2018年中考总复习专题：二次函数与相似的结合

二次函数与相似的结合二次函数与相似的结合 题型一 动点在线段上题型一 动点在线段上 如图 平面直角坐标系中 已知 一次函数的图像与轴 轴xOy 1 0 B 5yx xy 分别交于点 两点 二次函数的图像经过点 点 AC 2 yxbxc AB 1 求这个二次函数的解析式 2 点是该二次函数图像的顶点 求 的面积 PAPC 3 如果点在线段上 且 与 相似 求点的坐标 QACABCAOQQ 如图 抛物线与轴交于 两点 在的左侧 2 2yaxaxc 0 a x 3 0 A BAB 与轴交于点y 抛物线的顶点为 0 3 C M 1 求 的值 ac 2 求的值 tanMAC 3 若点是线段上一个动点 联结 问是否存在点 使得以点 PACOPPOC 为顶点的三角形与 相似 若存在 求出点坐标 若不存在 请说明理由 PABCP 如图 已知抛物线的对称轴为直线 x 1 与 x 轴的一个交点为 A 2 yaxxc 1 0 顶点为 B 点 C 5 m 在抛物线上 直线 BC 交 x 轴于点 E 1 求抛物线的表达式及点 E 的坐标 2 联结 AB 求 B 的正切值 3 点 G 为线段 AC 上一点 过点 G 作 CB 的垂线交 x 轴于点 M 位于点 E 右侧 当 CGM 与 ABE 相似时 求点 M 的坐标 参考答案 24 本题满分 本题满分 12 分 第 分 第 1 小题 小题 4 分 第 分 第 2 小题 小题 3 分 第 分 第 3 小题 小题 5 分 分 解 1 抛物线的对称轴为直线 x 1 2 yaxxc 1 2 a 抛物线与 x 轴的一个交点为 A 1 0 3 2 c 抛物线的表达式为 2 2 13 22 yxx 分 顶点 B 1 2 1 分 点 C 5 m 在抛物线上 C 点坐标为 5 6 6m 设直线 BC 的表达式为 y kx b k 0 则 即 BC 的表达式为 y 2x 4 65 2 kb kb 2 4 k b E 2 0 1 分 2 作 CH x 轴 垂足为 H 作 BP x 轴 垂足为 P C 5 6 A 1 0 CH 6 AH CAH 45 B 1 2 A 1 0 BP 2 AP BAP 45 CAB 90 1 分 CH 6 AH CH x 轴 6 2 AC x y A B E C O 第 24 题图 BP 2 AP BP x 轴 2 2 AB 2 分 tan3 AC B AB 3 CAB 90 B ACB 90 GM BC CGM ACB 90 CGM B 1 分 CGM 与 ABE 相似 BAE CMG 或 BAE MCG 情况 1 当 BAE CMG 时 BAE 45 CMG 45 GM BC MCE 45 MCE EAB AEB CEM ABE CME 1 分 即 EM 5 M 7 0 1 分 BEAE EMCE 53 3 5EM 情况 2 当 BAE MCG 时 BAE CAM MCG CAM MC MA 1 分 设 M x 0 C 5 6 A 1 0 x 5 222 1 5 6 xx M 5 0 1 分 题型二 动点在线段的延长线上题型二 动点在线段的延长线上 如图 7 已知抛物线与轴交于点和点 点在点的左侧 与3 2 bxxyxABAB 轴交于点 且 点是抛物线的顶点 直线和交于点 yCOCOB DACBDE 1 求点的坐标 D 2 联结 求的余切值 BCCD DBC 3 设点在线段延长线上 如果和相似 求点的坐标 MCAEBM ABC M 答案 1 2 3 3 D 1 4 63 55 解析 1 抛物线与轴的交于点和点 点在点的左侧 2 y3xbx ABAB 与轴交于点 且 yC 3 0 COCOB 0 3 B 9330 b b 解得2 2 23 D 1 4yxx 2 OBOC 45OCBOBC y 45DC 1802 45 90DCB 3 2 cot3 2 BC DBC DC 3 由 