2013年高考数学总复习 3-3导数的实际应用 新人教B版

1 3 33 3 导数的实际应用导数的实际应用 基础巩固强化 1 文 正三棱柱体积为V 则其表面积最小时 底面边长为 A B C D 2 3 V 3 2V 3 4V 3 V 答案 C 解析 设正三棱柱底面边长为a 高为h 则体积V a2h h 表面积 3 4 4V 3a2 S a2 3ah a2 3 2 3 2 4 3V a 由S a 0 得a 故选 C 3 4 3V a2 3 4V 理 在内接于半径为R的半圆的矩形中 周长最大的矩形的边长为 A 和R B R和R R 2 3 2 5 5 4 5 5 C R和R D 以上都不对 4 5 7 5 答案 B 解析 设矩形垂直于半圆直径的边长为x 则另一边长为 2 则l 2x 4 R2 x2 0 x R R2 x2 l 2 令l 0 解得x R 4x R2 x2 5 5 当 0 x R时 l 0 当R x R时 l 0 5 5 5 5 所以当x R时 l取最大值 即周长最大的矩形的边长为R R 5 5 5 5 4 5 5 2 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为 y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 1 3 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 答案 C 解析 y x3 81x 234 y x2 81 x 0 1 3 令y 0 得x 9 令y 9 令y 0 得 0 x 则满足 2f x x 1 的x的集合为 1 2 A x 1 x 1 B x x 1 C x x1 D x x 1 4 答案 B 解析 令g x 2f x x 1 f x g x 2f x 1 0 g x 为单调增函数 f 1 1 g 1 1 2 2f 1 1 1 0 当x 1 时 g x 0 即 2f x x 1 故选 B 7 文 用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 该长方体的最大体积是 答案 3m3 解析 设长方体的宽为x 则长为 2x 高为 3x 0 x 2 故体积为V 2x2 9 2 6x3 9x2 9 2 3x V 18x2 18x 令V 0 得 x 0 或 1 0 x0 和x 0 得 0 x 1 6 设容器的容积为ym3 则有y x x 0 5 3 2 2x 0 x 1 6 整理得y 2x3 2 2x2 1 6x y 6x2 4 4x 1 6 令y 0 有 6x2 4 4x 1 6 0 即 15x2 11x 4 0 解得x1 1 x2 不合题意 舍去 4 15 高 3 2 2 1 2 容积V 1 1 5 1 2 1 8 高为 1 2m 时容积最大 8 文 2011 北京模拟 若函数f x lnx ax2 2x存在单调递减区间 则实数a 1 2 的取值范围是 5 答案 1 分析 函数f x 存在单调减区间 就是不等式f x 0 有实数解 考虑到函数的 定义域为 0 所以本题就是求f x 0 在 0 上有实数解时a的取值范 围 解析 解法 1 f x ax 2 由题意知f x 0 ax2 2x 1 0 有实数解 当a 0 时 显然满足 当a0 1 a 1 解法 2 f x ax 2 1 x 1 ax2 2x x 由题意可知f x 0 在 0 内有实数解 即 1 ax2 2x 在 0 内有实数解 1 x2 2 x x 0 时 1 2 1 1 a 1 1 x2 2 x 1 x 理 2012 黄冈市期末 对于三次函数y ax3 bx2 cx d a 0 给出定义 设f x 是函数y f x 的导数 f x 是f x 的导数 若方程f x 0 有实数解 x0 则称点 x0 f x0 为函数y f x 的 拐点 某同学经过探究发现 任何一个三次函 数都有 拐点 任何一个三次函数都有对称中心 且 拐点 就是对称中心 若f x x3 x2 3x 根据这一发现可得 1 3 1 2 5 12 1 函数f x x3 x2 3x 的对称中心为 1 3 1 2 5 12 2 计算f f f f f 1 2014 2 2014 3 2014 4 2014 2013 2014 答案 1 1 2 2013 1 2 解析 1 f x x2 x 3 f x 2x 1 由 2x 1 0 得x f 1 2 1 2 1 3 3 2 3 1 由拐点的定义知f x 的拐点即对称中心为 1 1 2 1 2 1 2 1 2 5 12 1 2 2 f f 1 f f 2 k 1 2 1007 k 2014 k 2014 k 2014 2014 k 2014 f f f f f f f 1 2014 2 2014 2013 2014 1 2014 2013 2014 2 2014 2012 2014 f f f 2 1006 1 2013 1006 2014 1008 2014 1007 2014 6 9 某工厂要围建一个面积为 128m2的矩形堆料场 一边可以用原有的墙壁 其他三边 要砌新的墙壁 要使砌墙所用的材料最省 堆料场的长 宽应分别为 答案 16m 8m 解析 解 设场地宽为xm 则长为m 128 x 因此新墙总长度为y 2x x 0 128 x y 2 令y 0 x 0 