四川省遂宁二中2012届高三数学辅导资料（7） 指数与指数函数

用心 爱心 专心1 7 7 指数与指数函数指数与指数函数 知识梳理 1 指数 1 n次方根的定义 若xn a 则称x为a的n次方根 是方根的记号 n 在实数范围内 正数的奇次方根是一个正数 负数的奇次方根是一个负数 0 的奇次 方根是 0 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数 0 的偶次方根是 0 负数没有 偶次方根 2 方根的性质 当n为奇数时 a 当n为偶数时 a nn a nn a 0 0 aa aa 3 分数指数幂的意义 a a 0 m n都是正整数 n 1 n m nm a a a 0 m n都是正整数 n 1 n m n m a 1 nm a 1 2 指数函数 1 指数函数的定义 一般地 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 2 指数函数的图象 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称 3 指数函数的性质 定义域 R R 值域 0 过点 0 1 即x 0 时 y 1 当a 1 时 在 R R 上是增函数 当 0 a 1 时 在 R R 上是减函数 点击双基 1 等于 3 a 6 a A B C D a aa a 2 指数函数的反函数的图象过点 2 1 则此指数函数的解析式为 xfy A B C D x y 2 1 x y2 x y3 x y10 3 若函数y ax b 1 a 0 且a 1 的图象经过二 三 四象限 则一定有 A 0 a 1 且b 0B a 1 且b 0 C 0 a 1 且b 0D a 1 且b 0 4 2008 重庆文 14 若 则 0 x 4 32 32 2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 xxxxx 5 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两个公共点 则a的取值 范围是 6 函数y 的递增区间是 22 2 2 1 xx O x y O x y y a x 1 1 a 1 y a x 0 a 1 用心 爱心 专心2 7 48 37 3 27 10 2 1 0 9 7 2 0 3 2 25 0 典例剖析 例 1 下图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 则 a b c d与 1 的大小关系是 A a b 1 c d B b a 1 d c C 1 a b c d D a b 1 d c 例 2 已知 2 x 2 求函数y 2x 2 x的值域 xx 2 4 1 例 3 要使函数y 1 2x 4xa在x 1 上y 0 恒成立 求a的取值范围 例 4 已知 求函数的最大值和最小值 093109 xx 2 2 1 4 4 1 1 xx y O x y 1 1 2 3 4 用心 爱心 专心3 闯关训练 1 已知f x ax g x logbx 且 lga lgb 0 a 1 b 1 则y f x 与 y g x 的图象 A 关于直线x y 0 对称B 关于直线x y 0 对称 C 关于y轴对称D 关于原点对称 2 下列函数中值域为正实数的是 A y 5xB y 1 x C y D y 3 1 1 2 1 xx 21 3 2011 年四川理 7 若是 R 上的奇函数 且当时 则的反 xf0 x1 2 1 x xf xf 函数的图象大致是 4 2011 年四川文 4 函数的图象关于直线 y x 对称的图象像大致是 1 2 1 x xf 5 函数是定义在上的奇函数 当时 则的值为 xf 2 2 2 0 x12 x xf 3 1 log2f A B C D 2 3 2 712 3 6 化简 a 0 b 0 的结果是 3 4 2 1 4 1 3223 a b ba abba 用心 爱心 专心4 7 2008 江西理 14 不等式的解集是 2 1 2 1 3 x x 8 函数在上的最小值是 xx xf243 0 x 9 若定义运算 则函数的值域为 bb b b a aa a x 33 x xf 10 若a2x ax 0 a 0 且a 1 求y 2a2x 3 ax 4 的值域 2 1 2 1 11 解方程 4x 1 2x 11 12 若关于x的方程 25 x 1 4 5 x 1 m 0 有实根 求m的取值范围 13 设且 函数在上的最大值是 14 求 的值 0 a1 a12 2 xx aay 1 1 a 用心 爱心 专心5 7 