新版3年高考2年模拟 高考数学 第二章第三节 函数、方程及其应用

用心 爱心 专心1 第三节第三节 函数 方程及其应用函数 方程及其应用 第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20102010 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 上海文 上海文 17 若 0 x是方程式 lg2xx 的解 则 0 x属于区间 A 0 1 B 1 1 25 C 1 25 1 75 D 1 75 2 答案 D 解析 0 4 1 4 7 lg 4 7 75 1 2lg ffxxxf由构造函数 02lg 2 f知 0 x属于区间 1 75 2 2 2 20102010 湖南文 湖南文 3 某商品销售量 y 件 与销售价格 x 元 件 负相关 则其回归方 程可能是 A 10200yx B 10200yx C 10200yx D 10200yx 答案 A 3 3 20102010 陕西文 陕西文 10 某学校要招开学生代表大会 规定各班每 10 人推选一名代表 当各 班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表 那么 各班可推选代表人数y与该班人数 x之间的函数关系用取整函数y x x 表示不大于x的最大整数 可以表示为 A y 10 x B y 3 10 x C y 4 10 x D y 5 10 x 答案 B 解析 法一 特殊取值法 若 x 56 y 5 排除 C D 若 x 57 y 6 排除 A 所以选 B 法二 设 90 10 mx 时 1010 3 10 3 60 x mm x 1 10 1 10 3 10 3 96 x mm x 时当 所以选 B 3 3 20102010 浙江文 浙江文 9 已知 x 是函数 f x 2x 1 1x 的一个零点 若 1 x 1 0 x 2 x 0 x 则 A f 1 x 0 f 2 x 0 B f 1 x 0 f 2 x 0 C f 1 x 0 f 2 x 0 D f 1 x 0 f 2 x 0 用心 爱心 专心2 解析 选 B 考察了数形结合的思想 以及函数零点的概念和零点的判断 属中档题 4 4 20102010 山东文 山东文 11 函数 2 2xyx 的图像大致是 答案 A 5 5 20102010 山东文 山东文 8 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万 件 的函数关系式为 3 1 81234 3 yxx 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 答案 C 6 6 20102010 山东文 山东文 5 设 f x为定义在R上的奇函数 当0 x 时 22 x f xxb b为常数 则 1 f A 3 B 1 C 1 D 3 答案 A 7 7 20102010 四川理 四川理 4 函数f x x2 mx 1 的图像关于直线x 1 对称的充要条件是 A 2m B 2m C 1m D 1m 解析 函数f x x2 mx 1 的对称轴为x 2 m 于是 2 m 1 m 2 答案 A 8 8 20102010 四川理 四川理 2 下列四个图像所表示的函数 在点0 x 处连续的是 A B C D 解析 由图象及函数连续的性质知 D正确 答案 D 用心 爱心 专心3 9 9 20102010 天津文 天津文 10 设函数 2 2 g xxxR 4 g x xx g x g xx x g x f x 则 f x的值域是 A 9 0 1 4 B 0 C 9 4 D 9 0 2 4 答案 D 解析 本题主要考查函数分类函数值域的基本求法 属于 难题 依题意知 22 22 2 4 2 2 2 xxxx f x xx xx 2 2 2 12 2 12 xxx f x xxx 或 10 10 20102010 天津文 天津文 4 函数 f x 2 x ex 的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 答案 C 解析 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用 属于容易题 因为 f 0 10 所以零点在区间 0 1 上 选 C 温馨提示 函数零点附近函数值的符号相反 这类选择题通常采用代入排除的方法求解 11 11 20102010 天津理 天津理 8 若函数 f x 2 1 2 log 0 log 0 x x x x 若 f a f a 则实数 a 的取值范 围是 A 1 0 0 1 B 1 1 C 1 0 1 D 1 0 1 答案 C 解析 本题主要考查函数的对数的单调性 对数的基本运算及分类讨论思想 属于中等 题 由分段函数的表达式知 需要对 a 的正负进行分类讨论 用心 爱心 专心4 2112 22 0a0 f 的零点个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 B 解析 当0 x 时 令 2 230 xx 解得3x 当0 x 时 令2ln0 x 解得100 x 所以已知函数有两个零点 选 C 命题意图 本题考查分段函数零点的求法 考查了分类讨论的数学思想 14 14 20102010 湖北文 湖北文 3 已知函数 3 log 0 2 0 x x x f x x 则 1 9 f f A 4B 1 4 C 4D 1 4 答案 B 解析 根据分段函数可得 3 11 log2 