2013-2017高考数学真题分类第12章-计数原理

1 第十二章计数原理 第 1 节两个基本计数原理 题型 135 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 2013 重庆理 13 从 名骨科 名脑外科和 名内科医生中选派 人组成一个抗震救灾医疗小组 则骨科 3455 脑外科和内科医生都至少有 人的选派方法种数是 用数字作答 1 2 2013 四川理 8 从这五个数中 每次取出两个不同的数分别为 共可得1 3 5 7 9 a b 到的不同值的个数是 lglgab A B C D 9101820 3 2013 福建理 5 满足 且关于 的方程有实数解的有序数对的个数为 2 1 0 1 bax02 2 bxax A B C D 14131210 4 2014 福建理 10 用 代表红球 代表蓝球 代表黑球 由加法原理及乘法原理 从 个红abc1 球和 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来 如 1 ba 11abba 1 表示一个球都不取 表示取出一个红球 而 用表示把红球和蓝球都取出来 依此类推 下1aab 列各式中 其展开式可用来表示从 个无区别的蓝球 个有区别的黑球中取出若干个球 且所有的55 蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 A 5 55432 111cbaaaaa B 5 54325 111cbbbbba C 55432 5 111cbbbbba D 5432 5 5 111cccccba 5 2014 大纲理 5 有 名男医生 名女医生 从中选出 名男医生 名女医生组成一个医疗小6521 组 则不同的选法共有 A 种 B 种 C 种 D 种607075150 6 2014 浙江理 14 在 张奖券中有一 二 三等奖各 张 其余 张无奖 将这 张奖券分配给8158 个人 每人 张 不同的获奖情况有 种 用数字作答 42 2 7 2015 广东理 8 若空间中 个不同的点两两距离都相等 则正整数 的取值 nn A 至多等于 B 至多等于 C 等于 D 大于 3455 7 解析解析正四面体的四个顶点两两距离相等 即空间中 个不同的点两两距离都相等 则 n 正整数 可以等于 4 而且至多等于 4 假设可以等于 5 则不妨先取出其中 4 个点 为 n AB 则构成一个正四面体的四个顶点 设第 5 个点为点 则点和点 CDABCDEEAB 也要构成一个正四面体 此时点要么跟点重合 要么点和点关于平面对称 但 CEDEDABC 此时的长又不等于 故矛盾 故选 B DEAB 8 2016 全国甲理 5 如图所示 小明从街道的E处出发 先到F处与小红会合 再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓 可以选择的最短路径条数为 A 24 B 18 C 12 D 9 8 B 解析解析从 EF 的最短路径有6种走法 从 F G 的最短路径有3种走法 由乘法原理知 共 6318 种走法 故选 B 9 2016 上海理 13 设 a b R 0 2 c 若对任意实数x都有 2sin 3sin 3 xabxc 则满足条件的有序实数组 a b c 的组数为 9 解析解析 当 2a 时 若 3b 则 5 3 c 若 3b 则 4 3 c 当 2a 时 若 3b 则 3 c 若 3b 则 2 3 c 共4组 故填4 评注评注或者如此考虑 当 a b确定时 c 也唯一确定 因此有2 24 种组合 10 2107 浙江 16 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人 副队长 1 人 普通队员 2 人组成 4 人 服务队 要求服务队中至少有 1 名女生 共有种不同的选法 用数字作答 10 解析解析解法一 间接法 解法一 间接法 分 2 步完成 第一步 8 名学生中选 4 人 至少有 1 名女生 即 8 名 学生中任选 4 人去掉全是男生的情况有种选法 44 86 CC 第二步 分配职务 4 人里选 2 人担任队长和副队长有种选法 2 4 A 所以共有种选法 442 864 CCA70 1512660 3 解法二 直接法 解法二 直接法 分 2 步完成 第一步 8 名学生中选 4 人 至少有 1 名女生 其中 1 女 3 男有 种选法 2 女 2 男有种选法 13 26 C C 22 26 C C 第二步 分配职务 4 人里选 2 人担任队长和副队长有种选法 2 4 A 所以共有种选法 13222 26264 C CC CA2201 1512660 第 2 节排列与组合 题型 136 与排列相关的常见问题 1 2013 浙江理 14 将六个字母排成一排 且均在的同侧 则不同的排法FEDCBA BA C 共有 种 用数字作答 2 2013 山东理 10 用 十个数字 可以组成有重复数字的三位数的个数为 