指数与指数函数 知识梳理 1 指数 1 n次方根的定义 若xn a 则称x为a的n次方根 是方根的记号 n 在实数范围内 正数的奇次方根是一个正数 负数的奇次方根是一个负数 0 的奇次 方根是 0 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数 0 的偶次方根是 0 负数没有 偶次方根 2 方根的性质 当n为奇数时 a 当n为偶数时 a nn a nn a 0 0 aa aa 3 分数指数幂的意义 a a 0 m n都是正整数 n 1 n m nm a a a 0 m n都是正整数 n 1 n m n m a 1 nm a 1 2 指数函数 1 指数函数的定义 一般地 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 2 指数函数的图象 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称 3 指数函数的性质 定义域 R R 值域 0 过点 0 1 即x 0 时 y 1 当a 1 时 在 R R 上是增函数 当 0 a 1 时 在 R R 上是减函数 点击双基 1 等于 3 a 6 a A B C D a aa a O x y O x y y a x 1 1 a 1 y a x 0 a 1 用心 爱心 专心6 解析 a a a a 3 a 6 a 3 1 6 1 6 1 3 1 2 1 答案 A 2 指数函数的反函数的图象过点 2 1 则此指数函数的解析式为 xfy A B C D x y 2 1 x y2 x y3 x y10 答案 A 3 2004 年湖北 文 5 若函数y ax b 1 a 0 且a 1 的图象经过二 三 四象 限 则一定有 A 0 a 1 且b 0B a 1 且b 0 C 0 a 1 且b 0D a 1 且b 0 解析 作函数y ax b 1 的图象 答案 C 4 2008 重庆文 14 若 则 0 x 4 32 32 2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 xxxxx 答案 23 5 2004 年湖南 文 16 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两 个公共点 则a的取值范围是 解析 数形结合 由图象可知 0 2a 1 0 a 2 1 答案 0 a 2 1 6 函数y 的递增区间是 22 2 2 1 xx 解析 y x在 上是减函数 而函数y x2 2x 2 x 1 2 1 的 2 1 递减区间是 1 原函数的递增区间是 1 答案 1 7 48 37 3 27 10 2 1 0 9 7 2 0 3 2 25 0 答案 答案 100 典例剖析 例 1 下图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 则 a b c d与 1 的大小关系是 A a b 1 c dB b a 1 d c C 1 a b c dD a b 1 d c 剖析 可先分两类 即 3 4 的底数一定大于 1 1 2 的底数小于 1 然后再从 3 4 中比较c d的大小 从 1 2 中比较a b的大小 解法一 当指数函数底数大于 1 时 图象上升 且当底数越大 图象向上越 靠近于y轴 当底数大于 0 小于 1 时 图象下降 底数越小 图象向右越靠近于x轴 得 b a 1 d c 解法二 令x 1 由图知c1 d1 a1 b1 O x y 1 1 2 3 4 用心 爱心 专心7 b a 1 d c 答案 B 例 2 已知 2 x 2 求函数y 2x 2 x的值域 xx 2 4 1 解 2 2 2 x 2 x2 x 4 2x 即x2 3x 4 0 得 4 x 1 又 xx 2 y 2x 2 x是 4 1 上的增函数 2 4 24 y 2 2 1 故所求函数y的值域是 16 255 2 3 例 3 要使函数y 1 2x 4xa在x 1 上y 0 恒成立 求a的取值范围 解 由题意 得 1 2x 4xa 0 在x 1 上恒成立 即a 在 x x 4 21 x 1 上恒成立 又 2x x x 2 当 x x 4 21 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 x 1 时值域为 a 4 3 4 3 评述 将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法 例 4 已知 求函数的最大值和最小值 093109 xx 2 2 1 4 4 1 1 xx