99 f 则 2 11 2 2 94 f ff 所以 B 正确 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 上海文 上海文 14 将直线 1 10lxy 2 0lnxyn 3 0lxnyn 用心 爱心 专心5 nN 2n 围成的三角形面积记为 n S 则lim n n S 答案 1 2 解析 B 1 1 n n n n 所以 BO AC n S 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 n n n n 所以lim n n S 1 2 2 2 20102010 湖南文 湖南文 10 已知一种材料的最佳加入量在 100g 到 200g 之间 若用 0 618 法安 排试验 则第一次试点的加入量可以是 g 答案 171 8 或 148 2 解析 根据 0 618 法 第一次试点加入量为 110 210 110 0 618 171 8 或 210 210 110 0 618 148 2 命题意图 本题考察优选法的 0 618 法 属容易题 3 3 20102010 陕西文 陕西文 13 已知函数f x 2 32 1 1 xx xax x 若f f 0 4a 则实数a 答案 2 解析 f 0 2 f f 0 f 2 4 2a 4a 所以 a 2 4 4 20102010 重庆理 重庆理 15 已知函数 f x满足 1 1 4 f 4 f x fyf xyf xyx yR 则 2010f 解析 取 x 1 y 0 得 2 1 0 f 法一 通过计算 4 3 2 fff 寻得周期为 6 法二 取 x n y 1 有 f n f n 1 f n 1 同理 f n 1 f n 2 f n 联立得 f n 2 f n 1 所以 T 6 故 2010f f 0 2 1 5 5 20102010 天津文 天津文 16 设函数 f x x 1 x 对任意 x 1 f m x m f x 0恒成立 则实数 m 的取值范围是 答案 m0 由复合函数的单调性可知 f mx 和 mf x 均为增函数 此时不符合题意 用心 爱心 专心6 M1 解得 m0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 答案 1 aa 用心 爱心 专心11 解析 设函数 0 x yaa 且1 a 和函数yxa 则函数 f x a x x a a 0 且 a 1 有两个零点 就是函数 0 x yaa 且1 a 与函数yxa 有两个交点 由图象 可知当10 a时两函数只有一个交点 不符合 当1 a时 因为函数 1 x yaa 的图 象过点 0 1 而直线yxa 所过的点 0 a 一定在点 0 1 的上方 所以一定有两个 交点 所以实数 a 的取值范围是 1 aa 命题立意 本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系 隐含着对指数函数的性质的 考查 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 3 2009 山东卷理 本小题满分 12 分 两县城 A 和 B 相距 20km 现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造 垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关 对城 A 和城 B 的总影 响度为城 A 与城 B 的影响度之和 记 C 点到城 A 的距离为 x km 建在 C 处的垃圾处理厂 对城 A 和城 B 的总影响度为 y 统计调查表明 垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到 城 A 的距离的平方成反比 比例系数为 4 对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的 平方成反比 比例系数为 k 当垃圾处理厂建在的中点时 对城 A 和城 B 的总影响度 为 0 065 1 将 y 表示成 x 的函数 11 讨论 1 中函数的单调性 并判断弧上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理 厂对城 A 和城 B 的总影响度最小 若存在 求出该点到城 A 的距离 若不存在 说明理由 解法一 1 如图 由题意知 AC BC 22 400BCx 22 4 020 400 k yx xx 其中当10 2x 时 y 0 065 所以 k 9 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 020 400 yx xx 2 22 49 400 y xx 422 322322 89 2 188 400 400 400 xxx y xxxx 令 0y 得 422 188 400 xx 所以 2 160 x 即4 10 x 当04 10 x 时 A B C x 用心 爱心 专心12 422 188 400 xx 即 0y 所以函数为单调减函数 当4 620 x 时 422 188 400 xx 即 0y 所以函数为单调增函数 所以当4 10 x 时 即当 C 点 到城 A 的距离为4 10时 函数 22 49 020 400 yx xx 有最小值 解法二 1 同上 2 设 22 400mxnx 则400mn 49 y mn 所以 494914911 13 13 12 40040040016 