2013高考数学第一轮基础复习课后作业 6-4 数列的综合问题与数列的应用 新人教B版

用心 爱心 专心 6 46 4 数列的综合问题与数列的应用数列的综合问题与数列的应用 1 文 2011 德州模拟 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 1 且 4a1 2a2 a3成等 差数列 则 S4 A 7 B 8 C 15 D 16 答案 C 解析 4a1 2a2 a3成等差数列 4a2 4a1 a3 an 是等比数列 a1 1 4q 4 q2 解之得 q 2 S4 15 1 24 1 2 1 理 2011 丹东模拟 已知 an 为等差数列 bn 为等比数列 其公比 q 1 且 bi 0 i 1 2 n 若 a1 b1 a11 b11 则 A a6 b6 B a6 b6 C a6b6或 a6 b6 a1 a11 2 b1 b11 2b1b11 2 2011 淄博模拟 已知 an 是递增数列 且对任意 n N 都有 an n2 n 恒成立 则实数 的取值范围是 A B 0 7 2 C 2 D 3 答案 C 解析 an n2 n n 2 2 2 4 对任意 n N an 1 an 1 2 故选 C 2 3 文 2011 福建质检 在各项均为正数的等比数列 an 中 a3a5 4 则数列 log2an 的前 7 项和等于 A 7 B 8 C 27 D 28 用心 爱心 专心 答案 A 解析 在各项均为正数的等比数列 an 中 由 a3a5 4 得 a 4 a4 2 2 4 设 bn log2an 则数列 bn 是等差数列 且 b4 log2a4 1 所以 bn 的前 7 项和 S7 7b4 7 7 b1 b7 2 理 设函数 f x xm ax 的导函数 f x 2x 1 则数列 n N 的前 n 项 1 f n 和是 A B n n 1 n 2 n 1 C D n n 1 n 1 n 答案 A 解析 f x mxm 1 a 2x 1 a 1 m 2 f x x x 1 1 f n 1 n n 1 1 n 1 n 1 Sn 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 n n 1 4 文 2011 山西运城教学检测 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 过点 P n Sn 和 Q n 1 Sn 1 n N 的直线的斜率为 3n 2 则 a2 a4 a5 a9的值等于 A 52 B 40 C 26 D 20 答案 B 解析 由题意得 3n 2 Sn 1 Sn 3n 2 即 Sn 1 Sn n 1 n an 1 3n 2 an 3n 5 因此数列 an 是等差数列 a5 10 而 a2 a4 a5 a9 2 a3 a7 4a5 40 故选 B 理 两个正数 a b 的等差中项是 一个等比中项是 2 且 aa 0 用心 爱心 专心 a 3 b 4 e c a a2 b2 a 5 3 5 2011 江西新余四中期末 在 ABC 中 是角 A B C 成等差数 sinA cosA 2cosC cosA 2sinC sinA 列的 A 充分非必要条件 B 充要条件 C 必要非充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 2sinAsinC sin2A 2cosAcosC cos2A 2cos A C sinA cosA 2cosC cosA 2sinC sinA 1 0 cosB B A C 2B A B C 成等差数列 但当 A B C 成等差数列时 1 2 3 不一定成立 如 A B C 故是充分非必要条件 故选 A sinA cosA 2cosC cosA 2sinC sinA 2 3 6 6 文 2011 哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学联考 已知 an 是等差数列 Sn为其前 n 项和 若 S21 S4000 O 为坐标原点 点 P 1 an 点 Q 2011 a2011 则 OP OQ A 2011 B 2011 C 0 D 1 答案 A 解析 由 S21 S4000得到 Sn关于 n 2010 5 对称 故 Sn的最大 或最小 值 21 4000 2 S2010 S2011 故 a2011 0 2011 an a2011 2011 an 0 2011 故选 A OP OQ 理 2011 北京西城期末 已知各项均不为零的数列 an 定义向量 cn an an 1 bn n n 1 n N 则下列命题中为真命题的是 A 若对于任意 n N 总有 