y 解 由 得 解得 令 093109 xx 0 93 13 xx 931 x 20 xt x 2 1 则 1 4 1 t 当即时 当即时 1 2 1 4244 22 ttty 2 1 t1 x1 min y1 t0 x2 max y 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 已知f x ax g x logbx 且 lga lgb 0 a 1 b 1 则y f x 与 y g x 的图象 A 关于直线x y 0 对称B 关于直线x y 0 对称 C 关于y轴对称D 关于原点对称 解析 lga lgb 0ab 1 g x logbx loga 1x logax f x 与g x 的图象关于y x对称 答案 B 2 下列函数中值域为正实数的是 A y 5xB y 1 x C y D y 3 1 1 2 1 xx 21 解析 y x的值域是正实数 而 1 x R R y 1 x的值域是正实数 3 1 3 1 答案 B 用心 爱心 专心8 3 2011 年四川理 7 若是 R 上的奇函数 且当时 则的反 xf0 x1 2 1 x xf xf 函数的图象大致是 答案 A 解析 当 0 x 时 函数 f x 单调递减 值域为 1 2 此时 其反函数单调递减且图象 在 1x 与 2x 之间 故选 A 4 2011 年四川文 4 函数的图象关于直线 y x 对称的图象像大致是1 2 1 x xf 答案 A 解析 1 1 2 x y 图象过点 0 2 且单调递减 故它关于直线 y x 对称的图象过点 2 0 且单调递减 选 A 5 函数是定义在上的奇函数 当时 则的值为 xf 2 2 2 0 x12 x xf 3 1 log2f A B C D 2 3 2 712 3 答案 A 6 化简 a 0 b 0 的结果是 3 4 2 1 4 1 3223 a b ba abba 用心 爱心 专心9 解析 原式 3 1 2 2 1 3 1 2 2 3 a b ab abba 3 7 3 2 3 1 6 1 2 3 ba baba 3 7 3 2 3 4 6 10 ba ba b a 答案 b a 7 2008 江西理 14 不等式的解集是 2 1 2 1 3 x x 答案 1 0 3 8 函数在上的最小值是 xx xf243 0 x 答案 2 9 若定义运算 则函数的值域为 bb b b a aa a x 33 x xf 答案 1 0 10 若a2x ax 0 a 0 且a 1 求y 2a2x 3 ax 4 的值域 2 1 2 1 解 由a2x ax 0 a 0 且a 1 知 0 ax 2 1 2 1 2 1 令ax t 则 0 t y 2t2 3t 4 借助二次函数图象知y 3 4 2 1 11 2004 年全国 18 解方程 4x 1 2x 11 解 当x 0 时 1 2x 0 原方程4x 2x 10 02x 2x 0 无解 或 2 1 2 41 2 1 2 41 2x 1 知x 0 无解 2 1 2 41 当x 0 时 1 2x 0 原方程4x 2x 12 02x 2x 4 无解 或 2x 3x log23 为原方 2 1 2 7 程的解 探究创新探究创新 12 若关于x的方程 25 x 1 4 5 x 1 m 0 有实根 求m的取值范围 解法一 设y 5 x 1 则 0 y 1 问题转化为方程y2 4y m 0 在 0 1 内有实 根 设f y y2 4y m 其对称轴y 2 f 0 0 且f 1 0 得 3 m 0 解法二 m y2 4y 其中y 5 x 1 0 1 m y 2 2 4 3 0 13 设且 函数在上的最大值是 14 求 的值 0 a1 a12 2 xx aay 1 1 a 解 令 则原函数可化为 令 则函数 1 0 aaat x 且 0 2 1 2 tty tfy 2 2 2 ttf 的图像的对称轴为 开口方向向上 1 t 当时 此时 在上为增函数 10 a 1 1 x 1 a aat x tf 1 a a 又 142 1 1 1 2 max aa ftf16 1 1 2 a3 1 a 5 1 或a0 a 3 1 a 用心 爱心 专心10 当时 此时 在上为增函数 1 a 1 1 x 1 a a at x tf 1 a a 解得 或 142 1 2 max aaftf舍去 5 3 aa 3 1 a3 a 思悟小结 1 利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算 从而简化计算过程 2 指数函数y ax a 0 a 1 的图象和性质受a的影响 要分a 1 与 0 a 1 来 研究 3 指数函数