mnnm y mnmnmn 当且仅当 49nm mn 即 240 160 n m 时取 下面证明函数 49 400 y mm 在 0 160 上为减函数 在 160 400 上为增函数 设 0 m1 m2 160 则 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 4499 400400mmmm 2112 1212 4 9 400 400 mmmm m mmm 21 1212 49 400 400 mm m mmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因为 0 m1 m24 240 240 9 m1m2 9 160 160 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm 所以 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 即 12 yy 函数 49 400 y mm 在 0 160 上为减函数 同理 函数 49 400 y mm 在 160 400 上为增函数 设 160 m1 m2 400 则 12 1122 4949 400400 yy mmmm 用心 爱心 专心13 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因为 1600 m1 m2 400 所以 4 12 400 400 mm 9 160 160 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm 所以 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 即 12 yy 函数 49 400 y mm 在 160 400 上为增函数 所以当 m 160 即4 10 x 时取 函数 y 有最小值 所以弧上存在一点 当4 10 x 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响 度最小 命题立意 本题主要考查了函数在实际问题中的应用 运用待定系数法求解函数解析式 的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题 5 2009 湖南卷理 本小题满分 13 分 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为 256 万元 距离为x米的相邻两墩之间 的桥面工程费用为 2 x x 万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考 虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 试写出y关于x的函数关系式 当m 640 米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 解 设需要新建n个桥墩 1 1 m nxm x 即n 所以 2 mm xx x xx y f x 256n n 1 2 x 256 1 256 2256 x m xm x 由 知 2 33 22 2 2561 512 22 mm fxmxx x x 令 0fx 得 3 2 512x 所以x 64 当 0 x 64 时 fx0 f x在区间 64 640 内为增函数 所以 f x在x 64 处取得最小值 此时 640 119 64 m n x 故需新建 9 个桥墩才能使y最小 6 2009 年上海卷理 有时可用函数 0 1 15ln 6 4 4 6 4 a x ax f x x x x 描述学习某学科知识的掌握程度 其中 x 表示某学科知识的学习次数 xN f x表示对该学科知识的掌握程度 正实数 a 与学科知识有关 1 证明 当7x 时 掌握程度的增加量 1 f xf x 总是下降 2 根据经验 学科甲 乙 丙对应的 a 的取值区间分别为 115 121 121 127 121 133 当学习某学科知识 6 次时 掌握程度是 85 请确定 相应的学科 证明 1 当 0 4 7 1 3 4 xf xf x xx 时 而当7x 时 函数 3 4 yxx 单调递增 且 3 4 xx 0 3 分 故 1 f xf x 单调递减 当7x 时 掌握程度的增长量 1 f xf x 总是下降 6 分 2 由题意可知 0 1 15ln 6 a a 0 85 9 分 整理得 0 05 6 a e a 解得 0 05 0 05 620 50 6123 0 123 0 121 127 1 e a e 13 分 由此可知 该学科是乙学科 14 分 7 2009 上海卷文 本题满分 16 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满 用心 爱心 专心15 分 10 分 有时可用函数 0 1 15ln 6 4 4 6 4 a x ax f x x x 描述学习某学科知识的掌握程度 其中x表示某学科知识的学习次数 xN f x表 示对该学科知识的掌握程度 正实数a与学科知识有关 1 证明 当 x 7 时 掌握程度的增长量f x 1 f x 总是下降 2 根据经验 学科甲 乙 丙对应的a的取值区间分别为 115 121 121 127 127 133 当学习某学科知识 6 次时 掌握程度是 85 请确定相应的学科 证明 1 当7x 时 0 4 1 3 4 f xf x xx 