2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题15 导数及其应用

1 20132013 年高考数学年高考数学 易错点点睛与高考突破易错点点睛与高考突破 专题专题 1515 导数及其应导数及其应 用用 难点突破难点突破 难点难点 1 1 利用导数的几何意义利用导数的几何意义 1 已知抛物线 y x2 2 过其上一点 P 引抛物线的切线 l 使 l 与两坐标轴在第一象限 围成的面积最小 求 l 的方程 2 把 x0 3 6 代入 得 l 的方程为 2 6 x 3y 8 0 2 由原点 O 向三次曲线 y x3 3ax2 a 0 引切线 切于点 P1 x1 y1 O P1两点不 重合 再由 P1引此曲线的切线 切于点 P2 x2 y2 P1 P2不重合 如此继续下去 得到点列 Pn xn yn 求 x1 求 xn与 xn 1满足的关系式 若 a 0 试判断 xn与 a 的大小关系并说明理由 3 3 由 2 得 xn 1 axn 2 3 2 1 难点难点 2 2 利用导数探讨函数的单调性利用导数探讨函数的单调性 1 已知 m R 研究函数 f x x e mxmmx63 1 3 2 的单调区间 4 f x 在 1 m 3 上是减函数 当0 m 3 时 x1 x2 在区间 m 3 1 上 g x 0 即 f x 0 5 3 已知 f x ax3 bx2 cx d 是定义在 R 上的函数 其图像交 x 轴于 A B C 三点 若点 B 的坐标为 2 0 且 f x 在 1 0 和 4 5 上有相同的单调性 在 0 2 和 4 5 上有 相反的单调性 1 求 C 的值 6 2 在函数 f x 的图像上是否存在一点 M x0 y0 使得 f x 在点 M 处的切线斜率为 3b 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 说明理由 4 已知函数 f x 3 3 1 x 2 1 b 1 x2 cx b c 为常数 1 若 f x 在 x x1 及 x x2 上单调递增 且在 x x1 x2 上单调递 减 又满足 0 x2 x1 1 求证 b2x1 试比较 t2 bt c 与 x1的大小 并加以证明 7 难点难点 3 3 利用导数求函数的极值和最值利用导数求函数的极值和最值 1 已知函数 f x ax3 cx d a 0 是 R 上奇函数 当 x 1 时 f x 取得极值 2 1 求 f x 的单调区间 2 若对于 x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 m 求 m 的最小值 8 2 设函数 f x 是定义在 1 0 0 1 上奇函数 当 x 1 0 时 f x 2ax 2 1 x a 为实数 1 当 x 0 1 时 求 f x 的解析式 2 若 a 1 试判断 f x 在 0 1 上的单调性 3 是否存在 a 使得当 x 0 1 时 f x 有最大值 6 9 4x 2 x 1 0 x 4 1 又 x 0 4 1 时 h x 0 x 4 1 时 h x 有最小值 h 4 1 16 3 a0 1 证明 0 a1 17 易错点易错点 3 3 导数的应用导数的应用 1 已知函数 f x x3 3x2 9x a 1 求 f x 的单调递减区间 2 若 f x 在区间 2 2 上最大值为 20 求它在该区间上的最小值 错解分析 在闭区间上求函数的最大值和最小值 应把极值点的函数值与两端点的函数 值进行比较大小才能产生最大 小 值点 而上面解答题直接用极大 小 值替代最大 小 18 2 已知函数 f x ax3 3x2 x 1 在 R 上是减函数 求 a 的取值范围 19 4 设函数 f x x ln x m 其中常数 m 为整数 1 当 m 为何值时 f x 0 2 定理 若 g x 在 a b 上连续 且 g a 与 g b 异号 则至少存在一点 x0 a b 使 g x0 0 试用上述定理证明 当整数 m 1 时 方程 f x 0 在 e m m e2m m 内有两个实根 错误解答 令 f x 0 x ln x m 20 5 用长为 90cm 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截去一个小正 形 然后把四边翻转 90 角 再焊接而成 如图 问该容器高为多少时 容器的容积最 大 最大容积是多少 21 特别提醒 1 证函数 f x 在 a b 上单调 可以用函数的单调性定义 也可用导数来证明 前 者较繁 后者较易 要注意若 f