【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)

第 1 页 共 28 页 2018 年安徽省合肥市高考数学二模试卷 理科 年安徽省合肥市高考数学二模试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知复数 z 满足 z 1 2i i i 是虚数 则复数 z 在复平面内对应的点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 已知集合 A x 2 x 3 集合 B x x 1 则 A B A 2 1 B 2 3 C 1 D 3 3 命题 p a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 有实数解 则 p 为 A a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 有实数解 B a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 没有实数解 C a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 没有实数解 D a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 有实数解 4 在直角坐标系中 若角 的终边经过点 则 sin A B C D 5 中国古代词中 有一道 八子分绵 的数学名题 九百九十六斤绵 赠分八 子做盘缠 次第每人多十七 要将第八数来言 题意是 把 996 斤绵分给 8 个 儿子作盘缠 按照年龄从大到小的顺序依次分绵 年龄小的比年龄大的多 17 斤 绵 那么第 8 个儿子分到的绵是 A 174 斤B 184 斤C 191 斤D 201 斤 6 执行如图所示的程序框图 若输出的结果为 1 则输入 x 的值为 第 2 页 共 28 页 A 3 或 2B 2 或 2C 3 或 1D 2 或 1 或 3 7 小李从网上购买了一件商品 快递员计划在下午 5 00 6 00 之间送货上 门 已知小李下班到家的时间为下午 5 30 6 00 快递员到小李家时 如果小 李未到家 则快递员会电话联系小李 若小李能在 10 分钟之内到家 则快递员 等小李回来 否则 就将商品存放在快递柜中 则小李需要去快递柜收取商品 的概率为 A B C D 8 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F G 分别为棱 CD CC1 A1B1的中点 用 过点 E F G 的平面截正方体 则位于截面以下部分的几何体的侧 左 视图 为 A B C D 9 已知函数 实数 a b 满足不等式 f 2a b f 4 3b 0 则 第 3 页 共 28 页 下列不等式恒成立的是 A b a 2B a 2b 2C b a 2D a 2b 2 10 已知双曲线 C 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 A B 是双曲线 C 上的两点 且 3 cos AF2B 则该双曲线的离心率为 A B C D 11 已知函数 f x 2sin x 0 0 f f 0 且 f x 在 0 上单调 下列说法正确的是 A B C 函数 f x 在上单调递增 D 函数 y f x 的图象关于点对称 12 已知点 I 在 ABC 内部 AI 平分 BAC 对满足上 述条件的所有 ABC 下列说法正确的是 A ABC 的三边长一定成等差数列 B ABC 的三边长一定成等比数列 C ABI ACI CBI 的面积一定成等差数列 D ABI ACI CBI 的面积一定成等比数列 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 第 4 页 共 28 页 13 已知两个单位向量 的夹角为 则 14 在 2x 1 2 x 2 3的展开式中 x2的系数等于 15 已知半径为 3cm 的球内有一个内接四棱锥 S ABCD 四棱锥 S ABCD 的侧棱 长都相等 底面是正方形 当四棱锥 S ABCD 的体积最大时 它的底面边长等于 cm 16 为保护环境 建设美丽乡村 镇政府决定为 A B C 三个自然村建造一 座垃圾处理站 集中处理 A B C 三个自然村的垃圾 受当地条件限制 垃圾 处理站 M 只能建在与 A 村相距 5km 且与 C 村相距的地方 已知 B 村在 A 村的正东方向 相距 3km C 村在 B 村的正北方向 相距 则垃圾处 理站 M 与 B 村相距 km 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 17 12 00 分 已知等比数列 an 的前 n 项和 Sn满足 4S5 3S4 S6 且 a3 9 求数列 an 的通项公式 设 bn 2n 1 an 求数列 bn 的前 n 项的和 Tn 18 12 00 分 为了解 A 市高三数学复习备考情况 该市教研机构组织了一次 检测考试 并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布 直方图 第 5 页 共 28 页 根据频率分布直方图 估计该市此次检测理科数学的平均成绩 u0 精 确到个位 研究发现 