锥的高为 3 故棱锥的体积 V 2 1 1 3 故答案为 点评 本题考查的知识点是由三视图求体积 其中根据已知判断出几何体的形状是解答本题的关键 14 5 分 2013 河东区二模 在 ABC 中 A 90 AB 1 AC 2 设点 P Q 满足 若 则 考点 向量在几何中的应用 专题 计算题 平面向量及应用 分析 由题意推出 0 根据 2 通过向量的转化求得 的值 解答 解 由题意可得 0 因为 由于 1 0 1 0 1 4 1 2 解得 故答案为 点评 本题主要考查两个向量垂直的性质 两个向量的加减法的法则 以及其几何意义 两个向量的数量 积的运算 属于中档题 8 三 解答题 本大题三 解答题 本大题 6 6 个题 共个题 共 8080 分 分 15 13 分 2013 河东区二模 已知函数 f x sin2x cos2x 2 2sin22x 求 f x 的最小正周期 若函数 y g x 的图象是由 y f x 的图象向右平移个单位长度 再向上平移 1 个单位长度得 到的 当 x 0 时 求 y g x 的最大值和最小值 考点 两角和与差的正弦函数 三角函数的周期性及其求法 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 三角函数的图像与性质 分析 利用两角和差的正弦公式 化简函数 f x 的解析式为 由此求得函数 f x 的最小正周期 依题意 y g x 根据 x 的范围求得 结合图象求出 y g x 的最大值和最小值 解答 解 因为 f x sin2x cos2x 2 2sin22x sin4x cos4x 6 分 所以函数 f x 的最小正周期为 8 分 依题意 y g x 1 10 分 因为 所以 11 分 当 即时 g x 取最大值 当 即 x 0 时 g x 取最小值 0 13 分 点评 本题主要考查两角和差的正弦公式 三角函数的周期性性以及求法 正弦函数的定义域和值域 y Asin x 的图象变换规律 属于中档题 16 13 分 2010 四川 某种有奖销售的饮料 瓶盖内印有 奖励一瓶 或 谢谢购买 字样 购买一 瓶若其瓶盖内印有 奖励一瓶 字样即为中奖 中奖概率为 甲 乙 丙三位同学每人购买了一瓶该饮 料 求甲中奖且乙 丙都没有中奖的概率 求中奖人数 的分布列及数学期望 E 考点 离散型随机变量及其分布列 随机事件 专题 计算题 分析 1 甲 乙 丙三位同学每人是否中奖相互独立 可利用独立事件的概率求解 甲中奖概率为 乙 丙没有中奖的概率为 相乘即可 9 2 中奖人数 的所有取值为 0 1 2 3 是二项分布 B 3 解答 解 1 设甲 乙 丙中奖的事件分别为 A B C 那么 P A P B P C P P A P P 答 甲中奖且乙 丙都没有中奖的概率为 2 的可能值为 0 1 2 3 P k k 0 1 2 3 所以中奖人数 的分布列为 E 0 1 2 3 点评 本题考查相互独立事件 互斥事件的概率 离散型随机变量的分布列 二项分布及期望等知识 同 时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力 17 13 分 2013 河东区二模 如图 四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形 DAB DBF 60 且 FA FC 求证 AC 平面 BDEF 求证 FC 平面 EAD 求二面角 A FC B 的余弦值 考点 用空间向量求平面间的夹角 直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定 专题 综合题 分析 设 AC 与 BD 相交于点 O 连接 FO 因为四边形 ABCD 为菱形 所以 AC BD 且 O 为 AC 中 点 由 FA FC 知 AC FO 由此能够证明 AC 平面 BDEF 因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形 所以 AD BC DE BF 平面 FBC 平面 EAD 由此能够证 明 FC 平面 EAD 因为四边形 BDEF 为菱形 且 DBF 60 所以 DBF 为等边三角形 因为 O 为 BD 中点 所以 FO BD 故 FO 平面 ABCD 由 OA OB OF 两两垂直 建立空间直角坐标系 O xyz 设 AB 2 因为 四边形 ABCD 为菱形 DAB 60 则 BD 2 所以 10 求得平面 BFC 