2013届高中数学二轮总复习 综合训练（一） 理 新课标(湖南专用)

1 20132013 届高中数学二轮总复习届高中数学二轮总复习 综合训练 一 综合训练 一 理理 新课标新课标 湖南专湖南专 用用 时量 50 分钟 满分 50 分 解答题 本大题共 4 小题 第 1 2 3 小题各 12 分 第 4 小题 14 分 解答应写出文字说 明 证明过程或演算步骤 1 已知向量a a sinx b b cosx 1 3 2 1 当a ba b时 求 2cos2x sin2x的值 2 求f x a a b b b b在 0 上的值域 2 解析 1 因为a ba b 所以 cosx sinx 0 3 2 所以 tanx 3 2 所以 2cos2x sin2x 2cos2x 2sinxcosx sin2x cos2x 2 2tanx 1 tan2x 20 13 2 因为a a b b sinx cosx 1 2 所以f x a a b b b b sin 2x 2 2 4 因为 x 0 所以 2x 2 3 4 4 4 所以 1 sin 2x 所以 f x 4 2 2 2 2 1 2 所以函数f x 的值域为 2 2 1 2 2 某外资企业计划从应届毕业的大学生中招聘从事外贸翻译工作的人员 现有若干人 进入应聘面试阶段 他们至少精通英语和日语中的一种语言 已知精通英语的有 5 人 精通 日语的有 2 人 现从中随机选 2 人 设X表示选出的 2 人中既精通英语又精通日语的人数 且P X 0 7 10 1 求进入应聘面试阶段的人数 2 求X的分布列和数学期望EX 解 1 设既精通英语又精通日语的人数为x 则进入应聘面试阶段的人数为 7 x人 只精通一种语言的人数为 7 2x人 由题设P X 0 P X 1 1 P X 0 7 10 所以P X 0 因此 解之得x 2 3 10 C27 2x C 27 x 7 2x 6 2x 7 x 6 x 3 10 故进入应聘面试阶段的人数为 5 人 2 由题设X的可能取值为 0 1 2 P X 0 P X 1 3 10 C1 2C1 3 C2 5 6 10 P X 2 C2 2 C2 5 1 10 则X的分布列如下表 X012 2 P 3 10 6 10 1 10 EX 0 1 2 3 10 6 10 1 10 4 5 3 在四棱锥P ABCD中 PD 底面ABCD 底面ABCD为正方形 PD DC E F分别是 AB PB的中点 1 求证 EF CD 2 求DB与平面DEF所成角的正弦值 3 在平面PAD内是否存在一点G 使G在平面PCB上的射影为 PCB的外心 若存在 试确定点G的位置 若不存在 说明理由 解析 以D为坐标原点 以DA DC DP所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角 坐标系 设AD a 则D 0 0 0 A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 E a 0 P 0 0 a a 2 F a 2 a 2 a 2 1 证明 因为 0 0 a 0 EF a 2 a 2 CD 所以 0 0 a 0 0 EF CD a 2 a 2 所以EF CD 2 设平面DEF的一个法向量为n n x y z 则Error 即Error 取x 1 则y 2 z 1 所以n n 1 2 1 设BD与平面DEF所成的角为 则 sin cos n n BD BD n n BD n n a 2a 6 3 6 所以BD与平面DEF所成角的正弦值为 3 6 3 假设存在点G满足题意 因为G 平面PAD 可设G m 0 n 因为 a 0 0 0 a a 0 CB CP 所以BC PC 3 在 Rt PBC中 因为F为斜边PB的中点 所以F 为 Rt PBC的外心 a 2 a 2 a 2 又 m n 由FG 平面PCB FG a 2 a 2 a 2 有 m n a 0 0 a m 0 得m FG CB a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 m n 0 a a a n 0 得n 0 FG CP a 2 a 2 a 2 a2 2 a 2 所以存在点G 其坐标为 0 0 即G为AD的中点 a 2 4 某地政府为科技兴市 欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高 科技工业园区 已知AB BC OA BC且AB BC 2AO 4 km 曲线段OC是以点O为顶点且 开口向右的抛物线的一段 如果要使矩形的相邻两边分别落在AB BC上 且一个顶点落在 OC上 问如何规划才能使矩形工业园区的用地面积S最大 并求出最大的用地面积 精确 到 0 1 km2 解析 以O为原点 OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图所示 依题意可设抛物线方程为y2 2px p 0 且C 4 2 因为 22 2p 4 所以p 1 2 所以曲线段OC的方程为y2 x 0 x 4 y 0 设P y2 y 0 y 2 是曲线段OC上任意一点 则在矩形PQBN中 PQ 2 y PN 4 y2 所以工业园区面积 S PQ PN 2 y 4 y2 y3 2y2 4y 8 又S 3y2 4y 4 令S 0 得y1 y2 2 2 3 因为 0 y 2 所以y 2 3 当y 0 时 S 0 S是y的增函数 2 3 当x 2 时 S 0 S是y的减函数 2 3 所以 当y 时 S取得极大值 2 3 此时 PQ 2 y PN 4 y2