2012年高考数学二轮限时训练 函数、导数及其应用3 理

用心 爱心 专心 1 第二部分 函数 导数及其应用 第二部分 函数 导数及其应用 3 3 限时 时间 45 分钟 满分 100 分 一 选择题一 选择题 1 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 则 函数 f x 在开区间 a b 内有极小值点的个数 为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析解析 从 f x 的图象可知 f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 在 a b 内只有一个极小值点 答案答案 A 2 2010 年广东高考 设 a R R 若函数 y eax 3x x R R 有大于零的极值点 则 A a 3 B a 3 解析解析 设 f x eax 3x 则 f x 3 aeax 若函数在 x R R 上有大于零的极值点 即 f x 3 aeax 0 有正根 当有 f x 3 aeax 0 成立时 显然有 a 0 由 x 0 得参数 a 的范围为 a 3 答案答案 B 3 2012 年福州二模 已知 f x 2x3 6x2 m m 为常数 在 2 2 上有最大值 3 那么 用心 爱心 专心 2 此函数在 2 2 上的最小值是 A 37 B 29 C 5 D 以上都不对 解析解析 f x 6x2 12x 6x x 2 f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 当 x 0 时 f x m 最大 m 3 从而 f 2 37 f 2 5 最小值为 37 答案答案 A 4 若函数 f x x3 3x a 有 3 个不同的零点 则实数 a 的取值范围是 A 2 2 B 2 2 C 1 D 1 解析解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 且当 x 1 时 f x 0 当 1 x 1 时 f x 0 当 x 1 时 f x 0 当 x 1 时 f x 有极大值 当 x 1 时 f x 有极小值 要使 f x 有 3 个不同的零点 答案答案 A 5 设 f x g x 是 R R 上的可导函数 f x g x 分别为 f x g x 的导函数 且 满足 f x g x f x g x 0 则当 a x b 时 有 A f x g b f b g x B f x g a f a g x C f x g x f b g b D f x g x f b g a 解析解析 令 y f x g x 则 y f x g x f x g x 由于 f x g x f x g x 0 用心 爱心 专心 3 所以 y 在 R R 上单调递减 又 x b 故 f x g x f b g b 答案答案 C 二 填空题二 填空题 6 已知函数 f x alnx x 在区间 2 3 上单调递增 则实数 a 的取值范围是 解析解析 f x aln x x 又 f x 在 2 3 上单调递增 a x max 2 a 2 答案答案 2 7 给出定义 若函数 f x 在 D 上可导 即 f x 存在 且导函数 f x 在 D 上也可导 则称 f x 在 D 上存在二阶导函数 记 f x f x 若 f x 0 在 D 上恒成立 则 称 f x 在 D 上为凸函数 以下四个函数在 0 上不是凸函数的是 把你认为 正确的序号都填上 f x sin x cos x f x ln x 2x f x x3 2x 1 f x xex 解析解析 对于 f x sin x cos x x 0 时 f x 0 恒成立 对于 f x 在 x 0 时 f x 0 恒成立 对于 f x 6x 在 x 0 时 f x 0 恒成立 用心 爱心 专心 4 对于 f x 2 x ex在 x 0 时 f x 0 恒成立 所以 f x xex不是凸函数 答案答案 8 将长为 52 cm 的铁丝剪成 2 段 各围成一个长与宽之比为 2 1 及 3 2 的矩形 那么 面积之和的最小值为 解析解析 设剪成 2 段中其中一段为 x cm 另一段为 52 x cm 依题意知 令 S 0 则 x 27 另一段为 52 27 25 此时 Smin 78 答案答案 78 三 解答题三 解答题 9 2011 年福州模拟 甲乙两地相距 400 千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超 过 100 千米 小时 已知该汽车每小时的运输成本 P 元 关于速度 v 千米 小时 的函数关系 是 P 1 求全程运输成本 Q 元 关于速度 v 的函数关系式 2 为使全程运输成本最少 汽车应以多少速度行驶 并求此时运输成本的最小值 解析解析 用心 爱心 专心 5 令 Q 0 则 v 0 舍去 或 v 80 当 0 v 80 时 Q 0 当 80 v 100 时 Q 0 v 80 时 全程运输成本取得极小值 即最小值 从而 Qmin Q 80 元 10 某造船公司年造船量是 20 艘 已知造船 x 艘的产值函数为 R x 3 700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数为 C x 460 x 5 单位 万元 又在经济学中 函数 f x 的边际函数 Mf x 定义为 Mf x f x 1 f x 1 求利润函数 P x 及边际利润函数 MP x 提示 利润 产值 成本 2 问年造船量安排多少艘时 可使公司造船的年利润最大 3 求边际利润函数 MP x 的单调递减区间 并说明单调递减在本题中的实际意义是什 么 解析解析 1 P x R x C x 10 x3 45x2 3 240 x 5 x N N 且 1 x 20 MP x P x 1 P x 30 x2 60 x 3 275 x N N 且 1 x 19 2 P x 30 x2 90 x 3 240 30 x 12 x 9 x 0 P x 0 时 x 12 当 0 x0 当 x 12 时 P x 0 x 12 时 P x 有最大值 即年造船量安排 12 艘时 可使公司造船的年利润最大 3 MP x