x 在 a b 内个别点上满足 f x 0 或不存在但连续 其余点满足 f x 0 或 f x 0 时 函数 f x 在 上有极值 23 24 5 某企业有一条价值 a 万元的流水生产线 要提高该流水生产线的生产能力 提高产品的 增加值 就要对充水生产线进行技术改造 假设增加值 y 万元与技改把风入 x 万元之间的 关系满足 y 与 a x x2成正比例 当 x 2 a 时 y 2 3 a 0 2xa x t 其中 t 为常数且 t 0 2 1 设 y f x 求出 f x 的表达式 并求其定义域 答案 f x 8a2x2 12x3 0 x t ta 21 2 2 1 t 2 2 求出增加值 y 的最大值 并求出此时的技改投入 x 值 25 解析 y sinx cosx sinx xcosx x 2 时 y 0 3 已知函数 f x x xalnln 在 1 上为减函数 则 a 的取值范围为 A 0 a e 1 B 01ln a e 恒成立 x 1 ea a e a e 4 函数 y 2x3 3x2 12x 5 在 0 3 上的最大值 最小值分别是 26 6 函数 f x x3 2x 3 的图像在 x 1 处的切线与圆 x2 y2 8 的位置关系是 A 相切 B 相交且过圆心 C 相交但不过圆心 D 相离 7 设集合A 0 1 B 1 2 函数f x Error Error 若x0 A 且f f x0 A 则x0的取 值范围是 A B log32 1 log2 3 2 1 C D 2 3 1 0 3 4 27 8 函数f x lg x 0 x R R 有下列命题 x2 1 x f x 的图象关于y轴对称 f x 的最小值是 2 f x 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 f x 没有最大值 其中正确命题的序号是 请填上所有正确命题的序号 方法二 当n 0 时 f x 1 x 0 1 则 log2x 1 x 0 1 1 2 28 10 已知定义域为 R R 的函数f x 是奇函数 2x b 2x 1 a 1 求a b的值 11 已知函数f x g x 分别是二次函数f x 和三次函数g x 的导函数 它们在同 一坐标系下的图象如图所示 设函数h x f x g x 则 A h 1 h 0 h 1 B h 1 h 1 h 0 C h 0 h 1 h 1 D h 0 h 1 h 1 答案 D 解析 取特殊值 令f x x2 g x x3 则h 0 h 1 h 1 1 2 1 3 29 12 下列四个命题中 正确的是 A 对于命题p x R R 使得x2 x 1 0 则綈p x R R 均有x2 x 1 0 B 函数f x e x ex切线斜率的最大值是 2 C 已知函数f a sinxdx 则 f 1 cos1 a 0 f 2 D 函数 y 3 2x 1 的图象可以由函数 y 2x的图象仅通过平移变换得到 13 设函数y f x 是定义在 R R 上以 1 为周期的函数 若g x f x 2x在区间 2 3 上 的值域为 2 6 则函数g x 在 12 12 上的值域为 A 2 6 B 20 34 C 22 32 D 24 28 14 由直线x x y 0 与曲线y cosx所围成的封闭图形的面积为 3 3 A B 3 2 1 2 C D 1 3 答案 C 解析 直线x x y 0 与曲线y cosx所围成的封闭图形的面积为 3 3 cosxdx 3 15 已知函数f x ax3 bx2 cx 其导函数y f x 的图象经过点 1 0 2 0 30 如图所示 则下列说法中不正确的是 当x 时 函数f x 取得极小值 f x 有两个极值点 当x 2 时 函数f x 3 2 取得极小值 当x 1 时 函数f x 取得极大值 16 函数 f x xlnx 则 f x 的单调递减区间是 答案 0 e 1 解析 令 f x lnx 11 时 f t x 5 4 5 56 x 恒成立 试求 m 的最大值 21 已知函数 f x x3 bx2 5cx 2d 在 0 上单调递减 在 0 6 上单调递增 且方程 33 f x 0 有 3 个实根 m n 1 1 求 f 4 的取值范围 AB 9 AC 3 34 BC 15 22 ABAC 由 A 到 C 所需要时间为 t 34 23 函数 y f x 在区间 0 内可导 导函数 f x 是减函数 且 f x 0 设 x0 0 y kx m 是 y f x 在点 x0 f x0 得的切线方程 并设函数 g x kx m 1 用 x0 f x0 f x0 表示 m 3 若关