安徽省翰林院2014届高考数学总复习讲义 第十讲 圆锥曲线（一）椭圆

1 第十讲第十讲 圆锥曲线一 椭圆 圆锥曲线一 椭圆 一一 考点提示考点提示 一 定义 一 定义 1 1 第一定义 第一定义 2 2 第二定义 第二定义 2 2 方程 方程 1 1 标准方程 标准方程 2 2 参数方程 参数方程 3 3 性质 性质 1 1 范围 范围 2 2 离心率 离心率 3 3 准线 准线 4 4 焦半径 焦半径 5 5 通径 通径 6 6 焦准距焦准距 p 7 7 切线方程 切线方程 8 8 弦长公式 弦长公式 四 点与椭圆的位置关系 四 点与椭圆的位置关系 5 5 焦点三角形 焦点三角形 2 1 1 顶角 顶角 2 2 焦点三角形面积 焦点三角形面积 3 3 向量 模长 向量 模长 6 6 常见做法和结论 常见做法和结论 1 1 知道求椭圆中的量 椭圆标准方程 知道求椭圆中的量 椭圆标准方程 2 2 椭圆焦点位置不确定 如何设方程 椭圆焦点位置不确定 如何设方程 3 3 与与共焦点的椭圆 共焦点的椭圆 22 22 1 xy ab 4 4 与与有相同离心率的椭圆 有相同离心率的椭圆 22 22 1 xy ab 5 5 椭圆中椭圆中所构成的菱形的内角与椭圆的离心率之间的关系 所构成的菱形的内角与椭圆的离心率之间的关系 1122 FB F B 6 6 焦点三角形顶角的范围 焦点三角形顶角的范围 7 7 椭圆长轴端点为椭圆长轴端点为 是否存在 是否存在 使 使最大 最小 这点位置在哪里 最大 最大 最小 这点位置在哪里 最大 12 A AP 12 APA 小角如何求 小角如何求 8 8 椭圆短轴端点为椭圆短轴端点为 是否存在 是否存在 使 使最大 最小 这点位置在哪里 最大 最大 最小 这点位置在哪里 最大 12 B BP 12 B PB 小角如何求 小角如何求 9 9 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 1 1 代数方法 代数方法 2 2 几何方法 几何方法 3 10 10 直线直线 交曲线交曲线于于两点 两点 中点为中点为 l 22 1mxny A B A BM lOM k k 二二 典例分析典例分析 1 1 椭圆定义的运用椭圆定义的运用 例 1 平面一动点 且满足 则 P 点轨迹是 12 0 3 0 3 P FF 12 9 0 PFPFaa a 例 2 已知椭圆 F1 F2分别为椭圆的左右焦点 点 A 1 1 为椭圆内一点 点 P1 59 22 yx 为椭圆上一点 求 PA PF1 的最大值和最小值 求 PA PF2 的最小值 1 2 2 3 例 3 2008 浙江 如图 AB 是平面 a 的斜线段 A 为斜足 若点 P 在平面 a 内运动 使得 ABP 的面积为定值 则动点 P 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 一条直线 D 两条平行直线 例 4 如图所示 在正方体的侧面内有一动点 P 到直线的距离是点 1111 ABCDABC D 1 AB 11 AB P 到直线 BC 的距离的 2 倍 则动点 P 的轨迹为 A 圆弧 B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分 D 抛物线的一部分 4 例 5 方程 化简的结果是 2222 2 2 10 xyxy A B C D 22 1 2516 xy 22 1 2521 yx 22 1 254 xy 22 1 2521 xy 2 2 椭圆方程的应用椭圆方程的应用 例 6 已知方程表示椭圆 则的取值范围为 1 23 22 k y k x k 例 7 设 是 ABC 的一个内角 且 则表示 7 sincos 13 22 sincos1xy A 焦点在 x 轴上的椭圆 B 焦点在 y 轴上的椭圆 C 焦点在 x 轴上的双曲线 D 焦点在 y 轴上的双曲线 例 8 已知方程 0 1sincos 22 yx 讨论方程表示的曲线的形状 例 9 若 且 则的最大值是 的最小值是 Ryx 623 22 yxyx 22 yx 5 例 10 已知实数yx 满足1 24 22 yx 求xyx 22 的最大值与最小值 例 11 求椭圆上的点到直线的最短距离 2847 22 yx01623 yx 例 12 2010 福建 若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任 22 1 43 xy 意一点 则 的最大值为 OP FP A 2 B 3 C 6 D 8 例 13 设椭圆 和 x 轴正方向的交点为 A 和 y 轴的正方向的交点为 B P 为第一象限 22 22 1 xy ab 内椭圆上的点 使四边形 OAPB 面积最大 O 为原点 那么四边形 OAPB 面积最大值为 A B C D 2ab2ab 2 2 ab 1 2 ab 3 3 离心率的值及取值范围离心率的值及取值范围 例 14 椭圆的两焦点为 椭圆上存在点使 G 22 22 1 0 xy ab ab 12 0 0 FcF c M 则椭圆离心率的取值范围为 12 0FM F M e 例 