01 9 A B C 261 D 243252279 3 2014 重庆理 9 某次联欢会要安排 个歌舞类节目 个小品类节目和 个相声类节目的演出顺321 序 则同类节目不相邻的排法种数是 A B C D 72120144168 4 2014 四川理 6 六个人从左至右排成一行 最左端只能排甲或乙 最右端不能排甲 则不同的 排法共有 A 种 B 种 C 种 D 种192216240288 5 2014 辽宁理 6 把椅子摆成一排 人随机就座 任何两人不相邻的做法种数为 63 A B C D 1441207224 6 2014 北京理 13 把 件不同产品摆成一排 若产品与产品相邻 且产品与产品不5ABAC 相邻 则不同的摆法有 种 7 2015 四川理 6 6 用数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字五位数 其中比大的偶 40000 数共有 A 个 B 120 个 C 个 D 个 1449672 7 解析解析由题意可知 万位上只能排 若万位上排 4 则有个 4 5 3 4 2A 若万位上排 5 则有个 所以共有 个 故选 B 3 4 3A 33 44 2A3A5 24120 8 2016 四川理 4 用数字 组成没有重复数字的五位数 其中奇数的个数为 12345 4 A B C 60 D 722448 8 D 解析解析由题意 要组成没有重复的五位奇数 则个位数应该为1 3 5 其他位置共有 4 4 A 所 以其中奇数的个数为 4 4 3A72 故选 D 题型 137 与组合相关的常见问题 1 2013 四川理 8 从这五个数中 每次取出两个不同的数分别为 共可得到1 3 5 7 9 a b 的不同值的个数是 lglgab A B C D 9101820 2 2013 福建理 5 满足 且关于 的方程有实数解的有序数对的个数为 2 1 0 1 bax02 2 bxax A B C D 14131210 3 2015 广东理 12 某高三毕业班有人 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留 40 言 那么全班共写了条毕业留言 用数字作答 3 解析解析两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数 所以全班共写了条毕业留言 故应填 2 40 A40 391560 1560 4 2016 全国丙理 12 定义 规范01数列 n a如下 n a共有2m项 其中m项为0 m项为 1 且对任意2km 12 k a aa 中0的个数不少于1的个数 若4m 则不同的 规范01数 列 共有 A 18个 B 16个 C 14个 D 12个 4 C 解析解析依题意 由 规范 01 数列 得第一项为 0 第2m项为 1 当4m 时 只需确定中间的 6 个元素即可 且知中间的 6 个元素有 3 个 0 和 3 个 1 分类讨论 若 0 后接 00 如图所示 1000 后面四个空位可以随意安排 3 个 1 和 1 个 0 则有 3 4 C 种排法 若 0 后接 01 如图所示 1001 后面四个空位可以排的数字为 2 个 0 和 2 个 1 只有一种情形不符合题意 即 01 后面紧接 11 5 除此外其它的情形故满足要求 因此排法有 2 4 C1 5 种排法 若 0 后接 10 如图所示 0011 在 10 后若接 0 则后面有 1 3 C种排法 在 10 后若接 1 即 0 1 0 1 0 1 第五个数字一定接 0 另外两 个位置 0 1 可以随意排 有 2 2 A 中排法 则满足题意的排法有 312 432 C5CA14 种 故选 C 题型 138 排列与与组合综合的常见问题 暂无 1 2016 江苏 23 1 求 34 67 7C4C 的值 2 设 m n N n m 求证 12 1 C2 C3 C mmm mmm mmm 2 12 C1 C1 C mmm nnn nnm 1 解析解析 1 34 67 7C4C7204350 2 证法一 组合数性质 证法一 组合数性质 因为 1 C1 m k k kk m km 1 1 1 11 k m mkm 1 1 1 Cm k m 所以左边 111 121 1 C1 C1 C mmm mmn mmm 1111 1231 1 CCCC mmmm mmmn m 又因为 1 11 CCC kkk nnn 所以左边 2111 2231 1 CCCC mmmm mmmn m 211 331 1 CCC mmm mmn m 21 41 1 CC mm mn m 21 11 1 CC mm nn m 2 2 1 Cm n m 右边 证法二 数学归纳法 证法二 数学归纳法 对任意的 m N 当nm 时 左边 1 C1 m m mm 右边 2 2 1 C1 m m mm 等式成立 假设 nk k m 时命题成立 即 12 1 C2 C3 C mmm mmm mmm 2 12 C1 C1 C mmm kkk