x 8 128 x2 因为当 0 x 8 时 y 0 当x 8 时 y 0 所以当x 8 时 y取最小值 此时宽为 8m 长为 16m 即当堆料场的长为 16m 宽为 8m 时 可使砌墙所用材料最省 10 文 某单位用木料制作如图所示的框架 框架的下部是边长分别为x y 单位 m 的矩形 上部是等腰直角三角形 要求框架围成的总面积为 8m2 问x y分别为多少时用料最省 精确到 0 001m 解析 依题意 有xy x 8 1 2 x 2 y 0 x 4 8 x2 4 x 8 x x 42 于是框架用料长度为l 2x 2y 2 x l 2x 2 3 2 2 16 x 3 22 16 x2 令l 0 即 0 解得x1 8 4 x2 4 8 舍去 3 22 16 x222 当 0 x 8 4时 l 0 当 8 4 x0 222 所以当x 8 4时 l取得最小值 此时 x 8 4 2 343m y 2 828m 22 7 即当x约为 2 343m y约为 2 828m 时 用料最省 理 已知球的直径为d 求当其内接正四棱柱体积最大时 正四棱柱的高为多少 解析 如右图所示 设正四棱柱的底面边长为x 高为h 由于x2 x2 h2 d2 x2 d2 h2 1 2 球内接正四棱柱的体积为 V x2 h d2h h3 0 h0 cos 选 D 1 2 点评 若f x 为三次函数 f x 在 R R 上有极值 则f x 0 应有二不等实根 当f x 有两相等实根时 不能保证f x 有极值 这一点要特别注意 如f x x3 f 1 3 x x2 0 有实根x 0 但f x 在 R R 上单调增 无极值 即导数为 0 是函数有极值的 必要不充分条件 12 如图 过函数y xsinx cosx图象上点 x y 的切线的斜率为k 若k g x 则函数k g x 的图象大致为 答案 A 解析 y sinx xcosx sinx xcosx k g x xcosx 易知其图象为 A 13 函数f x 2x3 x2 x 1 的图象与x轴交点个数为 个 1 2 答案 1 解析 f x 6x2 x 1 3x 1 2x 1 当x0 当 x 1 2 1 2 时 f x 时 f x 0 f x 在 上单调递增 在 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 上单调递减 在 上单调递增 1 3 当x 时 f x 取到极大值 当x 时 f x 取到极小值 故f x 的图象 1 2 11 8 1 3 43 54 与x轴只有一个交点 14 将边长为 1m 的正三角形薄铁皮 沿一条平行于某边的直线剪成两块 其中一块是 梯形 记s 则s的最小值是 梯形的周长 2 梯形的面积 答案 32 3 3 9 解析 设DE x 则梯形的周长为 3 x 梯形的面积为 x 1 1 x 1 x2 1 2 3 2 3 4 s x 0 1 3 x 2 3 4 1 x2 4 3 3 x2 6x 9 1 x2 设h x h x x2 6x 9 1 x2 6x2 20 x 6 1 x2 2 令h x 0 得 x 或x 3 舍 1 3 h x 最小值 h 8 s最小值 8 1 3 4 3 3 32 3 3 15 文 甲乙两地相距 400km 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过 100km h 已知该汽车每小时的运输成本P 元 关于速度v km h 的函数关系是 P v4 v3 15v 1 19200 1 160 1 求全程运输成本Q 元 关于速度v的函数关系式 2 为使全程运输成本最少 汽车应以多大速度行驶 并求此时运输成本的最小值 解析 1 汽车从甲地到乙地需用h 故全程运输成本为 400 v Q 6000 0 v 100 400P v v3 48 5v2 2 2 Q 5v 令Q 0 得 v 80 v2 16 当v 80km h 时 全程运输成本取得最小值 最小值为元 2000 3 理 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建 筑物每年的能源消耗费用C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 C x 10 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设f x 为隔热层建造费 k 3x 5 用与 20 年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解析 1 设隔热层厚度为xcm 由题设知 每年能源消耗费用为C x k 3x 5 再由C 0 8 得k 40 因此C x 40 3x 5 又建造费用为C1 x 6x 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f x 20C x C1 x 20 6x 40 3x 5 6x 0 x 10 800 3x 5 2 f x 6 令f x 0 2400 3x 5 2 即 6 2400 3x 5 2 解得x 5 或x 舍去 25 3 当 0 x 5 时 f x 0 当 5 x0 故x 5 是f x 的最小值点 对应的最小值为f 5 6 5 70 800 15 5 当隔热层修建 5 cm 厚时 