15 椭圆的两焦点为 若为其上一点 且 则 22 22 1 0 xy ab ab 12 F FP 12 2PFPF 此椭圆离心率的取值范围为 6 例 16 椭圆的左右焦点为 若椭圆上存在一点使 22 22 1 0 xy ab ab 12 0 0 FcF c P 则该椭圆的离心率的取值范围是 12 21 sin sin PFFc PF Fa 例 17 过椭圆的左顶点的斜率为的直线交椭圆于另一点 C 22 22 1 0 xy ab ab AkCB 且点在轴的射影恰好为右焦点 若 则椭圆离心率的取值范围是BxF 11 32 k 例 18 椭圆的两个焦点和短轴两个顶点 是一个含 60 角的菱形的四个顶点 则椭圆的离心率 为 例 19 2007 年湖南理 9 设分别是椭圆 的左 右焦点 若在 12 FF 22 22 1 xy ab 0ab 其右准线上存在使线段的中垂线过点 则椭圆离心率的取值范围是 P 1 PF 2 F A B C D 2 0 2 3 0 3 2 1 2 3 1 3 例 20 已知椭圆 其长轴两端点是 若椭圆上存在点 使 22 22 1 xy ab 0ab A BQ 求椭圆离心率的变化范围 12 120FQF e 7 例 21 已知椭圆 其长轴两端点是 若椭圆上存在点 使 22 22 1 xy ab 0ab A BQ 求椭圆离心率的变化范围 120AQB e 例 22 已知椭圆 其短轴两端点是 若椭圆上存在点 使 22 22 1 xy ab 0ab A BQ 求椭圆离心率的变化范围 60AQB e 例 23 过椭圆的一个焦点做直线 交椭圆于两点 若直线与椭圆长轴夹角为 并且Fl A B60 是的一个三等分点 则椭圆的离心率为 FAB 例 24 2010 四川 椭圆的右焦点为 F 其右准线与 x 轴的交点为 A 在 22 22 1 0 xy ab ab 椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率的取值范围是 A B C D 2 0 2 1 0 2 21 1 1 1 2 例 25 2009 浙江 已知椭圆 的左焦点为 F 右顶点为 A 点 B 在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上 且 BF x 轴 直线 AB 交 y 轴于点 P 若 则椭圆的离心率是 2APPB A B C D 3 2 2 2 1 3 1 2 例 26 如图 点 P 在椭圆上 分别是椭圆的左 右焦点 过点 P 作 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F 椭圆右准线的垂线 垂足为 M 若四边形为菱形 12 PFF M 则椭圆 8 的离心率是 A B 2 2 3 2 C D 31 2 51 2 例 27 2010 年辽宁理 20 本小题满分 12 分 设椭圆 C 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直 22 22 1 0 xy ab ab 线 l 的倾斜角为 60o 求椭圆 C 的离心率 2AFFB 例 28 2010 年全国 2 12 已知椭圆C a b 0 的离心率为 过右焦点 22 22 1 xy ab 2 3 F且斜率k k 0 的直线与 C 相于 A B 亮点 若 3 则k AFFB A 1 B C D 223 3 3 焦点三角形焦点三角形 例 29 已知是的两个焦点 为椭圆上一点 且 求 12 F F 22 1 169 xy PC 12 5 cos 13 FPF 的面积 12 FPF 例 30 已知椭圆的左 右焦点分别为 为椭圆上的一动点 22 1 43 xy 12 F FP 9 1 求的取值范围 12 PF PF 2 求的取值范围 12 PF PF 例 31 设是椭圆上一动点 分别是左右两个焦点 则的最小值P 22 1 94 xy 12 F F 12 cosFPF 为 4 其他类型 例 32 已知椭圆的焦距是 4 则这个椭圆的焦点在 轴上 坐标是 22 2 1 2 xy aa 例 33 已知椭圆的左右焦点分别为 点在椭圆上 若是一个直角 22 1 169 xy 12 F FP 12 P F F 三角形的三个顶点 则点到轴的距离为 Px 例 34是过椭圆的左焦点的弦 且两端的横坐标之和为 则AB 22 1 4913 xy A B7 AB 例 35 椭圆的弦的中点为 则直线的方程是 22 24xy AB 1 1 MAB 10 三三 参考答案参考答案 1 以为焦点的椭圆或线段 12 F F 12 FF 2 6 2 6 2 7 2 3 B 4 B 5 D 6 11 3 2 22 7 B 8 当时 方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 0 4 当时 方程表示圆心在原点 半径为的圆 4 2 当时 方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 4 2 当 时 方程 表示两条平行直线 2 2 1y 当 时 方程表示焦点在 x 轴上的双曲线 2 9 5