而当7x 时 函数 3 4 yxx 单调递增 且 3 4 0 xx 故函数 1 f xf x 单调递减 当7x 时 掌握程度的增长量 1 f xf x 总是下降 2 有题意可知0 1 15ln0 85 6 a a 整理得 0 05 6 a e a 解得 0 05 0 05 620 50 6123 0 123 0 121 127 1 e a e 13 分 由此可知 该学科是乙学科 14 分 20082008 年高考题年高考题 1 2008 年全国一 2 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这 一 过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数 其图像可能是 s tO A s tO s tO s tO B C D 用心 爱心 专心16 答案 A 2 2008 年福建卷 12 已知函数 y f x y g x 的导函数的图象如下图 那么 y f x y g x 的图象可能是 答案 D 3 2008 年江苏卷 17 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 已知 AB 20km CB 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形 ABCD 的区域上 含边界 且 A B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂 并铺设排污管道 AO BO OP 设排污管道的总长 为ykm 按下列要求写出函数关系式 设 BAO rad 将y表示成 的函数关系式 设 OPx km 将y表示成x的函数关系式 请你选用 中的一个函数关系式 确定污水处理厂的位置 使三条排污管道总 长度最短 解 本小题主要考查函数最值的应用 设 AB 中点为 Q 由条件知 PQ 垂直平分 AB 若 BAO rad 则 10 coscos AQ OA 故 10 cos OB 又 OP 10 10tan 所以 1010 10 10tan coscos yOAOBOP 所求函数关系式为 20 10sin 10 cos y 0 4 若 OP x km 则 OQ 10 x 所以 OA OB 2 22 101020200 xxx C B P O A D 用心 爱心 专心17 所求函数关系式为 2 220200 010yxxxx 选择函数模型 22 cos 1sin2 10 cos sin1020 coscos10 y 令0 y得 sin 1 2 因为0 4 所以 6 当0 6 时 0 y y是 的 减函数 当 6 4 时 0 y y 是 的增函数 所以当 6 时 31010 iin y km 这时点 0 位于线段 AB 的中垂线上 且距离 AB 边 10 3 3 km 处 4 2008 年湖北卷 20 本小题满分 12 分 水库的蓄水量随时间而变化 现用t表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历年数据 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于t的近 似函数关系式为 1210 50 413 10 4 10 0 50 4014 5 1 2 ttt tett tV t 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期 以1iti 表示第 i 月份 1 2 12i 问一年内哪几个月份是枯水期 求一年内该水库的最大蓄水量 取2 7e 计算 解 1 当 0 t 10 时 V t t2 14t 40 5050e4 1 t 化简得t2 14t 40 0 解得t 4 或t 10 又 0 t 10 故 0 t 4 当 10 t 12 时 V t 4 t 10 3t 41 50 50 化简得 t 10 3t 41 0 解得 10 t 3 41 又 10 t 12 故 10 t 12 综上得 0 t 4 或 100 时 方程f x 0 只有一个实根 f x 的图象关于 0 c 对称 方程f x 0 至多两个实根 其中正确的命题是 A B C D 答案答案 C C 2 四川省成都外国语学校 四川省成都外国语学校 20112011 届高三届高三 1010 月理 月理 设函数f x 是定义在 R 上的以 5 为周期 的奇函数 若f 2 1 3 3 2008 a a f 则a的取值范围是 A 0 B 0 3 C 0 D 0 3 答案答案 B B 3 3 四川省成都外国语学校 四川省成都外国语学校 10 1110 11 学年高一 学年高一 下列各组函数 xgxf与的图象相同的是 A 2 xxgxxf B 22 1 xxgxxf C 0 1 xxgxf 用心 爱心 专心19 D x x xgxxf 0 0 x x 答案答案 D D 4 四川省成都外国语学校 四川省成都外国语学校 20112011 届高三届高三 1010 月理 月理 当0 x 时 2 2 11 f xxx xx 最 小值为 A 1 B 0 C 2 D 4 答案答案 D D 5 四川省成都外国语学校 四川省成都外国语学校 20112011 届高三届高三 1010 月理 月理 定义在 R 上的函数 xfy 在 a 上是增函数 且函数 axfy 是偶函数 当axax 21 且 axax 21 时 有 A 2 2 21 xafxaf B 2 2 21 xafxaf C 2 2 21 xafxaf D 2 2 21 axfxaf 答案答案 