本次检测的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 X N 2 u u0 约为 19 3 按以往的统计数据 理科数学成绩能达到升一本分数 要求的同学约占 46 据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约 是多少分 精确到个位 已知 A 市理科考生约有 1000 名 某理科学生此次 检测数学成绩为 107 分 则该学生全市排名大约是多少名 说明 表示 x x1的概率 用来将非标准正 态分布化为标准正态分布 即 X N 0 1 从而利用标准正态分布表 x0 求 x x1时的概率 P x x1 这里 x0 相应于 x0的值 x0 是指总体 取值小于 x0的概率 即 x0 P x x0 参考数据 0 7045 0 54 0 6772 0 46 0 21 0 5832 19 12 00 分 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD AB CD AB AD O 为 AD 中点 AD AB 2CD 2 求证 平面 POB 平面 PAC 求二面角 A PC D 的余弦值 20 12 00 分 已知点 A 1 0 和动点 B 以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O x2 y2 4 求动点 B 的轨迹方程 已知点 P 2 0 Q 2 1 经过点 Q 的直线 l 与动点 B 的轨迹交于 第 6 页 共 28 页 M N 两点 求证 直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值 21 12 00 分 已知函数 f x x 1 ex ax2 e 是自然对数的底数 判断函数 f x 极值点的个数 并说明理由 若 x R f x ex x3 x 求 a 的取值范围 请考生在请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 选选 修修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 10 00 分 已知过点 P 0 1 的直线 l 的参数方程为 t 为 参数 在以坐标原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C 的方 程为 2asin cos2 0 a 0 求曲线 C 的直角坐标方程 若直线 l 与曲线 C 分别交于点 M N 且 PM MN PN 成等比数列 求 a 的值 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知函数 f x 3x m 若不等式 f x m 9 的解集为 1 3 求实数 m 的值 若 m 0 函数 g x f x 2 x 1 的图象与 x 轴围成的三角形的面积 大于 60 求 m 的取值范围 第 7 页 共 28 页 2018 年安徽省合肥市高考数学二模试卷 理科 年安徽省合肥市高考数学二模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知复数 z 满足 z 1 2i i i 是虚数 则复数 z 在复平面内对应的点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 分析 把已知等式变形 利用复数代数形式的乘除运算化简 求出 z 的坐标 得答案 解答 解 由 z 1 2i i 得 z 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 在第二象限 故选 B 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的代数表示法及其几何 意义 是基础题 2 已知集合 A x 2 x 3 集合 B x x 1 则 A B A 2 1 B 2 3 C 1 D 3 分析 利用并集定义直接求解 解答 解 集合 A x 2 x 3 集合 B x x 1 A B x x 3 3 故选 D 点评 本题考查并集的求法 考查并集定义等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是基础题 3 命题 p a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 有实数解 则 p 为 第 8 页 共 28 页 A a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 有实数解 B a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 没有实数解 C a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 没有实数解 D a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 有实数解 分析 利用全称命题的否定是特称命题 写出结果即可 解答 解 因为全称命题的否定是特称命题 所以 命题 p a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 有实数解 则 p 为 a 0 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 