的法向量为 平面 AFC 的法向量为 0 1 0 由此能求出二面角 A FC B 的余弦值 解答 证明 设 AC 与 BD 相交于点 O 连接 FO 因为四边形 ABCD 为菱形 所以 AC BD 且 O 为 AC 中点 1 分 又 FA FC 所以 AC FO 3 分 因为 FO BD O 所以 AC 平面 BDEF 4 分 证明 因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形 所以 AD BC DE BF 所以 平面 FBC 平面 EAD 7 分 又 FC 平面 FBC 所以 FC 平面 EAD 8 分 解 因为四边形 BDEF 为菱形 且 DBF 60 所以 DBF 为等边三角形 因为 O 为 BD 中点 所以 FO BD 故 FO 平面 ABCD 由 OA OB OF 两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 9 分 设 AB 2 因为四边形 ABCD 为菱形 DAB 60 则 BD 2 所以 OB 1 所以 所以 设平面 BFC 的法向量为 x y z 则有 取 x 1 得 平面 AFC 的法向量为 0 1 0 11 分 由二面角 A FC B 是锐角 得 cos 所以二面角 A FC B 的余弦值为 12 分 点评 本题考查直线与平面垂直 直线与平面平行的证明 考查二面角的余弦值的求法 解题时要认真审题 合理地进行等价转化 注意向量法的合理运用 11 18 13 分 2013 河东区二模 已知 a b 为常数 且 a 0 函数 f x ax b axlnx f e 2 e 2 71828 是自然对数的底数 1 求实数 b 的值 2 求函数 f x 的单调区间 考点 利用导数研究函数的单调性 函数的值 专题 导数的综合应用 分析 1 由 f e 2 计算可得 b 的值 2 由 1 可得 f x ax 2 axlnx 故 f x alnx 分类讨论 当 a 0 a 0 时 分别 令 f x 0 f x 0 解不等式可得对应的单调区间 解答 解 1 由 f e 2 可得 ae b aelne b 2 故实数 b 的值为 2 2 由 1 可得 f x ax 2 axlnx 故 f x a alnx ax alnx 因为 a 0 故 当 a 0 时 由 f x 0 可得 x 1 由 f x 0 可得 0 x 1 当 a 0 时 由 f x 0 可得 0 x 1 由 f x 0 可得 x 1 综上可得 当 a 0 时 函数 f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 当 a 0 时 函数 f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 点评 本题考查利导数研究函数的单调性 涉及分类讨论的思想 属中档题 19 14 分 2013 河东区二模 已知椭圆 a b 0 的右焦点为 F2 3 0 离心率为 e 若 求椭圆的方程 设直线 y kx 与椭圆相交于 A B 两点 M N 分别为线段 AF2 BF2的中点 若坐标原点 O 在以 MN 为 直径的圆上 且 求 k 的取值范围 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 专题 综合题 转化思想 分析 由题意得 得 由此能求出椭圆的方程 由得 b2 a2k2 x2 a2b2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 所以 依题意 OM ON 知 四边形 OMF2N 为平行四边形 所以 AF2 BF2 因为 所以 由此能求出 k 的取值范 12 围 解答 解 由题意得 得 2 分 结合 a2 b2 c2 解得 a2 12 b2 3 3 分 所以 椭圆的方程为 4 分 由得 b2 a2k2 x2 a2b2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 所以 6 分 依题意 OM ON 易知 四边形 OMF2N 为平行四边形 所以 AF2 BF2 7 分 因为 所以 8 分 即 9 分 将其整理为 10 分 因为 所以 12 a2 18 11 分 所以 即 13 分 点评 本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用 解题时要认真审题 注意挖掘题