cn bn成立 则数列 an 是等差数列 B 若对于任意 n N 总有 cn bn成立 则数列 an 是等比数列 C 若对于任意 n N 总有 cn bn成立 则数列 an 是等差数列 D 若对于任意 n N 总有 cn bn成立 则数列 an 是等比数列 答案 A 解析 若对任意 n N 有 cn bn 则 所以 an n an 1 n 1 an 2 n 2 an 1 an an 2 an 1 即 2an 1 an an 2 所以数列 an 为等差数列 7 文 2010 浙江杭州 如图 是一个算法的程序框图 该算法输出的结果是 用心 爱心 专心 A B 1 2 2 3 C D 3 4 4 5 答案 C 解析 循环过程为 i 1 4 i 2 m 1 n 1 1 2 i 2 4 i 3 m 2 n 1 1 2 1 2 3 i 3 4 i 4 m 3 n 1 1 2 1 2 3 1 3 4 i 4 4 不成立 输出 n 的值 故 n 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 3 4 理 2010 北京延庆县模考 某程序框图如图所示 该程序运行后输出的 k 的值是 用心 爱心 专心 A 4 B 5 C 6 D 7 答案 D 解析 由程序框图可知 S 1 2 22 2k 2k 1 1 由 S 100 得 2k 1 101 26 64 27 128 k 1 7 k 6 结合语句 k k 1 在 S S 2k后面知 当 k 6 时 S 127 k 的值再增加 1 后输出 k 值为 7 点评 这是最容易出错的地方 解这类题时 既要考虑等比数列求和 在 k 取何值时 恰满足 S 100 又要顾及 S 与 k 的赋值语句的先后顺序 8 文 2011 临沂模拟 数列 an bn 都是等差数列 a1 5 b1 7 且 a20 b20 60 则 an bn 的前 20 项和为 A 700 B 710 C 720 D 730 答案 C 解析 an 与 bn 均为等差数列 an bn 为等差数列 首项 a1 b1 12 又 a20 b20 60 前 20 项和为 S20 720 20 12 60 2 理 2010 湖北质检 若数列 an 满足 d n N d 为常数 则称数列 an 1 an 1 1 an 为调和数列 已知数列 为调和数列 且 x1 x2 x20 200 则 x5 x16 1 xn 答案 20 用心 爱心 专心 解析 由题意 若 an 为调和数列 则 为等差数列 为调和数列 数列 1 an 1 xn xn 为等差数列 由等差数列的性质可知 x5 x16 x1 x20 x2 x19 x10 x11 20 故填 20 200 10 9 文 2011 潍坊模拟 已知等比数列中 a1 3 a4 81 若数列 bn 满足 bn log3an 则数列 的前 n 项和 Sn 1 bnbn 1 答案 n n 1 解析 a4 a1q3 81 3q3 q 3 an 3n bn log3an n 令 cn 则 cn 1 bnbn 1 1 n n 1 1 n 1 n 1 cn 的前 n 项和 Sn c1 c2 cn 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 n n 1 理 2011 杭州二检 已知 an 是公差不为 0 的等差数列 bn 是等比数列 其中 a1 2 b1 1 a2 b2 2a4 b3 且存在常数 使得 an log bn 对每一个正整数 n 都成立 则 答案 4 解析 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 则Error 解得Error 舍去 或Error 所 以 an 2n bn 4n 1 若 an log bn 对每一个正整数 n 都成立 则满足 2n log 4n 1 即 2n n 1 log 4 因此只有当 2 2 时上式恒成立 所 以 4 10 文 2011 江苏镇江市质检 已知 1 x1 x2 7 成等差数列 1 y1 y2 8 成等比数 列 点 M x1 y1 N x2 y2 则线段 MN 的中垂线方程是 答案 x y 7 0 解析 由条件得 x1 3 x2 5 y1 2 y2 4 MN 的中点 4 3 kMN 1 MN 的中垂线方程为 y 3 x 4 即 x y 7 0 理 2010 哈尔滨模拟 已知双曲线 an 1y2 anx2 an 1an n 2 n N 的焦点在 y 轴 上 一条渐近线方程是 y x 其中数列 an 是以 4 为首项的正项数列 则数列 an 的通项 2 公式是 答案 an 2n 1 解析 双曲线方程为 1 焦点在 y 轴上 又渐近线方程为 y x y2 