广东省2013年高考数学第二轮复习 专题一 常以客观题形式考查的几个问题第3讲 不等式、线性规划 理

1 专题一专题一 常以客观题形式考查的几个问题第常以客观题形式考查的几个问题第 3 3 讲讲 不等式 线性规划不等式 线性规划 真题试做真题试做 1 2012 重庆高考 理 2 不等式 0 的解集为 x 1 2x 1 A B 1 2 1 1 2 1 C 1 D 1 1 2 1 2 2 2012 大纲全国高考 理 9 已知x ln y log52 z e 则 1 2 A x y z B z x y C z y x D y z x 3 2012 广东高考 理 5 已知变量x y满足约束条件Error 则z 3x y的最大值为 A 12 B 11 C 3 D 1 4 2012 重庆高考 理 10 设平面点集A Error B x y x 1 2 y 1 2 1 则A B所表示的平面图形的面积为 A B C D 3 4 3 5 4 7 2 5 2012 江苏高考 13 已知函数f x x2 ax b a b R R 的值域为 0 若 关于x的不等式f x c的解集为 m m 6 则实数c的值为 考向分析考向分析 通过高考试卷可分析出 在不等式中 主要热点是线性规划知识 均值不等式及解不等 式 单纯对不等式的性质考查并不多 解不等式主要涉及一元二次不等式 简单的分式不等 式 对数和指数不等式等 并且以一元二次不等式为主 重在考查等价转化能力和基本的解 不等式的方法 均值不等式的考查重在对代数式的转化过程及适用条件 等号成立条件的检 验 常用来求最值或求恒成立问题中参数的取值范围 线性规划问题是高考的一个必考内容 主要还是强调用数形结合的方法来寻求最优解的过程 体现了数学知识的实际综合应用 不 等式知识的考查以选择题 填空题为主 也蕴含在解答题中 题目难度为中低档 但考查很 广泛 需引起重视 热点例析热点例析 热点一 不等式的性质及应用 例 1 1 设 0 a b 则下列不等式中正确的是 A a b B a b ab a b 2ab a b 2 C a b D a b ab a b 2ab a b 2 2 某车间分批生产某种产品 每批的生产准备费用为 800 元 若每批生产x件 则平 均仓储时间为 天 且每件产品每天的仓储费用为 1 元 为使平均到每件产品的生产准备费 x 8 用与仓储费用之和最小 每批应生产产品 A 60 件 B 80 件 C 100 件 D 120 件 规律方法规律方法 1 弄清每一个不等式性质的条件和结论 注意条件的变化对结论的影响 2 判断不等式是否成立时 常利用不等式的性质 基本不等式 函数的单调性等知识 以及特殊值法 3 应用基本不等式求最值时一定要注意基本不等式成立的条件 必要时需要对相关的 2 式子进行变形 构造常数等以符合基本不等式应用的条件 此外还要特别注意等号成立的条 件 以确保能否真正取得相应的最值 变式训练变式训练 1 1 已知 log2 a log2 b 1 则 3a 9b的最小值为 热点二 不等式的解法 例 2 已知不等式ax2 3x 6 4 的解集为 x x 1 或x b 1 求a b 2 解不等式 0 c为常数 x c ax b 规律方法规律方法 1 解一元二次不等式的基本思路 先化为一般形式ax2 bx c 0 a 0 再求相应一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根 最后根据相应二次函数图象与x轴的位 置关系 确定一元二次不等式的解集 2 解简单的分式 指数 对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式 一 般为一元二次不等式 求解 3 解含 f 的不等式 首先要确定f x 的单调性 然后根据单调性进行转化 求解 4 解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类 关键是找到对参数进行讨论的原 因 确定好分类标准 从而层次清晰地求解 变式训练变式训练 2 2 已知f x Error 则f x 1 的解集为 A 1 0 B 1 0 1 1 C 1 0 1 D 1 0 0 1 热点三 线性规划问题 例 3 1 在直角坐标平面上 不等式组Error 所表示的平面区域的面积为 则t的值 5 2 为 A 或 B 5 或 1 33 C 1 D 3 2 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组Error 给定 若M x y 为D上的动 点 点A的坐标为 1 则z 的最大值为 2 OM OA A 4 B 3 