江苏省某学校2012届高三数学学情调研卷

专心 爱心 用心 1 江苏省江苏省 20122012 届高三年级学情调研卷数学届高三年级学情调研卷数学 注意事项 注意事项 1 本试卷共 4 页 包括填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 两部 分 本试卷满分为 160 分 考试时间为 120 分钟 2 答题前 请务必将自己的姓名 学校 班级 学号写在答卷纸的密封线内 试题的 答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内 考试结束后 交回答卷纸 参考公式 参考公式 椎体的体积公式为V Sh 其中S是椎体的底面积 h是椎体的高 1 3 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 请把答案填写在答卷纸相应位置分 请把答案填写在答卷纸相应位置 上 上 1 命题 x R R x2 2x 1 0 的否定是 2 已知直线l经过点P 2 1 且与直线 2x 3y 1 0 垂直 则l的方程是 3 设复数z满足 z 1 i 1 i 其中 i 是虚数单位 则复数z的模是 4 某工厂生产某种产品 5000 件 它们来自甲 乙 丙 3 条不同的生产线 为检查这批产 品的质量 决定采用分层抽样的方法进行抽样 若从甲 乙 丙三条生产线抽取的件数 之比为 1 2 2 则乙生产线生产了 件产品 5 有四条线段 其长度分别为 2 3 4 5 现从中任取三条 则以这三条线段为边可以构 成三角形的概率是 6 阅读右面的流程图 若输入x的值为 8 则输出 y的值是 7 设函数f x 的定义域为集合A 3 2x x2 则集合A Z Z 中元素的个数是 8 已知函数f x 是 R R 上的奇函数 且当x 0 时 f x x 则f 4 的值是 开始 输入 x x 0 y log2x 输出 y 结束 y 2x NY 第 6 题图 专心 爱心 用心 2 9 ABC中 A B C所对的边分别为a b c 且满足csinA acosC 则角C 10 在等比数列 an 中 若a1 a4 4 则 a1 a2 a6 1 2 11 已知a a b b均为单位向量 若 a a 2b b 则向量a a b b的夹角等于 7 12 如图 用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒 那么这个圆锥筒的容积是 13 已知抛物线y2 4x的焦点为F 准线为l 过点F作倾斜角为 60 的直线与抛物线在第 一象限的交点为A 过A作l的垂线 垂足为A1 则 AA1F的面积是 14 在平面直角坐标系xOy中 若直线y kx 1 与曲线y x x 有四个公 1 x 1 x 共点 则实数k的取值范围是 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 9090 分 请在答卷纸指定区域内作答 解答时应写出文字分 请在答卷纸指定区域内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知函数f x 2sinxcosx 2sin2x 3 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数f x 在区间 上的最大值和最小值 6 4 第 12 题图 专心 爱心 用心 3 16 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 点D E分别在边BC B1C1上 CD B1E AC ACD 60 求证 1 2 1 BE 平面AC1D 2 平面ADC1 平面BCC1B1 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心在坐标原点O 右焦点为F 若C的右 准线l的方程为x 4 离心率e 1 求椭圆C的标准方程 2 设点P为直线l上一动点 且在x轴上方 圆M经过O F P三点 求当圆心M到x轴的距离 最小时圆M的方程 x y O l F P 第 17 题图 C1 A B C E A1 B1 D 第 16 题图 专心 爱心 用心 4 18 本小题满分 16 分 经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送 满载 到相距 400km 的水果批发市场 据 测算 J型卡车满载行驶时 每 100km 所消耗的燃油量u 单位 L 与速度v 单位 km h 的 关系近似地满足u 除燃油费外 人工工资 车损等其他费用平均每小时 300 元 已知 燃油价格为每升 L 7 5 元 1 设运送这车水果的费用为y 元 不计返程费用 将y表示成速度v的函数关系式 2 卡车该以怎样的速度行驶 才能使运送这车水果的费用最少 19 本小题满分 16 分 已知函数f x x2 1 2a x alnx a为常数 1 当a 1 时 求曲线y f x 在x 1 处切线的方程 2 当a 0 时 讨论函数y f x 在区间 0 1 上的单调性 并写出相应的单调区 间 20 本小题满分 16 分 设等差数列 an 的前n项和是Sn 已知S3 9 S6 36 1 求数列 an 的通项公式 2 是否存在正整数m k 使am am 5 ak成等比数列 若存在 求出m和k的值 若不存在 说明理由 专心 爱心 用心 5 3 设数列 bn 的通项公式为bn 3n 2 集合A x x an n N N B x x bn n N N 将集合A B中的元素从小到大依次排列 构成数列 c1 c2 c3 求 cn 的通项公式 20122012 届高三年级学情调研卷届高三年级学情调研卷 数学附加题数学附加题 注意事项 注意事项 1 附加题供选修物理的考生使用 2 本试卷共 40 分 考试时间 30 分钟 3 答题前 考生务必将自己的姓名 学校 