总费用达到最小值 70 万元 16 文 2011 江苏 17 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD是边长为 60cm 的 正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得 A B C D四个点重合于图中的点P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F在AB 上 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设AE FB x cm 11 1 若广告商要求包装盒的侧面积S cm2 最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒容积V cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值 解析 设包装盒的高为h cm 底面边长为a cm 由已知得a x h 2 60 2x 2 30 x 0 x0 当x 20 30 时 V 0 所以当x 20 时 V取得极大值 也是最大值 此时 即包装盒的高与底面边长的比值为 h a 1 2 1 2 理 如图 有一矩形钢板ABCD缺损了一角 如图所示 边缘线OM上每一点到点D的 距离都等于它到边AB的距离 工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形 若AB 1m AD 0 5m 问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大 解析 由题知 边缘线OM是以点D为焦点 直线AB为准线的抛物线的一部分 以O点为原点 AD所在直线为y轴建立直角坐标系 则D 0 M 1 4 1 2 1 4 12 所以边缘线OM所在抛物线的方程为y x2 0 x 1 2 要使如图的五边形ABCEF面积最大 则必有EF所在直线与抛物线相切 设切点为 P t t2 则直线EF的方程为y 2t x t t2 即y 2tx t2 由此可求得点E F的坐标分别为E F 0 t2 1 4t2 8t 1 4 所以S DEF S t t2 1 2 1 4t2 8t 1 4 t 0 1 64 16t4 8t2 1 t 1 2 所以S t 1 64 48t4 8t2 1 t2 12t2 1 4t2 1 64t2 3 4t2 1 t 3 6 t 3 6 16t2 显然函数S t 在 0 上是减函数 在 上是增函数 所以当t 时 S DEF 3 6 3 6 1 2 3 6 取得最小值 相应地 五边形ABCEF的面积最大 此时点E F的坐标分别为E F 0 3 3 1 4 1 12 此时沿直线EF划线可使五边形ABCEF的面积最大 即 2 DE FC DE EC 1 3 1 1 2011 陕西文 21 设f x lnx g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 13 2 讨论g x 与g 的大小关系 1 x 3 求a的取值范围 使得g a g x 0 成立 1 a 解析 f x lnx f x g x lnx 1 x 1 x g x 令g x 0 得x 1 x 1 x2 当x 0 1 时 g x 0 1 是g x 的单调增区间 因此当x 1 时g x 取极小值 且x 1 是唯一极值点 从而是最小值点 所以g x 最小值为g 1 1 2 g lnx x 1 x 令h x g x g 2lnx x 1 x 1 x 则h x x 1 2 x2 当x 1 时 h 1 0 即g x g 1 x 当x 0 1 1 时h x h 1 0 即g x g 1 x 当x 1 时 h x h 1 0 即g x g 1 x 当x 1 时 g x g 当x 1 时 g x g 1 x 1 x 3 由 1 可知g x 最小值为 1 所以g a g x 0 成立等价于g a 1 即 lna 1 解得 0 axln2 对任意x 0 恒成立 现定义为该类学习任务在t时刻的学习效 f t t 率指数 研究表明 当学习时间t 1 2 时 学习效率最佳 当学习效率最佳时 求学习 效率指数相应的取值范围 解析 1 f t 100 t为学习时间 且f 2 60 3 4 a 2 t 则 100 60 解得a 4 3 4 a 2 2 f t 100 100 t 0 3 4 a 2 t 3 4 1 2 t f 0 100 37 5 3 4 1 2 0 f 0 表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为 37 5 2 令学习效率指数 y f t t 则y t 0 f t t 3 4t 1 2 t 3 4 t t 2t 现研究函数g t t 的单调性 t 2t 由于g t 1 t 0 2t t 2tln2 2t 2 2t tln2 1 2t 又已知 2x xln2 对任意x 0 恒成立 即 2t tln2 0 则g t 0 恒成立 g t 在 0 上为增函数 且g t 为正数 y t 0 在 0 上为减函数 f t t 3 4 t t 2t 而y t 1 y t 2 f 1 1 1 2 f 2 2 3 10 即y f t t 3 1