A A 6 四川省成都外国语学校 四川省成都外国语学校 20112011 届高三届高三 1010 月文 月文 设 xf是定义在 R 上的偶函数 对 Rx 都有 2 2 xfxf 且当 0 2 x时 1 2 1 x xf 若在区间 6 2 内关于x的方程0log 2 x a xf a 1 恰有 3 个不同的实根 则a的取值范 围是 A 1 2 B 2 C 4 1 3 D 2 4 3 答案答案 D D 7 山西省四校山西省四校 20112011 届高三文 届高三文 幂函数 y m2 m 1 当 x 0 时为减 xm2 2m 3 函数 则实数 m 的值是 A m 2B m 1C m 1 或 2 D m 答案答案 A A 8 四川省成都外国语学校四川省成都外国语学校 20112011 届高三理 届高三理 定义在 R 上的函数 xfy 在 a 上是增函数 且函数 axfy 是偶函数 当axax 21 且 axax 21 时 有 A 2 2 21 xafxaf B 2 2 21 xafxaf C 2 2 21 xafxaf D 2 2 21 axfxaf 答案答案 A A 用心 爱心 专心20 9 福建省福州八中福建省福州八中 20112011 届高三文届高三文 函数 0 12 0 2 x xx y x 的图象大致是 答案 D 3 山东省实验中学 山东省实验中学 20112011 届高三文理 届高三文理 某商品销售量 y 件 与销售价格 x 元 件 负 相关 则其回归方程可能是 A 10200yx B 10200yx C 10200yx D 10200yx 答案答案 A A 4 广西桂林中学广西桂林中学 20112011 届高三理届高三理 已知x1是方程2010lg xx的根 x2是方程 201010 x x的根 则x x1 1 x x2 2 A 2008 B 2009 C 2010 D 2011 答案答案 C C 5 福建省四地六校联考福建省四地六校联考 20112011 届高三理届高三理 将函数 sin x xR 6 y 的图象上所有的点 向左平移 4 个单位长度 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍 则所得的图象 的解析式为 A 5 sin 2x xR 12 y B x5 sin xR 212 y C x sin xR 2 12 y D x5 sin xR 224 y 答案答案 B B 6 吉林省实验中学吉林省实验中学 20112011 届高三文 届高三文 设a 1 函数 f x a x 的图像大致是 答案答案 A A 用心 爱心 专心21 7 河南信阳市 河南信阳市 20112011 届高三理 届高三理 已知函数 2 3 5f xx cos 5 x f xe 5 x f xe 5lnf xx 其中对于 f x定义域内的任意一个自变量 1 x 都存 在唯一的自变量 2 x 使 12 5f xf x 成立的函数为 A B C D 答案答案 D D 二 二 填空题填空题 1 江苏泰兴 江苏泰兴 20112011 届高三理 届高三理 函数 2 2 1 x yxR x 的值域为 答案 0 1 2 江苏泰兴 江苏泰兴 20112011 届高三理 届高三理 设函数 f x是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数 若 1 1f 23 2 1 a f a 则 a 的取值范围是 答案 2 1 3 a 3 江省吴兴高级中学江省吴兴高级中学 20112011 届高三文 届高三文 下列五个函数中 x y2 xy 2 log 2 xy 1 xy xy2cos 当10 21 xx时 使 2 2 2121 xfxfxx f 恒成立的函数是 将正确的序号都填上 答案 4 江苏泰兴市重点中学 江苏泰兴市重点中学 20112011 届理 届理 函数f x x2 4x 1 在 t t 1 上的最大值为 g t 则 g t 的最大值为 答案 3 5 江苏泰兴 江苏泰兴 20112011 届高三理 届高三理 函数f x x2 4x 1 在 t t 1 上的最大值为 g t 则 g t 的最大值为 答案 3 三 解答题 1 江苏泰兴 江苏泰兴 20112011 届理 届理 本小题满分 14 分 已知函数 bx ax xf 2 1 0 a是奇函 数 并且函数 xf的图像经过点 1 3 1 求实数ba 的值 2 求函数 用心 爱心 专心22 xf的值域 答案 1 解 1 函数 bx ax xf 2 1 是奇函数 则 xfxf 0 0 11 2 2 bbxbxa bx ax bx xa 3分 又函数 xf的图像经过点 1 3 0 3 1 1 3 1 b b a f a 2 6分 2 由 1 知 0 1 2 21 2 x x x x x xf 7分 当0 x时 22 1 22 1 2 x x x x当且仅当 1 2 x x 即 2 2 x时取等号 10分 当0 x时 22 1 2 22 1 22 1 2 x x x x x x 当且仅当 1 2 x x 即 2 2 x时取等号 13分 综上可知函数 xf的值域为 2222 12分 2 江苏泰兴 江苏泰兴 20112011 届高三理 届高三理 本题满分 16 分 设二次函数 2 f xaxbxc 在区间 2 2 上的最大值 最小值分别是M m 集合 Ax f xx 1 若 1 2 A 且 0 2f 求M和m的值 2 若 1 A 且1a 记 g aMm 求 g a的最小值 答案 2 1 由 0 22fc 可知 1 分 又 2 A1212 1 0 axbxc 故 是方程的两实根 