可得 在 AOC 和 BCD 中 2 23yxx 3 COBC AOCD 90AOCDCB AOCBCD 又 ACOCBD ACBACOOCBECBD 45EOCB 当相似时 可知 EBMABC 和ECBA 又点在线段的延长线上 可得 ACBEBA EMBACB 3 2MBBC 由题意 得直线的表达式为 设 y33x 33 M xx 解得 舍去 2 3 33 18xx 12 6 0 5 xx 点 M 的坐标是 63 55 题型三 动点在对称轴上题型三 动点在对称轴上 如图 抛物线经过点 为抛物线的顶点 cbxxy 2 0 3 B 3 0 CD 1 求抛物线的解析式及顶点坐标 2 点关于抛物线的对称点为点 联结 求的正Ccbxxy 2 EBCBECBE 切值 3 点是抛物线对称轴上一点 且 和 相似 求点的坐标 MDMBBCEM 答案 1 2 3 或32 2 xxy 4 1 D 2 1 2 1 M 3 2 1M 解析 1 抛物线经过点 cbxxy 2 0 3 B 3 0 C 可解得 3 039 c cb 3 2 c b 顶点坐标32 2 xxy 4 1 D 2 过点作垂直于交于点EEHBCH 点与点关于对称轴对称CE1 x 平行于轴 3 2 E2 CECEx 3 OBOC 45ECBOBC23 BC 在等腰直角三角形中 ECH2 CE 2 EHCH 在直角三角形中 EHB22 CHBCBH 2 EH 2 1 22 2 tan BH EH CBE 的正切值为 CBE 2 1 3 设抛物线对称轴交轴与点1 xxF 在直角三角形中 DFB4 DF2 BF 2 1 tan DF BF BDFCBEBDF 点在点的下方MD 当与相似时 有下列两种情况 DMB BCE 当 时 即 可解得 BE BC DB DM 10 23 52 DM 6 DM 2 1 M 当 时 即 可解得 BC BE DB DM 23 10 52 DM 3 10 DM 3 2 1M 综上所述 或 2 1 M 3 2 1M 2 动点在平移后的对称轴上 动点在平移后的对称轴上 在平面直角坐标系中 点是抛物线上的一点 将此抛物线向下平 0 4 Acxaxy 2 2 移个单位以后经过点 平移后的新抛物线的顶点记为 新抛物线的对称轴和线6 2 0 BC 段的交点记为 ABP 1 求平移后得到的新抛物线的表达式 并求出点 C 的坐标 2 求的正切值 CAB 3 如果点是新抛物线对称轴上的一点 且和相似 试求点的坐标 QBCQ ACP Q 答案 1 2 3 或22 2 xxy 3 1 C 1 tan 3 CAB 2 5 1 1 Q 1 1 2 Q 解析 1 点是抛物线上的一点 代入得 0 4 Acxaxy 2 2 0816 ca 又 抛物线向下平移个单位以后经过点 平移后的抛物线解析式为 6 2 0 B 62 2 cxaxy 代入得 由 得 8 26 cc8 1 ca 平移后得到的新抛物线的表达式 顶点22 2 xxy 3 1 C 2 易得 0 4 A 2 0 B 3 1 C52 23 2 BACACB 由勾股定理逆定理得是直角三角形 ABC 3 1 tan CA CB CAB 3 设抛物线对称轴与轴相交于点xH ABOAPH 2 3 2 1 AHPH 2 3 CP 易得 45 ACPBCP 2 3 23 2 CPCACB 点只能在对称轴点的下方 和相似 有以下两种情况 QCBCQ ACP CA CP CB CQ 23 2 3 2 CQ 2 1 CQ 2 5 1 1 Q CP CA CB CQ 2 3 23 2 CQ 4 CQ 1 1 2 Q 综上 或 2 5 1 1 Q 1 1 2 Q 题型四 动点在某直线上题型四 动点在某直线上 如图 已知抛物线经过的三个顶点 其中点 点 2 2yaxxc ABC 0 1 A 9 10 B 轴 ACx 1 求这条抛物线的解析式 2 求的值 tanABC 3 若点 D 为抛物线的顶点 