班级 学号写在答卷纸的密封线内 试题的 答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内 考试结束后 交回答卷纸 2121 选做题选做题 在在 A A B B C C D D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 2 题 每小题题 每小题 1010 分 共分 共 2020 分 分 请在答卷纸请在答卷纸 指定区域内指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A A 选修 选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 AB为圆O的直径 D为圆O上一点 过D作圆O的切线交AB的延长线于点C 若 DA DC 求证 AB 2BC B B 选修 选修 4 4 2 2 矩阵与变换 矩阵与变换 已知矩阵A A 在平面直角坐标系中 设直线l 2x y 7 0 在矩阵A A对应的 m0 1n 变换作用下得到另一直线l 9x y 91 0 求实数m n的值 C C 选修 选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 C B A 第 21 1 图 D O 专心 爱心 用心 6 在极坐标系中 已知直线l cos 圆C 4cos 求直线l被圆C截 4 3 22 得的弦长 D D 选修 选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 解不等式 2x 1 3x 1 必做题必做题 第第 2222 题 第题 第 2323 题 每题题 每题 1010 分 共分 共 2020 分 分 请在答卷纸指定区域内请在答卷纸指定区域内作答 解答应作答 解答应 写出文字说明 证明过程或演算步骤 写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 一个口袋中装有大小和质地都相同的白球和红球共 7 个 其中白球个数不少于红球 个数 依次从口袋中任取一球 如果取到红球 那么继续取球 且取出的红球不放回 如果 取到白球 就停止取球 记取球的次数为随机变量X 若P X 2 2 7 1 求口袋中的白球个数 2 求 X的概率分布与数学期望 23 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点P Q R分别是棱AB CC1 D1A1 的中点 1 求证 B1D 平面PQR 2 设二面角B1 PR Q的大小为 求 cos 专心 爱心 用心 7 B1 D1 A1 C1 B D A C P R Q 20122012 年届高三年级学情调研卷数学答案年届高三年级学情调研卷数学答案 一 填空题 每小题 5 分 共 70 分 1 012 2 xxRx 2 0423 yx 3 5 4 2000 5 4 3 6 3 7 5 8 2 9 4 10 2 63 11 3 12 3 3 13 34 14 8 1 0 8 1 二 解答题 15 本题满分 14 分 解 1 1sin212sin3 2 xxxf12cos2sin3 xx 1 6 2sin 2 x 函数 xf的最小正周期 2 2 T 8 分 2 4 6 x 3 2 6 6 2 x 于是 当 66 2 x 即 6 x时 xf取得最小值2 当 26 2 x 即 6 x时 xf取得最小值1 14 分 16 本题满分 14 分 证明 1 由三棱柱ABC是直三棱柱 得 11 CBBC 因为点ED 分别边 11 CBBC上 EBCD 1 所以 ECBD 1 ECBD 1 所以 四边形EBDC1是平行四形 所以 DCBE 1 专心 爱心 用心 8 因为 DACDC 11 平面 DACBE 1 平面 所以 DACBE 1 平面 2 由三棱柱 111 CBAABC 是直三棱柱 得ABCCC平面 1 因为ABCAD平面 所以 1 CCAD 在ACD 中 由 ACCD 2 1 60 ACD 得ACCDACCDACAD 2 3 60cos2 22 所以 222 ACCDAD 所以 90 ADC 即 BCAD 因为 11B BCCBC平面 111 BBCCCC平面 CCCBC 1 所以 11B BCCAD平面 因为 1 ADCAD平面 所以 111 BBCCADC平面平面 17 本题满分 14 分 解 1 由题意 设椭圆 C 的标准方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 则 222 2 2 2 4 cba a c c a 得 22 a 4 b 2 c 所以所求椭圆 C 的方程为1 48 22 yx 2 方法一 由 1 知 0 2 F 由题意可设 4 tP 0 t 线段OF的垂直平分线方程为1 x 因为线段FP的中心为 2 3 t 斜率为 2 t 所以线段FP的垂直平分线方程为 3 2 2 x t t y 专心 爱心 用心 9 即 2 52t t x t y 联立 解得 t t y x 4 2 1 即 圆心 4 2 1 t t M 因为0 t 所以22 4 2 2 4 2 t t t t 当且仅当 t t4 2 即 22 t时 圆心M到x轴的距离最小 此时圆心为M 22 1 半径为3 OM 故所求圆M的方程为9 22 1 22 yx 方法二 由 1 知 F 2 0 由题可设M的方程为0 22 EyDxyx 将点 F P 的坐标代入得 0416 024 2 tEDt D 解得 8 2 t tE D 所以圆心的坐标为 2 2 ED 即 4 2 1 t t M 因为0 t 所以22 4 2 2 4 2 t t t t 当且仅当 t t4 2 即 22 t时 所以圆心M到x轴的距离最小 此时24 E 故所求圆M的方程为 0242 22 yxyx 18 本题满分 16 分 解 由 