没有实数解 故选 C 点评 本题考查命题的否定 特称命题与全称命题的否定关系 是基本知识 的考查 4 在直角坐标系中 若角 的终边经过点 则 sin A B C D 分析 由题意利用任意角的三角函数的定义 求得 sin 的值 解答 解 角 终边经过点 即点 P x y r OP 1 则 sin sin y 故选 A 点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义 属于基础题 5 中国古代词中 有一道 八子分绵 的数学名题 九百九十六斤绵 赠分八 子做盘缠 次第每人多十七 要将第八数来言 题意是 把 996 斤绵分给 8 个 儿子作盘缠 按照年龄从大到小的顺序依次分绵 年龄小的比年龄大的多 17 斤 绵 那么第 8 个儿子分到的绵是 A 174 斤B 184 斤C 191 斤D 201 斤 分析 由题意可知 数列为等差数列 公差为 d 17 n 8 S8 996 以第 8 第 9 页 共 28 页 个儿子为首项 即可求出答案 解答 解 由题意可知 数列为等差数列 公差为 d 17 n 8 S8 996 以第 8 个儿子为首项 8a1 17 996 解得 a1 184 故选 B 点评 本题考查了等差数列的求和公式的应用 属于基础题 6 执行如图所示的程序框图 若输出的结果为 1 则输入 x 的值为 A 3 或 2B 2 或 2C 3 或 1D 2 或 1 或 3 分析 根据已知中的程序框图 分类讨论满足 y 1 的 x 值 综合可得答案 解答 解 当 x 2 时 由 y 1 得 x2 2x 3 解得 x 3 或 x 1 舍 当 x 2 时 由 y 2x 3 1 解得 x 2 综上可得若输出的结果为 1 则输入 x 的值为 3 或 2 故选 A 点评 本题考查的知识点是程序框图 分类讨论思想 对数的运算性质 难 度中档 第 10 页 共 28 页 7 小李从网上购买了一件商品 快递员计划在下午 5 00 6 00 之间送货上 门 已知小李下班到家的时间为下午 5 30 6 00 快递员到小李家时 如果小 李未到家 则快递员会电话联系小李 若小李能在 10 分钟之内到家 则快递员 等小李回来 否则 就将商品存放在快递柜中 则小李需要去快递柜收取商品 的概率为 A B C D 分析 设快递员送达的时刻为 x 小李到家的时刻为 y 根据题意列出有序实 数对 x y 满足的区域 以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域 计算面积比即可得出答案 解答 解 假设快递员送达的时刻为 x 小李到家的时刻为 y 则有序实数对 x y 满足的区域为 x y 小李需要去快递柜收取商品 即序实数对 x y 满足的区域为 x y 如图所示 小李需要去快递柜收取商品的概率为 P 故选 D 点评 本题考查几何概型概率的求法 考查数形结合的解题思想方法 是中 第 11 页 共 28 页 档题 8 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F G 分别为棱 CD CC1 A1B1的中点 用 过点 E F G 的平面截正方体 则位于截面以下部分的几何体的侧 左 视图 为 A B C D 分析 首先求出截面的图形 进一步利用三视图求出结果 解答 解 正方体被经过 E F G 点的平面所截 其中左边的正方形的左上顶点 A 被切去 故少一个角 右下面留一个斜棱 故左视图为 C 故选 C 点评 本题考查的知识要点 三视图的应用 9 已知函数 实数 a b 满足不等式 f 2a b f 4 3b 0 则 下列不等式恒成立的是 A b a 2B a 2b 2C b a 2D a 2b 2 分析 根据题意 分析可得函数 f x 为奇函数且在 R 上为减函数 则原不 等式变形可得 f 2a b f 3b 4 结合函数的单调性可得 2a b 3b 4 变形 即可得答案 解答 解 根据题意 函数 其定义域为 R f x 第 12 页 共 28 页 f x 则函数 f x 为奇函数 f x 1 1 则函数 f x 在 R 为减函数 f 2a b f 4 3b 0 f 2a b f 4 3b f 2a b f 3b 4 2a b 3b 4 b a 2 故选 C 点评 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用 关键是求出函数的奇偶 性与单调性 10 已知双曲线 C 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 A B 是双曲线 C 上的两点 且 3 cos AF2B 则该双曲线的离心率为 A B C D 分析 设 F1A 3x F1B x 在 ABF2中 由余弦定理列方程可得 ABF2是 直角三角形 从而得出 a b c 的关系 即可得该双曲线的离心率 解答 解 设 F1A 3x F1B x 则 AB 4x BF2 2a x AF2 2a 3x 在 ABF2中 由余弦定理得 4x 2 2a x 2 2a 3x 2 2 2a x 2a 3x 解得 x a AF2 5a AB 4a BF2 3a ABF2是直角三角形 在 Rt F1BF2中 a2 3a 2 2c 2 代入得 10a2 4c2 即 e2 则该双曲线的离心率为 e 故选 B 第 13 页 共 28 页 点评 本题考查双曲线的简单性质的应用 考查离心率的计算能力 属于中 档题 