2018高考全国1卷理科数学试卷及答案

绝密 启用前 20182018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 全国一卷 理科数学 全国一卷 理科数学 1 选择题 本题共选择题 本题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 份 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合份 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 题目要求的 1 设 则i i i z2 1 1 z A 0 B C 1 D 2 1 2 2 已知集合 则 02 2 xxxA ACR A B 21 xx 21 xx C D 2 1 xxxx 2 1 xxxx 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一杯 实现翻番 为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况 统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 记为等差数列的前项和 若 则 n S n an 423 3SSS 2 1 a 5 a A 12 B 10 C 10 D 12 5 设函数 若为奇函数 则曲线在点处的切 axxaxxf 23 1 xf xfy 0 0 线方程为 A B C D xy2 xy xy2 xy 6 在中 为边上的中线 为的中点 则ABC ADBCEAD EB A B ACAB 4 1 4 3 ACAB 4 3 4 1 C D ACAB 4 1 4 3 ACAB 4 3 4 1 7 某圆柱的高为 2 地面周长为 16 其三视图如右图 圆柱表面 上的点在正视图上的对应点为 圆柱表面上的点在左MAN 视图上的对应点为 则在此圆柱侧面上 从到的路径BMN 中 最短路径的长度为 A B C 3 D 217252 8 设抛物线的焦点为 过点且斜率为的直线与交于两点 xyC4 2 F 0 2 3 2 CNM 则 FNFM A 5 B 6 C 7 D 8 9 已知函数 若存在 2 个零点 则的取值范 axxfxg xx xe xf x 0 ln 0 xga 围是 A B C D 0 1 0 1 1 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆构成 三个半圆 的直径分别为直角三角形的斜边 直角边 的三边所围成的区ABCBCACAB ABC 域记为 黑色部分记为 其余部分记为 在整个图形中随机取一点 此点取自的概 率分别记为 则 321 ppp A B A B C D 21 pp 31 pp 32 pp 321 ppp 11 已知双曲线 为坐标原点 为的右焦点 过的直线与的两条1 3 2 2 y x COFCFC 渐近线的交点分别为 若为直角三角形 则NM OMN MN A B 3 C D 4 2 3 32 12 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面所成的角都相等 则截此正方体所得 截面面积的最大值为 A B C D 4 33 3 32 4 23 2 3 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 若满足约束条件 则的最大值为 yx 0 01 022 y yx yx yxz23 14 记为数列的前项和 若 则 n S n an12 nn aS 6 S 15 从 2 位女生 4 位男生中选 3 人参加科技比赛 且至少有 1 位女生入选 则不同的选法共 有 种 用数字填写答案 16 已知函数 则的最小值是 xxxf2sinsin2 xf 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 在平面四边形中 ABCD 5 2 45 90 BDABAADC 1 求 ADB cos 2 若 求 22 DCBC C A B 18 12 分 如图 四边形为正方形 分别为的中点 以为折痕把折起 ABCDFE BCAD DFDFC 使点到达点的位置 且 CPBFPF 1 证明 ABFDPEF平面平面 2 求与平面所成角的正弦值 DPABFD 19 12 分 设椭圆的右焦点为 过的直线 与交于两点 点1 2 2 2 y x CFFlCBA 的坐标为 M 0 2 1 当 与轴垂直时 求直线的方程 lxAM 2 设为坐标原点 证明 OOMBOMA 20 12 分 某工厂的某种产品成箱包装 每箱 200 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 如检验出不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取 20 件作检验 再根据检 验结果决定是否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为 10 pp 且各件产品是否为不合格品相互独立 1 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 求的最大值点 pf pf 0 p 2 现对一箱产品检验了 20 件 结果恰有 2 件不合格品 以 1 中确定的作为的值 0 pp 已知每件产品的检验费用为 2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支 付 25 元的赔偿费用 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 求X EX 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作检验 21 12 分 已知函数 xax x xfln 1 1 讨论的单调性 xf 2 若存在两个极值点 证明 xf 21 x x 2 21 21 a xx xfxf 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第 一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系中 曲线的方程为 以坐标原点为极点 轴正半轴为极xOy 1 C2 xky 轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 2 C03cos2 2 1 求的直角坐标方程 2 C 2 若与有且仅有三个公共点 求的方程 1 C 2 C 1 C 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 11 axxxf 1 当时 求不等式的解集 1 a 1 xf 2 若时不等式成立 求的取值范围 1 0 x xxf a 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一 选择题 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 B 8 D 9 C10 A11 B12 A 二 填空题 13 14 15 16 663 16 3 3 2 三 解答题 17 解 1 在中 由正弦定理得 ABD sinsin BDAB AADB 由题设知 所以 52 sin45sinADB 2 sin 5 ADB 由题设知 所以 90ADB 223 cos1 255 ADB 2 由题设及 1 知 2 cossin 5 BDCADB 在中 由余弦定理得BCD 222 2cos 2 258252 2 5 25 BCBDDCBD DCBDC 所以 5BC 18 解 1 由已知可得 所以平面 BFPF BFEF BF PEF 又平面 所以平面平面 BF ABFDPEF ABFD 2 作 垂足为 由 1 得 平面 PHEF HPH ABFD 以为坐标原点 的方向为 y 轴正方向 为单位长 建立如图所示的空间直HHF uuu r BF uu u r 角坐标系 Hxyz 由 1 可得 又 所以 又 DEPE 2DP 1DE 3PE 1PF 2EF 故 PEPF 可得 3 2 PH 3 2 EH 则 为平面 0 0 0 H 3 0 0 2 P 3 1 0 2 D 33 1 22 DP uuu r 3 0 0 2 HP uuu r 的法向量 ABFD 设与平面所成角为 则 DPABFD 3 3 4 sin 43 HP DP HPDP uuu r uuu r uuu ruuu r 所以与平面所成角的正弦值为 DPABFD 3 4 19 解 1 由已知得 的方程为 1 0 Fl1x 由已知可得 点 A 的坐标为或 2 1 2 2 1 2 所以 AM 的方程为或 2 2 2 yx 2 2 2 yx 2 当 l 与 x 轴重合时 0OMAOMB 当 l 与 x 轴垂直时 OM 为 AB 的垂直平分线 所以 OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时 设 l 的方程为 1 0 yk xk 则 直线 MA MB 的斜率之和为 11 A x y 22 B xy 1 2x 2 2x 12 12 22 MAMB yy kk xx 由 得 11 ykxk 22 ykxk 1212 12 23 4 2 2 MAMB kx xk xxk kk xx 将代入得 1 yk x 2 2 1 2 x y 2222 21 4220kxk xk 所以 22 1212 22 422 2121 kk xxx x kk 则 333 1212 2 441284 23 40 21 kkkkk kx xk xxk k 从而 故 MA MB 的倾斜角互补 所以 0 MAMB kk OMAOMB 综上 OMAOMB 20 解 1 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 因此 2218 20 C 1 f ppp 218217217 2020 C 2 1 18 1 2C 1 1 10 fpppppppp 令 得 当时 当时 所以 0fp 0 1p 0 0 1 p 0fp 0 1 1 p 0fp 的最大值点为 f p 0 0 1p 2 由 1 知 0 1p 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数 依题意知 180 0 1 YB 即 20225XY 4025XY 所以 4025 4025490EXEYEY 如果对余下的产品作检验 则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 由于 故应该对余下的产品作检验 400EX 21 解 1 的定义域为 f x 0 2 22 11 1 axax fx xxx 若 则 当且仅当 时 所以在2a 0fx 2a 1x 0fx f x 单调递减 0 若 令得 或 2a 0fx 2 4 2 aa x 2 4 2 aa x 当时 22 44 0 22 aaaa x U 0fx 当时 所以在 22 44 22 aaaa x 0fx f x 2 4 0 2 aa 单调递减 在单调递增 2 4 2 aa 22 44 22 aaaa 2 由 1 知 存在两个极值点当且仅当 f x2a 由于的两个极值点 满足 所以 不妨设 则 f x 1 x 2 x 2 10 xax 12 1x x 12 xx 由于 2 1x 1212122 12121212 2 2 lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x 所以等价于 12 12 2 f xf x a xx 22 2 1 2ln0 xx x 设函数 由 1 知 在单调递减 又 从而 1 2lng xxx x g x 0 1 0g 当时 1 x 0g x 所以 即 22 2 1 2lnxx x 0 12 12 2 f xf x a xx 22 解 1 由 得的直角坐标方程为cosx siny 2 C 22 1 4xy 2 由 1 知是圆心为 半径为的圆 2 C 1 0 A 2 由题设知 是过点且关于轴对称的两条射线 记轴右边的射线为 1 C 0 2 Byy 1 l 轴左边的射线为 由于在圆的外面 故与有且仅有三个公共点等价于与y 2 lB 2 C 1 C 2 C 1 l 只有一个公共点且与有两个公共点 或与只有一个公共点且与有两个公 2 C 2 l 2 C 2 l 2 C 1 l 2 C 共点 当与只有一个公共点时 到所在直线的距离为 所以 故 1 l 2 CA 1 l2 2 2 2 1 k k 或 经检验 当时 与没有公共点 当时 与只有一个 4 3 k 0k 0k 1 l 2 C 4 3 k 1 l 2 C 公共点 与有两个公共点 2 l 2 C 当与只有一个公共点时 到所在直线的距离为 所以 故 2 l 2 CA 2 l2 2 2 2 1 k k