2013高考数学 秒杀必备 放缩法在数列不等式证明的运用论文 人教版

1 放缩法在数列不等式证明中的运用放缩法在数列不等式证明中的运用 高考中利用放缩方法证明不等式 文科涉及较少 但理科却常常出现 且多是在压轴题 中出现 放缩法证明不等式有法可依 但具体到题 又常常没有定法 它综合性强 形式复 杂 运算要求高 往往能考查考生思维的严密性 深刻性以及提取和处理信息的能力 较好 地体现高考的甄别功能 本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法 以冀起到举一 反三 抛砖引玉的作用 一 一 放缩后转化为等比数列 放缩后转化为等比数列 例 1 满足 n b 2 11 1 2 3 nnn bbbnb 1 用数学归纳法证明 n bn 2 求证 123 1111 3333 n n T bbbb 1 2 n T 解 1 略 2 1 3 2 3 nnnn bb bnb 又 n bn 1 32 3 nn bb nN 迭乘得 11 1 32 3 2 nn n bb 1 11 32n n nN b 23411 1111111 2222222 n nn T 点评 把握 这一特征对 进行变形 然后去3 n b 2 1 2 3 nnn bbnb 掉一个正项 这是不等式证明放缩的常用手法 这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳 法 似乎是不可能的 为什么 值得体味 二 放缩后裂项迭加二 放缩后裂项迭加 例 2 数列 其前项和为 n a 11 1 n n a n n n s 求证 2 2 2 n s 解 2 11111 1 234212 n s nn 令 的前项和为 1 2 21 n b nn n bn n T 2 当时 2n 1111 2 22 41 n b nnnn 2 1111 111 11111 212304 344 5641 nn sT nn 712 1042n 点评 本题是放缩后迭加 放缩的方法是加上或减去一个常数 也是常用的放缩手 法 值得注意的是若从第二项开始放大 得不到证题结论 前三项不变 从第四项开始 放大 命题才得证 这就需要尝试和创新的精神 例 3 已知函数的图象在处的切线方程为 0 b f xaxc a x 1 1 f 1yx 1 用表示出a b c 2 若在上恒成立 求的取值范围 lnf xx 1 a 3 证明 111 1 ln 1 232 1 n n nn 解 1 2 略 3 由 II 知 当 1 ln 2 1 xxxfa有时 令 1 ln 1 2 1 2 1 xx x xxfa有 且当 ln 1 2 1 1x x xx 时 令 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 11 ln 1 kkk k k k kk k x 有 即 3 2 1 1 11 2 1 ln 1ln nk kk kk 将上述 n 个不等式依次相加得 1 2 1 1 3 1 2 1 2 1 1ln nn n 整理得 1 2 1ln 1 3 1 2 1 1 n n n n 点评 本题是 2010 湖北高考理科第 21 题 近年 以函数为背景建立一个不等关系 然后对变量进行代换 变形 形成裂项迭加的样式 证明不等式 这是一种趋势 应特 别关注 当然 此题还可考虑用数学归纳法 但仍需用第二问的结论 3 三 三 放缩后迭乘放缩后迭乘 例 4 11 1 1 14124 16 nnn aaaanN 1 求 23 a a 2 令 求数列的通项公式124 nn ba n b 3 已知 求证 1 63 nn f naa 1 1 2 3 2 ffff n 解 1 2 略 由 2 得 2 111 3 423 nn n a 13231 211 42424 nnnnn f n 121 111 111211 1 1 11 1 444444 1 111 4 111 444 nnnnnn n nnn 1 1 1 4 1 1 4 n n f n 2 1 1111 1111 1 4444 1 2 11 1 1