用心 爱心 专心23 1 b 1 2 a c 2 a 3 分 1 2ab 解得 4 分 22 22 1 1 2 2f xxxxx min 1 1 1 1xf xfm 当时 即 5 分 max 2 2 10 10 xf xfM 当时 即 6 分 2 2 1 0axbxc 由题意知 方程有两相等实根x 2 x 1 a c a b 2 1 11 即 ac ab21 8分 f x ax2 1 2a x a x 2 2 其对称轴方程为x a a 2 14 1 a2 1 又a 1 故1 1 2 1 2 1 a 9分 M f 2 9a 2 10分 m aa a f 4 1 1 2 12 11分 g a M m 9a a4 1 1 14分 min 63 1 1 4 g aag a 又在区间上为单调递增的 当时 4 31 16 分 3 四川省成都外国语学校 四川省成都外国语学校 10 1110 11 学年高一 学年高一 本小题 12 分 已知奇函数 2 2 2 0 0 0 0 xx x f xx xmxx 1 求实数 m 的值 并在给出的直角坐标系中画出 yf x 的图象 2 若函数f x 在区间 1 a 2 上单调递增 试确定a的取值范围 答案 3 1 当 x0 22 2 2fxxxxx 用心 爱心 专心24 又f x 为奇函数 2 2fxf xxx f x x2 2x m 2 y f x 的图象如右所示 2 由 1 知f x 2 2 2 0 0 0 2 0 xxx x xxx 由图象可知 f x在 1 1 上单调递增 要使 f x在 1 a 2 上单调 递增 只需 21 21 a a 解之得31 13aa 或 4 四川省成都外国语学校 四川省成都外国语学校 10 1110 11 学年高一 学年高一 本小题 12 分 已知定义在 R 上的函数 f x对任意实数x y恒有 f xf yf xy 且当0 x 时 0f x 又 2 1 3 f 1 求证 f x为奇函数 2 求证 f x为 R 上的减函数 3 解关于x的不等式 11 2 22 fbxf xf bxf b 2 b 其中 答案 4 1 2 略 3 2 2 b x b 5 四川省成都外国语学校 四川省成都外国语学校 10 1110 11 学年高一 学年高一 本小题 14 分 已知函数 x xf 1 1 x 0 I 0 abf af b 当且时 求 11 ab 的值 II 是否存在实数a b a0 1 1 x1 x x 1 1 0 x1 x f f x 在 0 1 上为减函数 在 1 上是增函数 由 0 a b 且f a f b 可得 0 a 10 而 1 1 x1 x 1 1 0 x1 x f x 当 1 0 b a 时 1 x 1 x f 在 0 1 上为减函数 故 a b f b a f 即 a 1 b 1 b 1 a 1 解得 a b 故此时不存在适合条件的实数 a b 当 1 b a 时 1 f x 1 x 在 1 上是增函数 故 b b f a a f 即 b b 1 1 a a 1 1 此时 a b 是方程01xx 2 的根 此方程无实根 故此时不存在适合条件的实数 a b 当 1 0 a 1 b 时 由于 b a 1 而 b a 0 1 f 故此时不存在适 合条件的实数 a b 综上可知 不存在适合条件的实数 a b 6 山西省四校山西省四校 20112011 届高三文 届高三文 满分 12 分 已知函数 f x ax3 bx2 9x 2 若 f x 在 x 1 处的切线方程为 3x y 6 0 求函数 f x 的解析式 若对任意的 x 2 4 1 都有 f x 12 2 tt成立 求函数 g t 2 2 tt的最值 答案答案 6 12 分 简答 923 2 bxaxxf 3 1 3 1 f f 2 分 4 12 a b 4 分 列表如下 用心 爱心 专心26 x 1 4 1 1 4 2 1 2 1 3 2 2 3 2 3 2 2 2 fx 0 0 f x 57 16 11 2 极大值 极小值2 4 f x min 2 8 分 对任意的 x 2 4 1 都有 f x 12 2 tt成立 f x min 2 12 2 tt 31 t 10 分 g t 2 2 tt 31 t t 2 1 最小值 4 9 t 3 最大值 10 12 分 7 山西省四校山西省四校 20112011 届高三文 届高三文 满分 12 分 设函数 2 4ln1f xxx 求函数 xf的单调递增区间 若关于x的方程 2 40f xxxa 在区间 1 e内恰有两个相异的实根 求实数 a的取值范围 答案 7 12 分 解 1 函数 f x的定义域为 0 1 分 2 42 2 2 2 1 2 1 xxxx fxx xxx 3 分 令 0fx 得02x 故函数 f x的单调递增区间为 0 2 4 分 2 方法 1 2 4ln1f xxx 2 404ln2101f xxxaxxa 即在 e 内恰有两个相异的实根 令 4ln21g xxxa 442 2 x g x xx 则 6 分 42 02 x g xx x 令得 列表如下 用心 爱心 专心27 x 1 1 2 2 2 ee g x 0 g x 1 g 2 g极大值 g e 1 3ga 32g eea 24ln25ga 1 g eg 8 分 要使 2 401f xxxa 在 e 内恰有两个相异的实根 只需 0 2 g eg 即3204ln25eaa 324ln25ea a 的取值范围是 32 4ln25e 12 分 方法 2 2 4ln1f xxx 2 404ln211f xxxaxxa 即在 e 内恰有两个相异的实根 令 4ln21h xxx 