2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 空间向量及其运算1

用心 爱心 专心 1 空间向量及其运算空间向量及其运算 教学目标 1 理解空间向量的概念 掌握空间向量的加法 减法和数乘运算 2 掌握共线向量 共面向量定理 了解有关概念 教学过程 一 复习 1 平面向量的概念 2 平面向量的加减和数乘运算 二 授新课 1 空间向量的概念 在空间 我们把具有大小和方向的量叫做向量 注 空间的平移就是一个向量 平移实际就是点到点的一次变换 因此我们说空间 任意两个向量是共面的 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2 空间向量的运算 总结论 空间向量的加法 减法 数乘向量的定义与平面向量的运算一样 ABOAOB a a b b OAOBAB 指向被减向量 OP a a R 运算律 加法交换律 abba 加法结合律 cbacba 数乘分配律 baba 说明 空间向量加法的运算律要注意以下几点 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起点指向末 尾向量的终点的向量 即 nnn AAAAAAAAAA 11433221 因此 求空间若干向量之和时 可通过平移使它们转化为首尾相接的向量 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形 则它们的和为 零向量 即 0 11433221 AAAAAAAAAA nnn 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 因此 求始点相同的两个向量之和时 可以考虑用平行四边 形法则 用心 爱心 专心 2 a a A A B B C C O O l 例 已知平行六面体 DCBAABCD 如图 化简下列向量表达式 并标出化简结果的 向量 BCAB AAADAB 2 1 CCADAB 3 1 AAADAB 解 解 ACBCAB AAADAB CAAAAC 设 M 是线段CC 的中点 则AMCMACCCADAB 2 1 设 G 是线段CA 的三等份点 则AGCAAAADAB 3 1 3 1 向量向量AGAMCAAC 如图所示 如图所示 说明 由第 2 小题可知 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个 向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量 这是平面向量加法的平 行四边形法则向空间的推广 3 共线向量 平行向量 1 概念 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这些向量叫做共 线向量或平行向量 a a 平行于 b b 记作 a a b b 2 共线向量定理 对空间任意两个向量 a a b b b b 0 0 a a b b 的充要条件是存在实数 使 a a b b 推论 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知向量 a a 的直线 那么对任一点 O 点 P 在直 线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OPOAt a a 其中向量 a a 叫做直线 l 的方向向量 注 对 l 上任一点 P 满足 式的实数 t 是唯一的 反过来 对一个实数 t 式在 l 上确定的 P 是唯一的 即直线 l 上的点和实数 t 是一一对应的 在 l 上取AB a a 时 则 式可化为 OPOAt AB 或OP 1 t OAtOB OByOAxOP 且 x y 1 当 1 2 t 时 点 P 是线段 AB 的中点 则 1 OP 2 OAOB 或 式都叫做空间直线的向量参数方程空间直线的向量参数方程 是线段 AB 的中点公式 它们与平面直线 的向量参数方程和线段中点公式相同 用心 爱心 专心 3 a OA a B b b P p p A O O M A a a A B C O E F H G 4 共面向量 1 概念 已知平面 与向量a 作OAa 如 果直线 OA 平行于平面 或a 在 内 那么我们说向量 a 平行于平面 记作a 通常我们把平行于同一平面的向量 叫做共面向量 说明 空间任意两个向量总是共面的 空间任意三个向量不一定共面 空间四边形 ABCD 中AB AC AD 不共面 2 共面向量定理 如果两个向量a b 不共线 则向量p 与向量a b 共面的充要条件是 存在实数对 x y 使p xa yb 证明 如果向量p 与向量a b 共面 根据平面向量的基本定理 一定存在实数对 x y 使p xa yb 反之 如果存在实数对 x y 使p xa yb 对空间任一点 M 作 MA a MB b MA xa 过点 A 作 A P yb 则MP p xa yb 于是点 P 在平面 MAB 内 向量p 平面 MAB 即向量p 与a b 共面 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是 存在有序实数对 x y 使MP xMA yMB 或对空间任一点 O 有OP OM xMA yMB 可以证明平面 MAB 内 点 P 对应的实数对 x y 是唯一的 式叫做平面 MAB 的向量 表达式 例 2 对空间任一点 O 和不共线的三点 A B C 试问满足向量关系式 OP xOA yOB ZOC 其中 x y z 1 的四点 P A B C 是否共面 解 原式可变形为 OP 1 y z OA yOB ZOC OP OA y OB OA Z OC OA APyABzAC 用心 爱心 专心 4 点 P 与 A B C 共面 例 3 已知平行四边形 ABCD 从平面 AC 外一点 O 引向量OE kOA OF kOB OG k OC OH kOD 求证 四点 E F G H 共面 平面 EG 平面 AC 证明 略 三 小结 1 1 空间向量 空间向量 用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 空间的两个 向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2 2 空间向量的运算 空间向量的运算 ABOAOB a a b b OAOBAB 指向被减向量 OP a a R 运算律 加法交换律 abba 加法结合律 cbacba 数乘分配律 baba 3 3 共线向量 平行向量 的概念及空间向量共线的充要条件共线向量 平行向量 的概念及空间向量共线的充要条件 对空间任意两个向量 a a b b b b 0 0 a a b b 的充要条件是存在实数 使 a a b b 推论 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知向量 a a 的直线 那么对任一点 O 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OPOAt a a 其中向量 a a 叫做直线 l 的方向向量 OPOAt AB 或OP 1 t OAtOB 或 OByOAxOP 且 x y 1 当 1 2 t 时 点 P 是线段 AB 的中点 则 1 OP 2 OAOB 或 式都叫做空间直线的向量参数方程空间直线的向量参数方程 是线段 AB 的中点公式 它们与平面直线的向 量参数方程和线段中点公式相同 4 4 共面向量 共面向量 a 空间任意两个向量总是共面的 空间任意三个向量不一定共面 空间四边形 ABCD 中AB AC AD 不共面 5 5 向量共面的充要条件 向量共面的充要条件 如果两个向量a b 不共线 则向量p 与向量a b 共面的充要条 件是 存在实数对 x y 使p xa yb 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x y 使MP xMA y 用心 爱心 专心 5 B A C D G A A C B D B C D P S R Q MB 或对空间任一点 O 有OP OM xMA yMB