an x2 an 12 an an 12 用心 爱心 专心 又 a1 4 an 4 2n 1 2n 1 11 在圆 x2 y2 10 x 内 过点 5 3 有 n 条长度成等差数列的弦 最短弦长为数列 an 的首项 a1 最长弦长为 an 若公差 d 那么 n 的取值集合为 1 3 2 3 A 4 5 6 B 6 7 8 9 C 3 4 5 D 3 4 5 6 答案 A 解析 圆 x2 y2 10 x x 5 2 y2 5 圆心为 5 0 半径为 5 故最长弦长 an 10 最短弦长 a1 8 10 8 n 1 d d 2 n 1 d 4 n0 b 0 A 为 a b 的等差中项 正数 G 为 a b 的等比中项 则 ab 与 AG 的大小关系是 A ab AG B ab AG C ab AG D 不能确定 答案 C 解析 由条件知 a b 2A ab G2 A G 0 AG G2 即 AG ab a b 2ab 故选 C 点评 在知识交汇点处命题是常见命题方式 不等式与数列交汇的题目要特别注意等 差 等比 数列的公式及性质的运用 理 已知等比数列 an 的各项均为正数 公比 q 1 设 P log0 5a5 log0 5a7 1 2 Q log0 5 P 与 Q 的大小关系是 a3 a9 2 A P Q B PQ 答案 D 解析 P log0 5 log0 5 Q log0 5 a5a7a3a9 a3 a9 2 q 1 a3 a9 a3 a9 2a3a9 用心 爱心 专心 又 y log0 5x 在 0 上递减 log0 5 log0 5 即 Q P 故选 D a3 a9 2a3a9 13 文 2011 南昌一模 小王每月除去所有日常开支 大约结余 a 元 小王决定采用 零存整取的方式把余钱积蓄起来 每月初存入银行 a 元 存期 1 年 存 12 次 到期取出本 和息 假设一年期零存整取的月利率为 r 每期存款按单利计息 那么 小王存款到期利息 为 元 答案 78ar 解析 依题意得 小王存款到期利息为 12ar 11ar 10ar 3ar 2ar ar ar 78ar 元 12 12 1 2 理 2011 湖北荆门调研 秋末冬初 流感盛行 荆门市某医院近 30 天每天入院治疗 流感的人数依次构成数列 an 已知 a1 1 a2 2 且 an 2 an 1 1 n n N 则该 医院 30 天入院治疗流感的人数共有 人 答案 255 解析 an 2 an 1 1 n n N n 为奇数时 an 2 an n 为偶数时 an 2 an 2 即数列 an 的奇数项为常数列 偶数项构成以 2 为首项 2 为公差的等差数 列 故这 30 天入院治疗流感人数共有 15 15 2 2 255 人 15 14 2 14 文 2011 江苏 13 设 1 a1 a2 a7 其中 a1 a3 a5 a7成公比为 q 的等 比数列 a2 a4 a6成公差为 1 的等差数列 则 q 的最小值是 答案 3 3 解析 a1 a3 a5 a7成公比为 q 的等比数列 且 a1 1 a3 q a5 q2 a7 q3 a2 a4 a6成公差为 1 的等差数列 a4 a2 1 a6 a2 2 a2 1 q a3 a2 1 q2 a5 a4 a2 1 2 q3 a7 a6 a2 2 3 q 1 q 且 q q 2 3 3 3 3 q 的最小值为 3 3 理 2011 福州市期末 河北冀州期末 已知实数 a b c d 成等比数列 且函数 y ln x 2 x 当 x b 时取到极大值 c 则 ad 等于 答案 1 分析 利用导数可求 b c 由 a b c d 成等比数列可得 ad bc 用心 爱心 专心 解析 y 1 令 y 0 得 x 1 当 2 x0 当 x 1 时 1 x 2 y 0 b 1 c ln 1 2 1 1 ad bc 1 15 2011 蚌埠质检 已知数列 an 满足 a1 1 a2 2 an 2 n N an an 1 2 1 令 bn an 1 an 证明 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 解析 1 b1 a2 a1 1 当 n 2 时 bn an 1 an an an an 1 bn 1 an 1 an 2 1 2 1 2 所以 bn 是以 1 为首项 为公比的等比数列 1 2 2 由 1 知 bn an 1 an n 1 1 2 当 n 2 时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 1 n 2 1 1 2 1 2 1 1 2 n 1 1 1 2 1 n 1 2 3 1 1 2 n 2 5 3 2 3 1 2 当 n 1 时 1 1 1 