1 题意 当500 v时 vvv uy 400 300 23 100 30 400 300 100 400 5 7 690 123000 v 当50 v时 v v v uy 400 300 20 500 30 400 300 100 400 5 7 2 600 120000 50 3 2 v v 专心 爱心 用心 10 所以 50 600 120000 50 3 50 0 690 123000 2 v v v v v y 8 分 2 当500 v时 690 123000 v y是单调减函数 故50 v时 y取得最小值3150690 50 123000 min y 当50 v时 600 120000 50 3 2 v v y 50 v 由0 25 10 3120000 25 3 2 63 v v v v y 得 100 v 当10050 v时 0 y 函数600 120000 50 3 2 v v y单调递增 所以当100 v时 y取得最小值2400600 100 120000 50 1003 2 min y 由于 24003150 所以当100 v时 y取得最小值 答 当卡车以hkm 100的速度驶时 运送这车水果的费用最少 19 本题满分 16 分 解 1 当1 a时 xxxxfln 2 则 x xxf 1 12 所以 2 1 f 且 2 1 f 所以曲线 xfy 在1 x处的切线的方程为 1 22 xy 即 xy2 2 由题意得 x a axxf 21 2 0 12 21 2 2 x x axx x axax 由 0 x f得axx 21 2 1 当 2 1 0 a时 由0 x f 又知 0 x得ax 0或1 2 1 x 由0 x f 又知 0 x 得 2 1 xa 专心 爱心 用心 11 所以函数 xf的单调增区间是 0 a和 1 2 1 单调减区间是 2 1 a 当 2 1 a时 0 2 12 2 x x xf 且仅当 2 1 x时 0 x f 所以函数 xf在区间 1 0 上是单调增函数 当1 2 1 a时 由0 x f 又知 0 x得 2 1 0 x或1 xa 由0 x f 又知 0 x 得ax 2 1 所以函数 xf的单调增区间是 2 1 0 和 1 a 单调减区间是 2 1 a 当1 a时 由0 x f 又知 0 x得 2 1 0 x 由0 x f 又知 0 x 得1 2 1 x 所以函数 xf的单调增区间是 2 1 0 单调减区间是 1 2 1 20 解 1 设等差数列 n a的公差是d 由9 3 S和36 6 S 得 36156 933 1 1 da da 得 2 1 1 da 12 1 1 ndnaan 即 等差数列 n a的通项公式为12 nan 3 分 2 kmm aaa 5 成等比数列等价于 2 92 12 12 mkm 等价于 12 100 2012 12 1012 12 92 12 22 m m m m m m k 即 12 50 10 m mk km 是正整数 7 分 所以存在正整数km 使 kmm aaa 5 成等比数列 m和k的值是61 1 km 或23 1 km 或 25 13 km 9 分 3 因为 561 23 2 23 kka k 361 13 2 13 kka k 16132 3 kka k 2312 562 12 3 kk akkb Akkb k 26223 2 12 分 专心 爱心 用心 12 所以 kkkkk ababa 32131223 3 2 1 k 14 分 即 当 34 Nkkn时 56 kcn 当24 kn Nk 36 kcn 当 14 Nkkn时 26 kcn 当 4 Nkkn时 16 kcn 所以 n c的通项公式是 knk knk knk knk cn 4 16 14 26 24 36 34 56 即 kn n kn n kn n cn 4 2 23 24 2 3 12 2 13 16 分 专心 爱心 用心 13 20122012 届高三年级学情调研卷届高三年级学情调研卷 数学附加题数学附加题 参考答案参考答案 2121 A A 选修 选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 证明 连结OD 因为DC是圆O的切线 所以DCOD 因为DCDA 记 A 则 AC 又 22 OADODAOADDOC 在ODC 中 903 DCODOC 所以 30 所以 OBBC 所以 BCAB2 B B 选修 选修 4 4 2 2 矩阵与变换 矩阵与变换 解 设 00 yx是直线l上任一点 点 00 yx在矩阵A对应的变换作用下变为 yx 则 00 0 0 0 1 0 nyx mx y x n m y x 所以 00 0 nyxy mxx 因为点 yx 在直线 l 0919 yx上 所以 0919 yx 将 00 0 nyxy mxx 代入上式得 091 9 000 nyxmx 即 091 19 00 nyxm 因为点 00 yx在直线l 072 yx上 所以 072 00 yx 所以 091 19 nyxm和072 yx表示同一条直线 C B A 第 21 1 图 D O 专心 爱心 用心 14 所以 13 7 91 12 19 nm 得 13 3 nm C C 选修 选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解 直线l的极坐标方程可化为3sincos 化为直角坐标方程 03 yx 圆 C cos4 化为直角坐标方程为 xyx4 22 即 4 2 22 yx 因为圆心 C 2 0 到直线l的距离 2 1 d 所以弦长为14 2 1 22 22 D D 选修 选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 解 不等式 2x 1 3x 1 同解于 1312 012 xx x 或 1312 012 xx x 解得 2 1 x或 2 1 0