点 E 是直线 AC 上一点 当与相似时 求点 E 的坐标 CDE ABC 参考答案 24 解 1 抛物线经过点和点 2 2yaxxc 0 1 A 9 10 B 1 分 1 811810 c ac 解得 2 分 1 3 1 a c 这条抛物线的解析式为 1 分 2 1 21 3 yxx 2 过点作 垂足为BBHAC H ACx 轴 0 1 A 9 10 B9 1H 又9BHAH 90BHA 是等腰直角三角形HAB 1 分45HAB 点也在该抛物线上ACx 轴 0 1 AC 6 1C 过点作 垂足为点CCGAB G 1 分sin453 2CGAC A cos453 2AGAC A 又 在 Rt 中 ABH9 2 sin45 BH AB 1 分9 23 26 2BG y A O C B x 第 24 题图 在 Rt 中 1 分BCG 1 tan 2 CG ABC BG 3 过点 D 作 垂足为DKAC K 点是抛物线的顶点 1 分D 2 1 21 3 yxx 3 2 D 3 1 K 又 是等腰直角三角形3CKDK 90CKD C D K 45DCK 又 45BAC 1 分DCKBAC 当 CDE 与 ABC 相似时 存在以下两种情况 1 分1 ACEC ABCD 6 9 23 2 EC EC 2 4 1 E 1 分2 ACDC ABEC 63 2 9 2EC EC 9 3 1 E 题型五 动点在题型五 动点在轴上轴上x 如图 9 在平面直角坐标系xoy中 顶点为M的抛物线 2 0yaxbx a 经过点A和 x轴正半轴上的点B AOOB 2 0 120AOB 1 求这条抛物线的表达式 2 联结OM 求AOM 的大小 3 如果点C在x轴上 且 ABC与 AOM相似 求点C的坐标 M A B O x y 图 9 2017 年青浦一模 24 已知 如图 8 在平面直角坐标系中 抛物线与14 2 axaxy 轴正半轴交于点和点 与轴交于点 且 点是第一象限内的点 xAByCOCOB3 P 联结 是以为斜边的等腰直角三角形 BCPBCBC 1 求这个抛物线的表达式 2 求点的坐标 P 3 点在轴上 若以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相QxPOQ BAC 似 求点的坐标 Q 答案 1 2 3 点 坐标为或1 3 4 3 1 2 xxy 2 2 P Q 0 2 0 4 解析 1 由题意可得 1 0 C 33 OCOB 0 3 B 代入得14 2 axaxy 3 1 a 1 3 4 3 1 2 xxy 2 过点作P轴轴xPFyPE 为等腰直角三角形PBC PBPC 90CPFFPBCPFEPC FPBEPC AASPFBRtPCERt BFEC 可证四边形为正方形PEOFBFOBOCEC 3 1 OBOC 解得在第一象限内BFEC 311 BFEC2 OFOEP 2 2 P 3 可得为等腰直角三角形2 2 ABAC 0 1 1 0 AC OAOC AOC 则点在轴左侧 45OAC 135CABQy i CABOPQ 1 AB CA OP OQ 1 222 2 2 1 AB CA OPOQ 0 2 1 Q ii CABPOQ 2 AB CA OQ OP 2 4222 2 AC AB OPOQ 0 4 2 Q 若点在轴右侧 不存在Qy 综上所述 点坐标为或Q 0 2 0 4 在平面直角坐标系中 抛物线与轴相交点和点 与轴xOy 2 cyxbx x 1 0 A By 相交于点 抛物线的顶点为点 联结 0 3 CDACBCDBDC 1 求这条抛物线的表达式及顶点的坐标 D 2 求证 ACODBC 3 如果点在轴上 且在点的右侧 求点的坐标 ExBBCEACO E 答案 1 2 略 3 6 0 E 解析 1 抛物线过点 A 和点 将两点坐标代入解析式可得 可解得 根据顶点公式可得 2 代入到求得 所以有0y 2 14yx 