kkm 当1nk 时 左边 12 1 C2 C3 C mmm mmm mmm 11 C1 C2 C mmm kkk kkk 2 21 1 C2 C mm kk mk 又由于右边 2 3 1 Cm k m 而 22 32 1 C1 C mm kk mm 6 3 2 1 2 1 2 kk m mkmmkm 2 131 2 1 k mkkm mkm 1 2 1 k k mkm 1 2 Cm k k 因此 22 213 1 C2 C1 C mmm kkk mkm 因此左边 右边 因此1nk 时命题也成 立 综合 可得命题对任意n m 均成立 评注评注本题从性质上考查组合数性质 从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题 从思想 上考查运用算两次解决二项式有关模型 组合数的运算性质不仅有 11 1 CCC mmm kkk C C mk m kk 1 1 CC kk nn kn 而且还有此题中出现的 1 1 1 C1 C mm kk km 1 km mn 这些不需记忆 但需会推导 平时善于总结才是突破此类问题的核心 2 2017 天津理 14 用数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 组成没有重复数字 且至多有一个数字是 偶数的四位数 这样的四位数一共有 个 用数字作答 2 解析解析依题意按分类计数原理操作 1 当没有一个数字是偶数时 从 1 3 5 7 9 这五个数字中 任取四个数 再进行全排列得无重复数字的四位数有个 或个 2 当仅有一个 4 5 A120 44 54 C A120 数字是偶数时 先从 2 4 6 8 中任取一个数 再从 1 3 5 7 9 中任取三个数 然后再进行 全排列得到无重复数字的四位数有 故由分类计数原理得这样的四位数共有 134 454 C C A960 个 1209601080N 3 2017 全国 2 卷理科 6 安排 3 名志愿者完成 4 项工作 每人至少完成 1 项 每项工作由 1 人完 成 则不同的安排方式共有 A 种 B 种 C 种 D 种12182436 3 解析解析只能是一个人完成 2 项工作 剩下的 2 人各完成一项工作 由此把 4 项工作分成 3 份再全 排得 故选 D 23 43 CA36 第 3 节二项式定理 题型 139 二项式定理展开式的通项及系数 1 2013 全国新课标卷理 5 已知的展开式中的系数为 则 5 11axx 2 x5a A B C D 4 3 2 1 7 2 2013 辽宁理 7 使得的展开式中含有常数项的最小的 为 1 3 n xn x x N n A B C D 4567 3 2013 陕西理 8 设函数 则当时 表达式的展开式中常 6 1 0 x ff x 数项为 A B C D 20 2015 15 4 2013 江西理 5 展开式中的常数项为 5 2 3 2 x x A B C D 80 8040 40 5 2013 四川理 11 二项式的展开式中 含的项的系数是 用数字作 5 xy 23 x y 答 9 2013 天津理 10 的二项展开式中的常数项为 6 1 x x 6 2013 安徽理 11 若的展开式中的系数为 则实数 8 3 a x x 4 x7a 7 2013 浙江理 11 设二项式的展开式中常数项为 则 5 3 1 x x A A 8 2014 浙江理 5 在的展开式中 记项的系数为 则 64 11xy mn x y f m n 3 02 11 20 3ffff A B C D 4560120210 9 2014 四川理 2 在的展开式中 含项的系数为 6 1xx 3 x A B C D 30201510 10 2014 湖南理 4 的展开式中的系数是 5 1 2 2 xy 23 x y A B C D 20 5 520 11 2014 湖北理 2 若二项式的展开式中的系数是 则实数 7 2 a x x 3 1 x 84a A B C D 2 5 41 2 4 8 12 2014 安徽理 13 设 是大于 1 的自然数 的展0a n 1 n x a 开式为 若点 的位置 2 012 n n aa xa xa x ii A i a 012i 如图所示 则 a 13 2014 大纲理 13 的展开式中的系数为 8 xy yx 22 x y 14 2014 山东理 14 若的展开式中项的系数为 则的最小值为 4 6 b ax x 3 x20 22 ab 15 2014 新课标 1 理 13 的展开式中的系数为 用数字填写答案 8 xyxy 27 x y 16 2014 新课标 2 理 13 的展开式中 的系数为 15 则 用数字填写答案 10 xa 7 xa 17 2015 湖南理 6 已知的展开式中含的项的系数为 则 5 a x x 3 2 x30a A B C 6 D 33 6 17 解析解析 令 解得 可得 5 2 15 C 1 r rrr r Ta x 53 22 r 1 r530a 