11 已知函数 f x 2sin x 0 0 f f 0 且 f x 在 0 上单调 下列说法正确的是 A B C 函数 f x 在上单调递增 D 函数 y f x 的图象关于点对称 分析 根据题意 设置满足条件的 的值 依次对各选项讨论即可 解答 解 由题意 f x 在 0 上单调 那周期 即 则 1 对于 A 当 时 可得 f x 2sin x 由 令 可得 即 f 2sin A 不对 由 f 0 即 2sin 0 可令 则 由 f 即 2sin 可得 或 k Z 第 14 页 共 28 页 令 解得 2 不满足题意 令 解得 满足题意 f x 2sin x 对于 B f 2sin 2sin B 不对 对于 C 令x 解得 函数 f x 在上单调递增 C 对 对于 D 当 x 可得 f 2sin 2sin 1 函数 y f x 的图象不是关于点对称 D 不对 故选 C 点评 本题主要考查三角函数的图象和性质 根据条件确定一个满足条件的 解析式是解决本题的关键 12 已知点 I 在 ABC 内部 AI 平分 BAC 对满足上 述条件的所有 ABC 下列说法正确的是 A ABC 的三边长一定成等差数列 B ABC 的三边长一定成等比数列 C ABI ACI CBI 的面积一定成等差数列 D ABI ACI CBI 的面积一定成等比数列 分析 设 BAI CAI 则 IBC ACI 设 ABI BCI AI BI m CI n 在 ABC 中 运用正弦定理 在 ACI 和 BCI 中 由正弦函数和余弦函数的定义 可得 a b 运用三角函数的和差公式 第 15 页 共 28 页 二倍角公式 化简整理 结合等比数列中项性质 即可得到结论 解答 解 设 BAI CAI 则 IBC ACI 设 ABI BCI AI BI m CI n 在 ABC 中 可得 可得 sin 在 ACI 中 可得 b 2mcos 在 BCI 中 可得 a mcos ncos 又 msin nsin 即 n 则 a mcos cos m m m 可得 a2 c 2mcos cb 即有 ABC 的三边长一定成等比数列 故选 B 点评 本题考查三角形的三边长成等比数列的判断 考查三角形的正弦定理 和三角函数的恒等变换 考查化简整理的运算能力 属于难题 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 已知两个单位向量 的夹角为 则 分析 直接利用向量的数量积的运算法则求解即可 解答 解 两个单位向量 的夹角为 第 16 页 共 28 页 则 2 2 1 故答案为 点评 本题考查平面向量数量积的应用 考查计算能力 14 在 2x 1 2 x 2 3的展开式中 x2的系数等于 10 分析 化简 2x 1 2 x 2 3 4x2 4x 1 x3 6x2 12x 8 展开后可得含 x2 项的系数 解答 解 2x 1 2 x 2 3 4x2 4x 1 x3 6x2 12x 8 x2的系数等于 4 8 4 12 6 10 故答案为 10 点评 本题考查了二项式展开式的应用问题 也考查了逻辑推理与计算能力 是基础题 15 已知半径为 3cm 的球内有一个内接四棱锥 S ABCD 四棱锥 S ABCD 的侧棱 长都相等 底面是正方形 当四棱锥 S ABCD 的体积最大时 它的底面边长等于 4 cm 分析 由题意画出图形 设四棱锥的底面边长为 2a 高为 h 0 h 6 可 得 2a2 h2 6h 写出棱锥体积 把 a 用 h 表示 再由导数求解得答案 解答 解 如图 设四棱锥的底面边长为 2a 高为 h 0 h 6 则底面正方形外接圆的半径为 侧棱长 SA 由射影定理可得 2a2 h2 6h 则四棱锥 S ABCD 的体积 V 0 h 6 则 V 2h2 8h 可得当 h 4 时 V 有最大值 此时 2a2 24 16 8 a 2 第 17 页 共 28 页 则底面边长等于 4 故答案为 4 点评 本题考查球内接多面体体积的求法 考查数形结合的解题思想方法 训练了导数在求最值问题中的应用 是中档题 16 为保护环境 建设美丽乡村 镇政府决定为 A B C 三个自然村建造一 座垃圾处理站 集中处理 A B C 三个自然村的垃圾 受当地条件限制 垃圾 处理站 M 只能建在与 A 村相距 5km 且与 C 村相距的地方 已知 B 村在 A 村的正东方向 相距 3km C 村在 B 村的正北方向 相距 则垃圾处 理站 M 与 B 村相距 2 或 7 km 分析 建立坐标系 求出两圆的方程和公共弦方程 解出 M 点坐标得出 MB 解答 解 以 A 为原点 以 AB 为 x 轴建立平面坐标系 则 A 0 0 B 3 0 C 3 3 以 A 为圆心 以 5 为半径作圆 A 以 C 为圆心 以为半径作圆 C 则圆 A 的方程为 x2 y2 25 圆 C 的方程为 x 3 2 y 3 2 31 即 x2 y2 6x 6y 5 0 两圆的公共弦方程为 x y 5 设 M x y 则 解得 M 5 0 或 M MB 2 或 MB 7 第 18 页 共 28 页 故答案为 2 或 7 点评 本题考查了直线与圆的位置关系 属于中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 17 12 00 分 已知等比数列 an 的前 n 项和 Sn满足 4S5 3S4 S6 且 a3 9 求数列 an 的通项公式 设 bn 2n 1 an 求数列 bn 的前 n 项的和 Tn 分析 