浙教版一元二次方程知识点及习题

一元二次方程知识点及习题 一 一元二次方程知识点及习题 一 1 1 认识一元二次方程 认识一元二次方程 概念 只含有一个未知数 并且可以化为 为常数 2 0axbxc a b c 的整式方程叫一元二次方程 0a 构成一元二次方程的三个重要条件 方程必须是整式方程 分母不含未知数的方程 如 是分式方程 所以不是一元二次方 2 2 30 x x 2 2 30 x x 程 只含有一个未知数 未知数的最高次数是 2 次 2 2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式 一般形式 系数中 一定不能为 2 0axbxc 0a a b ca 0 则可以为 0 其中 叫做二次项 叫做二次项系数 叫做一bc 2 axabx 次项 叫做一次项系数 叫做常数项 任何一个一元二次方程经过整理 去bc 括号 移项 合并同类项 都可以化为一般形式 例题 将方程化成一元二次方程的一般形式 2 3 31 xxx 解 2 3 31 xxx 去括号 得 22 383xxx 移项 合并同类项 得 一般形式的等号右边一定等于 2 2830 xx 0 3 3 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法 1 直接开方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解 形式 形式 2 xab 2 配方法 理论依据 根据完全平方公式 将 222 2 aabbab 原方程配成的形式 再用直接开方法求解 2 xab 3 公式法 求根公式 2 4 2 bbac x a 4 分解因式法 理论依据 则或 利用提公因式 0a b 0a 0b 运用 公式 十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于 0 的形式 一 一元二次方程的定义一 一元二次方程的定义 例例 1 1 下列方程中是关于 下列方程中是关于 x x 的一元二次方程的是 的一元二次方程的是 A A B B 1213 2 xx02 11 2 xx C C D D 0 2 cbxax12 22 xxx 2 2 若方程 若方程是关于是关于 x x 的一元二次方程 则 的一元二次方程 则 013 2 mxxm m A A B B m 2m 2 C C D D 2 m2 m2 m 3 3 关于 关于 x x 的一元二次方程 的一元二次方程 a a 1 1 x x2 2 x ax a2 2 l 0l 0 的一个根是的一个根是 0 0 则 则 a a 的值为的值为 A A 1 1 B B l l C C 1 1 或 或 1 1 D D 1 2 4 4 若方程 若方程是关于是关于 x x 的一元二次方程 则的一元二次方程 则 m m 的取值范围是的取值范围是 11 2 xmxm 5 5 关于 关于x的方程的方程 0 2 22 baxxaa 是一元二次方程的条件是 是一元二次方程的条件是 A A a 1 1 B B a 2 2 C C a 1 1 且且a 2 2 D D a 1 1 或或 a 2 2 二 一元二次方程的解二 一元二次方程的解 1 1 关于 关于 x x 的一元二次方程的一元二次方程的一个根为的一个根为 0 0 则 则 a a 的值为的值为 042 22 axxa 2 2 已知方程 已知方程的一根是的一根是 2 2 则 则 k k 为为 另一根是 另一根是 010 2 kxx 3 3 已知 已知是是的根 则的根 则 a013 2 xx aa62 2 4 4 若方程 若方程 axax2 2 bx c 0 a 0 bx c 0 a 0 中 中 a b ca b c 满足满足 a b c 0a b c 0 和和 a b c 0 a b c 0 则方程的根是则方程的根是 5 5 方程 方程的一个根为 的一个根为 0 2 acxcbxba A A B B 1 1 C C D D 1 cb a 课课堂堂练练习习 1 1 已已知知一一元元二二次次方方程程x x2 2 3 3x x m m 0 0 的的一一个个根根为为 1 1 则则另另一一个个根根为为 2 2 已已知知 x x 1 1 是是一一元元二二次次方方程程 x x2 2 b bx x 5 5 0 0 的的一一个个解解 求求 b b 的的值值及及方方程程的的 另另一一个个根根 3 3 已知 已知的值为的值为 2 2 则 则的值为的值为 32 2 yy124 2 yy 4 4 已知关于 已知关于 x x 的一元二次方程的一元二次方程的系数满足的系数满足 则 则 