6a 故选 D 18 2015 全国 1 理 10 的展开式中 的系数为 5 2 xxy 52 x y A 10 B 20 C 30 D 60 18 解析解析 展开式中含的项为 5 5 22 xxyxxy 2 y 而中含的项为 5 2 222 5 Cxxy 3 222 5 Cxxy 3 2 xx 5 x 2 1215 33 CCxxx 所以的系数为 故选 C 52 x y 21 53 CC30 19 2015 陕西理 4 二项式的展开式中的系数为 15 则 1 n nx N 2 xn x y O 0 A 1 A 2 A 12 3 4 1 9 A 4 B 5 C 6 D 7 19 解析解析根据二项式定理 的系数应该为 得 2 x 22 CC15 n nn 1 15 2 n n 所以 故选 C 6n 20 2015 湖北理 3 已知的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等 则奇数项 1 nx 的二项式系数和为 A B C D 12 2 11 2 10 2 9 2 20 解析解析由条件知 得 奇数项的二项式系数和为 故选 D 37 CC nn 10n 10 19 22 21 2015 安徽理 11 的展开式中的系数是 用数字填写答案 7 3 1 x x 5 x 21 解析解析因为 令 得 7 321 4 177 1 CC r r rrr r Txx x 2145r 4r 所以 即的系数是 4 7 C35 5 x35 22 2015 重庆理 12 的展开式中的系数是 用数字作答 5 3 1 2 x x 8 x 22 解析解析由二项式的定 7 155 315 3 22 1555 111 CCC 222 rrr rr r rrrr r Txxxx x 当时 易得 故系数为 7 158 2 r 2r 8 x 2 2 5 15 C 22 23 2015 天津理 12 在的展开式中 的系数为 6 1 4 x x 2 x 23 解析解析展开式的通项为 6 1 4 x x 66 2 166 11 CC 44 rr rrrr r Txx x 由得 所以 所以的系数为 622r 2r 2 222 36 115 C 416 Txx 2 x 15 16 24 2015 四川理 11 在的展开式中 含的项的系数是 5 21x 2 x 10 用数字填写答案 24 解析解析由二项式的展开式的通项公式为 5 15 C21 rr r r Tx 可知当时 为含的项 所以含的项的系数为 3r 2 x 2 x 3 32 5 C 2140 25 2015 全国 2 理 15 的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为 4 1 axx x32 则 a 25 解析解析由题意知 4234 1 1 464xxxxx 故的展开式中 的奇数次幂分别为 这五项 4 1 axx x4ax 3 4ax x 3 6x 5 x 其系数之和为 解得 441 6 1 32aa 3a 26 2015 北京理 9 在的展开式中 的系数为 用数字作答 5 2x 3 x 26 解析解析展开式的通项公式 5 2x 5 15 C 2 0 1 2 5 rrr r Txr 的系数为 3 x 32 5 C 240 27 2015 福建理 11 的展开式中 的系数等于 用数字作答 5 2x 2 x 27 解析解析的展开式中项为 所以的系数等于 5 2x 2 x 3322 5 C 280 xx 2 x80 28 2015 广东理 9 在的展开式中 的系数为 4 1x x 28 解析解析由题可知 令 解得 4 4 2 144 C1C1 r r rr rr r Txx 4 1 2 r 2r 所以展开式中 的系数为 故应填 6 x 2 2 4 C16 29 2016 北京理 10 在 6 1 2x 的展开式中 2 x的系数为 用数字作答 29 60解析解析在 6 1 2x 的展开式中 含 2 x的项为 2 2 42 6 C 1260 xx 所以 2 x的系数为60 30 2016 四川理 2 设i为虚数单位 则 6 i x 的展开式中含 4 x的项为 A 4 15x B 4 15x C 4 20ix D 4 20ix 30 A 解析解析二项式 6 ix 展开的通项 6 16 Cr r r r Txi 则其展开式中含 4 x是当64r 即2r 11 则展开式中含 4 x的项为 24 24 6 Ci15xx 故选 A 31 2016 天津理 10 8 2 1 x x 的展开式中 7 x的系数为 用数字作答 31 56 解析解析展开式通项为 8 216 3 188 1 C1C r r r rrr r Txx x 令1637r 得3r 所以 7 x的系数为 3 3 8 1 C56 32 2016 全国乙理 14 5 2xx 的展开式中 3 x的系数是 用数字填写答案 32 10解析解析 5 2xx 的展开式的通项公式为 55 5 55 22 1555 C2C 2C 20 1 5