C 4 D 3 2 2 规律方法规律方法 1 线性规划问题的三种题型 一是求最值 二是求区域面积 三是知最优解或可行域确定参数的值或取值范围 2 解答线性规划问题的步骤及应注意的问题 解决线性规划问题首先要作出可行域 再注意目标函数所表示的几何意义 数形结合找 到目标函数达到最值时可行域的顶点 或边界上的点 但要注意作图一定要准确 整点问题 要验证解决 变式训练变式训练 3 3 不等式组Error 表示的是一个直角三角形围成的平面区域 则k 思想渗透思想渗透 1 分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时 需要把研究对象按某个标准 分类 然后对每一类分别研究得出结论 最后综合各类结果 得到整个问题的解答 实质上 分类讨论是 化整为零 各个击破 再积零为整 的解题策略 2 本部分内容中分类讨论常见题型 1 由数学运算要求引起的分类讨论 2 由参数的变化引起的分类讨论 3 常见误区 利用均值不等式求最值容易忘记等号成立的条件 典型例题 设不等式组Error 表示的平面区域为D 若指数函数y ax的图象上存在区域 D内的点 则a的取值范围是 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 3 解析 作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示 由Error 得交点A 2 9 对于y ax的图象 当 0 a 1 时 没有点在区域D内 当a 1 时 y ax的图象恰好经过A点时 由a2 9 得a 3 由题意知 需满足a2 9 解得 1 a 3 答案 A 1 2012 广州金山中学模拟 理 6 已知f x Error 则f f x 1 的解集是 A B 4 22 C 1 4 D 4 22 2 设x y满足约束条件Error 若目标函数z ax by a 0 b 0 的最大值为 12 则 的最小值为 2 a 3 b A B C D 4 25 6 8 3 11 3 3 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载 重量为 6 吨的乙型卡车 某天需运往A地至少 72 吨的货物 派用的每辆车需满载且只运送 一次 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人 运送一次可得利润 450 元 派用的每辆乙型卡车 需配 1 名工人 运送一次可得利润 350 元 该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数 可 得最大利润z A 4 650 元 B 4 700 元 C 4 900 元 D 5 000 元 4 2012 广东中山外校模拟 理 12 设函数f x x 对任意x 1 f mx 1 x mf x 0 恒成立 则实数m的取值范围是 5 设x y为实数 若 4x2 y2 xy 1 则 2x y的最大值是 6 已知函数f x ax3 x2 cx d a c d R R 满足f 0 0 f 1 0 且f x 1 3 1 4 0 在 R R 上恒成立 1 求a c d的值 2 若h x x2 bx 解不等式f x h x 0 3 4 b 2 1 4 参考答案参考答案 命题调研命题调研 明晰考向明晰考向 真题试做真题试做 1 A 解析 解析 不等式可化为Error 解不等式组得 x 1 故选 A 1 2 2 D 解析 解析 x ln 1 y log52 log5 5 1 2 z 且 e0 1 y z x 1 2 e 1 e 1 4 1 2 1 2 e 3 B 解析 解析 由约束条件作出可行域 如图 4 可得最优解Error 即Error zmax 3 3 2 11 4 D 解析 解析 不等式 y x 0 可化为Error 或Error 集合B表示圆 x 1 2 y 1 y 1 x 2 1 上以及圆内部的点所构成的集合 A B所表示的平面区域如图所示 由线y 圆 1 x x 1 2 y 1 2 1 均关于直线y x对称 所以阴影部分占圆面积的一半 故选 D 5 9 解析 解析 f x x2 ax b的值域为 0 a2 4b 0 又 f x c的解集为 m m 6 即x2 ax b c 0 的解集为 m m 6 m m 6 是对应方程x2 ax b c 0 的两个根 Error 由 得 a2 4m2 24m 36 由 得 4b 4c 4m2 24m 由 可得 4m2 24m 36 4m2 24m 4c 解得c 9 精要例析精要例析 