442 2 x x xx 则h 6 分 42 02 x h xx x 令得 列表如下 x 1 1 2 2 2 ee h x 0 h x 1 h 2 h极大值 h e 1 3h 32h ee 24ln25h 1 h eh 8 分 要使 2 41f xxxa 在 e 内恰有两个相异的实根 只需 2 h eah 即324ln25ea a 的取值范围是 32 4ln25e 12 用心 爱心 专心28 8 福建省福州八中 福建省福州八中 20112011 届高三理 届高三理 本小题 13 分 在长为 100 千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂 工厂与铁路的距离CA为 20 千 米 由铁路上的B处向工厂提供原料 公路与铁路每吨千米的货物运价比为 5 3 为节 约运费 在铁路的D处修一货物转运站 设AD距离为x千米 沿CD直线修一条公路 如图 1 将每吨货物运费y 元 表示成x的函数 2 当x为何值时运费最省 答案 8 本小题 13 分 解 1 设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为 5k 3k 元 k为常数 AD x 则DB 100 x 40020 22222 xxACADCD 3 分 每吨货物运费y 100 x 3k 400 2 x 5k 元 0 x0 解得x 15 9 分 当 0 x 15 时 y 15 时 y 0 当x 15 时 y有最小值 12 分 答 当 x 为 15 千米时运费最省 13 分 9 河北省唐山一中河北省唐山一中 20112011 届高三文 届高三文 本题满分 12 分 已知函数f x 3 1 x3 a 2 x2 a a 4 x 5 在区间 1 2 内单调递减 求a的取 值范围 答案 9 9 解 1 f x x2 2 a 2 x a a 4 x a x a 4 4 分 f x 0 时 对任意 0 0 0 1 axfx 符合题意 当 a0 时 f x 1 且对任意的 a b R 有 f a b f a f b 求证 f 0 1 求证 对任意的 x R 恒有 f x 0 3 证明 f x 是 R 上的增函数 4 若 f x f 2x x2 1 求 x 的取值范围 解 1 令 a b 0 则 f 0 f 0 2 f 0 0 f 0 1 2 令 a x b x 则 f 0 f x f x 1 xf xf 由已知 x 0 时 f x 1 0 当 x0 f x 0 0 1 xf xf 又 x 0 时 f 0 1 0 对任意 x R f x 0 3 任取 x2 x1 则 f x2 0 f x1 0 x2 x1 0 1 1212 1 2 xxfxfxf xf xf f x2 f x1 f x 在 R 上是增函数 4 f x f 2x x2 f x 2x x2 f x2 3x 又 1 f 0 f x 在 R 上递增 由 f 3x x2 f 0 得 3x x2 0 0 x 3 5 三明市三校联考 本小题满分 14 分 已知函数1 1 1ln xkxxf I 求函数 xf的单调区间 若0 xf恒成立 试确定实数 k 的取值范围 证明 2 2 1ln 在xx上恒成立 用心 爱心 专心42 n i nNn nn i i 2 1 4 1 1 ln 解 I 函数k x xfxf 1 1 1 的定义域为 当0 k时0 1 1 k x xf 则 1 在xf上是增函数 当0 k时 若 1 1 1 k x 时有0 1 1 k x xf 若 1 1 k x时有0 1 1 k x xf则 1 1 1 k xf 在上是增函数 在 1 1 k 上是减函数 4 分 由 I 知0 k 时 1 在xf递增 而0 01 2 xfkf不成立 故0 k 又由 I 知k k fyln 1 1 max 要使0 xf恒成立 则0ln 1 1 max k k fy即可 由10ln kk得 8 分 由 知 当1 k时有 1 0 在xf恒成立 且 2 在xf上是减函 数 0 2 f 0 2 xfx恒成立 即 2 2 1ln 在xx上恒成立 11 分 令 2 1nx 则1ln 22 nn 即 1 1 ln2 nnn 从而 2 1 1 ln n n n 4 1 2 1 2 3 2 2 2 1 1 ln 5 4ln 4 3ln 3 2ln nnn n n 成立 14 分 6 玉溪一中期中理 本小题 12 分 已知函数 1 1 ln 1 xx f x x 设 2 0 g xxfxx 试证明 g x在区间 0 内是增函数 若存在唯一实数 1 am m 使得 0g a 成立 求正整数m的值 若0 x时 f xn 恒成立 求正整数n的最大值 证明 1 1 1 ln 1 0 xx f xx x 2 1 ln 1 xx fx x 1 ln 1 0 g xxxx 则 0 1 x g x x g x在 0 内单调递增 用心 爱心 专心43 解 2 2 1 ln30g 3 2 1 ln2 0g 由 1 可得 g x在 0 内 单调递增 即 0g x 存在唯一根 3 2 a 2m 解 3 由 f xn 得 nf x 且 0 x 恒成立 由 2 知存在唯一实数 3 2 a 使 0g a 且当ax0 时 0g x 0fx 当ax 时 0g x 0fx 当ax 时 f x取得最小值 1 1 ln 1 aa f a a 0g a a 1aln 10 1aln 1a 于是 1 f aa 3 2 a 3 4 f a 3n 故正整数n的最大值为 3 题组四题组四 1 2009 宣威六中第一次月考 已知函数 32 f xxbxcxd 在区间 1 2 上是减函 