1 1x 2 3x 3 0B 可以求得 1OA 3OC 22 1310AC 22 431 02CD 22 333 2BC 22 402420BD 在和中 有 ACOADBCA 2 CDBCBD AOOCAC ACODBC 3 在 OC 上取一点 F 使得 OF OA 由 2 得 B 3 0 C 0 3 OB OC OBC 45 CBE 135 OA OF AFO 45 AFC 135 AFC CBE 又 BCE ACO AFC BCE BE AF CB CF 3 BE60 BEBOE 0 6 E 题型六 动点在抛物线上题型六 动点在抛物线上 如图 1 已知抛物线的方程 C1 m 0 与 x 轴交于点 B C 与 y 轴 1 2 yxxm m 交于点 E 且点 B 在点 C 的左侧 1 若抛物线 C1 过点 M 2 2 求实数 m 的值 4 在第四象限内 抛物线 C1 上是否存在点 F 使得以点 B C F 为顶点的三角形 与 BCE 相似 若存在 求 m 的值 若不存在 请说明理由 图 1 解析 1 将 M 2 2 代入 得 解得 1 2 yxxm m 1 24 2 m m m 4 4 如图 3 过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F 过点 F 作 FF x 轴于 F 由于 BCE FBC 所以当 即时 BCE FBC CEBC CBBF 2 BCCE BF 设点 F 的坐标为 由 得 1 2 xxxm m FFEO BFCO 1 2 2 2 xxm m xm 解得 x m 2 所以 F m 2 0 由 得 所以 COBF CEBF 2 4 4 mm BF m 2 4 4mm BF m 由 得 整理 得 0 16 此方程 2 BCCE BF 2 22 4 4 2 4 mm mm m 无解 图 2 图 3 图 4 如图 4 作 CBF 45 交抛物线于 F 过点 F 作 FF x 轴于 F 由于 EBC CBF 所以 即时 BCE BFC BEBC BCBF 2 BCBE BF 在 Rt BFF 中 由 FF BF 得 1 2 2xxmx m 解得 x 2m 所以 F 所以 BF 2m 2 2 0 m2 22 BFm 由 得 解得 2 BCBE BF 2 2 2 22 22 mm 22 2m 综合 符合题意的 m 为 22 2 2 2 动点在直线下方的抛物线 动点在直线下方的抛物线 24 如图 在平面直角坐标系中 二次函数的图像与轴交于 两点 2 yxbxc xAB 点的坐标为 与轴交于点 点是直线下方抛物线上的任意 B 3 0 y 0 3 C PBC 一点 1 求这个二次函数的解析式 2 yxbxc 2 联结 并将 沿轴对折 得到四边形 POPCPOC y 如果四边形为菱形 求点的坐标 POP C POP C P 3 如果点在运动过程中 能使得以 为顶点的 PPCB 三角形与 相似 请求出此时点的坐标 AOCP 正确答案正确答案 3 动点在直线上方的抛物线动点在直线上方的抛物线 如图 11 所示 已知抛物线 2 1yx 与x轴交于 A B 两点 与y轴交于点 C 1 求 A B C 三点的坐标 2 过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P 求四边形 ACBP 的面积 3 在x轴上方的抛物线上是否存在一点 M 过 M 作 MG x轴 于点 G 使以 A M G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 若存在 请求出 M 点的坐标 否则 请说明理由 解析 1 令0y 得 2 10 x 解得1x 令0 x 得1y A 1 0 B 1 0 C 0 1 2 分 2 OA OB OC 1 BAC ACO BCO 45 AP CB PAB 45 过点 P 作 PE x轴于