00 2 acbxaxbca 此方程必有一根为此方程必有一根为 三 一元二次方程的求解方法三 一元二次方程的求解方法 一 直接开平方法一 直接开平方法 091 2 x 二 配方法二 配方法 练习 1 如果二次三项式是一个完全平方式 那么的值是16 12 2 xmx m 2 2 试用配方法说明 试用配方法说明的值恒大于的值恒大于 0 0 32 2 xx 3 3 已知 已知为实数 求为实数 求的值 的值 x yyxyx01364 22 y x 4 4 已知 已知 x x y y 为实数 求代数式为实数 求代数式的最小值 的最小值 742 22 yxyx 三 公式法三 公式法 1 2 082 2 xx0152 2 xx 四 因式分解法四 因式分解法 1 2 3 xx2 2 0 32 1 22 xx086 2 xx 五 整体法五 整体法 例 例 2222 2 22 06b ababa 变式变式 1 1 若 若 则 则 x yx y 的值为的值为 032 yxyx 变式变式 2 2 若 若 则 则 x yx y 的值为的值为 14 2 yxyx28 2 xxyy 变式变式 3 3 已知 已知 则 则的值等于的值等于 5 3 1 2222 yxyx 22 yx 四 一元二次方程中的代换思想 降次 四 一元二次方程中的代换思想 降次 典例分析 典例分析 1 1 已知 已知 求代数式 求代数式的值 的值 023 2 xx 1 11 2 3 x xx 2 2 如果 如果 那么代数式 那么代数式的值 的值 01 2 xx72 23 xx 3 3 已知 已知是方程是方程的两个根 那么的两个根 那么 01 2 xx 3 4 4 4 已知 已知是一元二次方程是一元二次方程的一根 求的一根 求的值 的值 a013 2 xx 1 152 2 23 a aaa 五 根的判别式五 根的判别式 1 1 若关于 若关于的方程的方程有两个不相等的实数根 则有两个不相等的实数根 则 k k 的取值范围的取值范围x012 2 xkx 是是 2 2 关于 关于 X X 的方程的方程016 2 xkx有两个不相等的实数根 则有两个不相等的实数根 则k的取值范围是 的取值范围是 A A k 9 9 B B k 9 9 且且k 0 0 C C k 9 9 D D k 9 9 且且 k 0 0 3 3 关于 关于 x x 的一元二次方程的一元二次方程有实数根 则有实数根 则 m m 的取值范围是的取值范围是 021 2 mmxxm A A B B C C D D 10 mm0 m1 m1 m 4 4 对于任意实数 对于任意实数 m m 关于 关于 x x 的方程的方程一定 一定 A A 有两个正的实数根有两个正的实数根 B B 有两个负的实数根有两个负的实数根 C C 有一个正实数根 一个负实数根有一个正实数根 一个负实数根 D D 没有实数根没有实数根 课堂练习 课堂练习 1 1 已知关于 已知关于的方程的方程有两个不等实根 试判断直线有两个不等实根 试判断直线x02 12 22 mxmx 能否通过能否通过 A A 2 2 4 4 并说明理由 并说明理由 xmy 32 74 m 2 2 若关于 若关于 x x 的方程的方程有实数根 则有实数根 则 k k 的非负整数值是的非负整数值是 034 2 xkx 3 3 已知关于 已知关于 x x 的方程的方程有两个相等的正实数根 则有两个相等的正实数根 则06 2 2 kxkx k k 的值是 的值是 A A B B C C 2 2 或或D D 4 4 已知 已知 a a b b c c 为为的三边 且关于的三边 且关于 x x 的一元二次方程的一元二次方程ABC 有两个相等的实数根 那么这个三角形是有两个相等的实数根 那么这个三角形是 0 4 3 2 2 caxcaxbc 5 5 如果关于 如果关于 x x 的方程的方程没有实数根 那么关于没有实数根 那么关于 x x 的方的方 0522 2 mxmmx 程程的实根个数是的实根个数是 0225 2 mxmxm 6 6 已知关于 已知关于 x x 的方程的方程 022 2 kxkx 1 1 求证 无论求证 无论 k k 取何值时 方程总有实数根 取何值时 方程总有实数根 2 2 若等腰若等腰ABCABC 的一边长为的一边长为 1 1 另两边长恰好是方程的两个根 求 另两边长恰好是方程的两个根 求ABCABC 的的 周长 周长 7 用简便方法计算 1 6 4 4548 2 64 81 3 1452 242 4 3c 2ab 5c2 3 2 5b 2a 8 已知 2x 求 x 的值 5 11 5 9 已知求的值 11 32 232 2 AB 11