聚焦热点聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 1 B 解析 解析 由a b 排除 A D a2abb2 又 b 排除 C 选 B a b 2 b b 2 2 B 解析 解析 由题意得平均每件产品生产准备费用为元 800 x 仓储费用为 元 得费用和为 2 20 元 x 8 800 x x 8 800 x x 8 当 时 即x 80 时等号成立 800 x x 8 变式训练 1 18 解析 解析 3a 0 9b 32b 0 根据基本不等式得 3a 9b 2 2 3a 9b3a 2b log2a log2 b 1 有a 0 b 0 log2 ab 1 ab 2 再由基本不等式得a 2b 2 2 2 4 a 2b2ab2 2 当且仅当a 2b 2 即a 2 b 1 时等号成立 2 2 18 3a 2b34 当a 2 b 1 时 3a 9b取得最小值 18 例 2 解 解 1 由题知 1 b为方程ax2 3x 2 0 的两根 即Error 解得Error 2 不等式等价于 x c x 2 0 当c 2 时 解集为 x x c或x 2 当c 2 时 解集为 x x 2 或x c 当c 2 时 解集为 x x 2 x R R 变式训练 2 B 解析 解析 当x 0 时 f x 1 2x 1 x2 2x 1 x2 即x2 2x 1 0 解得x 0 且x 1 5 当x 0 时 f x 1 即 x 1 解得x 1 1 x 故x 1 0 1 1 选 B 例 3 1 C 解析 解析 不等式组Error 所表示的平面区域如图中阴影部分所示 由Error 解得交点B t t 2 在y x 2 中 令x 0 得y 2 即直线y x 2 与y轴的交点为C 0 2 由平面区域的面积S 得t2 4t 5 0 解得t 1 或t 5 不 2 t 2 t 2 5 2 合题意 舍去 故选 C 2 C 解析 解析 z x y 1 x y OM OA 22 由Error 画出可行域 如图中阴影部分所示 作直线l0 y x 平移直线l0至l1的位置时 z取得最大值 此时l1过点 2 22 故zmax 2 4 22 变式训练 3 0 或 解析 解析 如图 在平面直角坐标系中画出对应的平面区域 要 1 2 使不等式组表示的区域是一个直角三角形 应使其中的两条边界直线垂直 当直线 y kx 1 与直线x 0 垂直 即在图中l1的位置时 围成的区域是直角三角形AOB 这时 k 0 当直线y kx 1 与直线y 2x垂直 即在图中l2的位置时 围成的区域是直角三角 形ACO 此时k 故k的值等于 0 或 1 2 1 2 创新模拟创新模拟 预测演练预测演练 1 D 解析 解析 f x Error f x 0 f f x Error 当x 0 时 1x 4 x 4 当x 0 时 1x 或x 舍去 x2 2 22 综上 x 4 2 2 A 解析 解析 不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示 6 当直线ax by z a 0 b 0 过直线x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 目标函数z ax by a 0 b 0 取得最大值 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 2 当 2 a 3 b 2 a 3 b 2a 3b 6 13 6 b a a b 13 6 25 6 且仅当a b时等号成立 故选 A 3 C 解析 解析 由题意设派用甲型 乙型卡车的数量分别为x y 则利润z 450 x 350y 得约束条件Error 画出可行域可知目标函数在直线x y 12 和 直线 2x y 19 的交点 7 5 处取得最大值 故最大利润为 450 7 350 5 4 900 元 4 1 解析 解析 因为对任意x 1 f mx mf x 2mx 0 恒 1 mx m x 成立 所以当m 0 时 有 2m2x2 1 m2 0 对任意x 1 恒成立 即 2m2 1 1 m2 0 解得m2 1 即m 1 当m 0 时 有 2m2x2 1 m2 0 对任意 x 1 恒成立 m无解 综上所述实数m的取值范围是m 1 5 解析 解析 设 2x y m 则y m 2x 代入 4x2 y2 xy 1 得 2 10 5 6x2 3mx m2 1 0 由 9m2 24 m2 1 0 得m2 所以 m 所以 8 5 2 10 5 2 10 5 2x y的最大值为 2 10 5 6 解 解 1 f 0 0 d 0 f x ax2 x c f 1