a1 5 3 2 3 1 2 所以 an n 1 n N 5 3 2 3 1 2 16 文 2011 焦作模拟 已知函数 f x ax的图象过点 1 且点 n 1 1 2 an n2 n N 在函数 f x ax的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 令 bn an 1 an 若数列 bn 的前 n 项和为 Sn 求证 Sn 5 1 2 解析 1 函数 f x ax的图象过点 1 1 2 a f x x 1 2 1 2 又点 n 1 n N 在函数 f x ax的图象上 从而 即 an an n2 an n2 1 2n 1 n2 2n 1 用心 爱心 专心 2 由 bn 得 n 1 2 2n n2 2n 2n 1 2n Sn 3 2 5 22 2n 1 2n 则 Sn 1 2 3 22 5 23 2n 1 2n 2n 1 2n 1 两式相减得 Sn 2 1 2 3 2 1 22 1 23 1 2n 2n 1 2n 1 Sn 5 Sn 5 2n 5 2n 理 2011 山东文 20 等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的 某一个数 且 a1 a2 a3中的任何两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行 3210 第二行 6414 第三行 9818 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bn an 1 nlnan 求数列 bn 的前 2n 项和 S2n 解析 1 依次验证知 a1 2 a2 6 a3 18 时符合题意 an 2 3n 1 2 bn an 1 nlnan 2 3n 1 1 nln 2 3n 1 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 S2n b1 b2 b2n 2 1 3 32n 1 1 1 1 1 2n ln2 ln3 1 2 3 1 2n 2n ln3 2 nln3 32n nln3 1 1 32n 1 3 1 2011 湖南六校联考 已知 an 是等差数列 Sn是其前 n 项和 a5 19 S5 55 则 过点 P 3 a3 Q 4 a4 的直线的斜率是 A 4 B 1 4 C 4 D 14 用心 爱心 专心 答案 A 解析 Error Error kPQ 4 2 在直角坐标系中 O 是坐标原点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 是第一象限的两个点 若 1 x1 x2 4 依次成等差数列 而 1 y1 y2 8 依次成等比数列 则 OP1P2的面积是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 A 解析 由条件知 x1 2 x2 3 y1 2 y2 4 S 4 3 2 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 1 3 数列 an 是公差 d 0 的等差数列 数列 bn 是等比数列 若 a1 b1 a3 b3 a7 b5 则 b11等于 A a63 B a36 C a31 D a13 答案 A 解析 设数列 bn 的首项为 b1 公比为 q 则 Error 得 d q4 q2 a1 4 a1 q4 q2 a1q2 a1 2 q 1 q2 2 d 于是 b11 a1q10 32a1 a1 2 设 32a1 a1 n 1 则 n 63 b11 a63 a1 2 4 2011 黄冈月考 在数列 an 中 a1 1 anan 1 an 1 1 n n 2 n N 则 的值是 a3 a5 A B 15 16 15 8 C D 3 4 3 8 答案 C 解析 a1 1 anan 1 an 1 1 n a2a1 a1 1 a2 2 a3a2 a2 1 a3 1 2 a4a3 a3 1 a4 3 用心 爱心 专心 a5a4 a4 1 a5 2 3 a3 a5 3 4 5 等差数列 an 的公差 d 0 且 a1 a4 a8成等比数列 则 a1 a4 a8 a2 a5 a9 答案 37 40 分析 此类问题一般依据条件和等差 比 数列的通项 或前 n 项和 公式列方程求 解 解方程时 注意等比数列的首项和公比都不能为 0 解析 a1 a4 a8成等比数列 a a1 a8 2 4 又 an 成等差数列 公差 d a1 3d 2 a1 a1 7d a1 9d 0 原式 9d 12d 16d 10d 13d 17d 37d 40d 37 40