数 那么bc B A 有最大值 15 2 B 有最大值 15 2 C 有最小值 15 2 D 有最小值 15 2 答案 B 2 2009 枣庄一模 如果函数 10 1 aabaxf x 且的图象经过第一 二 四 象限 不经过第三象限 那么一定有 A 010 ba且B 1010 ba且 C 01 ba且D 01 ba且 答案 B 用心 爱心 专心44 3 2009 韶关一模 已知函数 2 1 log 3 x f xx 若实数 0 x是方程 0f x 的解 且 10 0 xx 则 1 f x的值为 A 恒为正值 B 等于0 C 恒为负值 D 不大于0 答案 A 4 2009 玉溪一中期中 已知定义在R上的函数 f x的反函数为 1 fx 且 1 f x 的 反函数恰好为 1 1 fx 若 1 3999f 则 2009 f 答案 1991 5 2009 上海十四校联考 已知Rxf是定义在 上的函数 且 Rxf 对任意的 1 1 都有下列两式成立 6 1 1 1 5 5 gxxfxgxfxfxfxf则若 的值为 答案 1 6 2009 上海八校联考 某同学在研究函数 1 x f xxR x 时 分别给出下面几 个结论 等式 0fxf x 对xR 恒成立 函数 f x的值域为 1 1 若 12 xx 则一定有 12 f xf x 函数 g xf xx 在R上有三个零点 其中正确结论的序号有 请将你认为正确的结论的序号都填上 答案 7 2009 青岛一模 已知函数 32 3 31f xaxx a Ra 且0 a 求函数 xf的极 大值与极小值 解 由题设知 2 363 0 2 a xaxxaxxfa 令 2 00 fxxx a 得 或 用心 爱心 专心45 当0a 时 随x的变化 fx与 f x的变化如下 x 0 0 2 0 a 2 a 2 a fx 0 0 f x 极大极小 3 01f xf a 极大 2 243 1f xf aaa 极小 当0a 时 随x的变化 fx与 f x的变化如下 x 2 a 2 a 2 0 a 0 0 fx 0 0 f x极小极大 3 01f xf a 极大 2 243 1f xf aaa 极小 总之 当0a 时 3 01f xf a 极大 2 243 1f xf aaa 极小 当0a 时 3 01f xf a 极大 2 243 1f xf aaa 极小 8 2009 宣威六中第一次月考 设函数 xf 32 3 1 223 bxaaxx 0 a 1 1 求函数 xf的单调区间 极值 2 若当 2 1 aax时 恒有 x f a 试确定a的取值范围 解 1 22 34 aaxxxf 令 22 34 aaxxxf 得 x a 或 x 3a 由表 x a 3aa 3 3 a 用心 爱心 专心46 fx 0 0 f x递减ba 3 3 4 递增 b 递减 可知 当 ax 时 函数 f x 为减函数 当x 3 a时 函数 f x 也为 减函数 当 3 aax 时 函数 f x 为增函数 2 由 x f a 得 a 22 34aaxx a 0 a 1 a 1 2a x f 22 34aaxx 在 a 1 a 2 上为减函数 x f max f a 1 2a 1 x f min f a 2 4a 4 于是 问题转化为求不等式组 21 44 aa aa 的解 解不等式组 得 5 4 a 1 又 0 a 1 所求a的取值范围是 5 4 a 1 9 2009 上海闸北区 设 x x a xf 21 2 其中实常数1 a 求函数 xf的定义域和值域 试研究函数 xf的基本性质 并证明你的结论 解 解 函数 xf的定义域为R 12 1 1 21 221 xx x a xf 当1 a时 因为02 x 所以112 x 1 12 1 0 a a x 从而axf 1 所以函数 xf的值域为 1 a 假设函数 xf是奇函数 则 对于任意的Rx 有 xfxf 成立 即10 12 1 21 2 21 2 aa aa x x x x x 当1 a时 函数 xf是奇函数 当1 a 且1 a时 函数 xf是非奇非偶函 数 用心 爱心 专心47 对于任意的Rxx 21 且 21 xx 1 xf 2 xf0 21 21 12 2 1 21 121 xx xxx a 当1 a时 函数 xf是递减函 数 10 2009 重点九校联考 已知指数函数 xgy 满足 g 2 4 定义域为R的函数 mxg nxg xf 2 是奇函数 1 确定 xgy 的解析式 2 求m n的值 3 若对任意的tR 不等式 22 2 2 0f ttftk 恒成立 求实数k的取值范围 解 1 x xgy2 2 由 1 知 m n xf x x 1 2 2 因为 f x是奇函数 所以 0 f 0 即10 2 1 n m n m xf x x 1 2 21 又由 f 1 f 1 知 2 1 2 1 1 4 21 m mm xf 3 由 2 知 1 1 211 22221 x xx f x 易知 f x在 上为减函数 又因 f x是奇函数 从而不等式 22 2 2 0f ttftk 等价于 222 2 2 2 f ttftkf kt 因 f x为减函数 由上式推得 22 22ttkt 用心 爱心 专心48 即对一切tR 有 2 320ttk 从而判别式 1 4 120 3 kk 11 2009 日照一模 已知函数 32 f xxaxbx I 若函数 yf x 在 2x 处有极值 6 求 yf x 的单调递减区间 解 I 2 32fxxaxb 依题意有 2 0 2 6 f f 即 1240 8426 ab ab 解得 5 2 2 a b 2 352fxxx 由 0fx 得 1 2