利用已知条件求出数列的公比 然后求数列 an 的通项公式 化简数列的通项公式 利用错位相减法求解数列的和即可 解答 解 设数列 an 的公比为 q 由 4S5 3S4 S6 得 S6 S5 3S5 3S4 即 a6 3a5 q 3 第 19 页 共 28 页 点评 本题考查数列的通项公式的求法 数列求和的方法错位相减法的应用 考查计算能力 18 12 00 分 为了解 A 市高三数学复习备考情况 该市教研机构组织了一次 检测考试 并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布 直方图 根据频率分布直方图 估计该市此次检测理科数学的平均成绩 u0 精 确到个位 研究发现 本次检测的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 X N 2 u u0 约为 19 3 按以往的统计数据 理科数学成绩能达到升一本分数 要求的同学约占 46 据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约 是多少分 精确到个位 已知 A 市理科考生约有 1000 名 某理科学生此次 检测数学成绩为 107 分 则该学生全市排名大约是多少名 说明 表示 x x1的概率 用来将非标准正 态分布化为标准正态分布 即 X N 0 1 从而利用标准正态分布表 x0 求 x x1时的概率 P x x1 这里 x0 相应于 x0的值 x0 是指总体 取值小于 x0的概率 即 x0 P x x0 参考数据 0 7045 0 54 0 6772 0 46 0 21 0 5832 分析 I 以组中值代替小组平均值 根据加权平均数公式计算平均成绩 II 根据所给公式列方程求出 x1 根据成绩计算概率 得出大体名次 第 20 页 共 28 页 解答 解 I 该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为 u0 65 0 05 75 0 08 85 0 12 95 0 15 105 0 24 115 0 18 125 0 1 135 0 05 145 0 03 103 2 103 II 记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 x1 根据题意 即 由 0 7054 0 54 得 所以 本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 117 分 所以 理科数学成绩为 107 分 大约排在 10000 0 4168 4168 名 点评 本题考查了正态分布的性质与应用 属于中档题 19 12 00 分 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD AB CD AB AD O 为 AD 中点 AD AB 2CD 2 求证 平面 POB 平面 PAC 求二面角 A PC D 的余弦值 分析 通过 Rt ADC Rt BAO 推出 DAC ABO 证明 AC BO PO AD 推出 PO 平面 ABCD 第 21 页 共 28 页 得到 AC PO AC 平面 POB 即可证明平面 POB 平面 PAC 以 O 为空间坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 求出平面 PAC 的一个法向量 平面 PDC 的一个法向量 利用向量的数量积求解即可 解答 证明 由条件可知 Rt ADC Rt BAO DAC ABO DAC AOB ABO AOB 90 AC BO PA PD 且 O 为 AD 中点 PO AD PO 平面 ABCD 又 AC 平面 ABCD AC PO 又 BO PO O AC 平面 POB AC 平面 PAC 平面 POB 平面 PAC 解 以 O 为空间坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则 P 0 0 2 A 1 0 0 D 1 0 0 C 1 1 0 设为平面 PAC 的一个法向量 由得 解得 令 x 2 则 同理可得 平面 PDC 的一个法向量 二面角 A PC D 的平面角 的余弦值 第 22 页 共 28 页 点评 本题考查向量的数量积的应用 二面角的求法 考查直线与平面垂直 的判定定理以及性质定理的应用 20 12 00 分 已知点 A 1 0 和动点 B 以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O x2 y2 4 求动点 B 的轨迹方程 已知点 P 2 0 Q 2 1 经过点 Q 的直线 l 与动点 B 的轨迹交于 M N 两点 求证 直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值 分析 设以线段 AB 为直径的圆的圆心为 C 取 A 1 0 圆 C 内切 于圆 O 设切点为 D 则 O C D 三点共线 依椭圆得定义可知 动点 B 的轨 迹为椭圆 由此能求出动点 B 的轨迹方程 设直线 l 的方程为 y 1 k x 2 由得 4k2 3 x2 16k2 8k x 16k2 16k 8 0 由此利用韦达定理 根的判别式 结合已知条 件能证明直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值 3 解答 解 如图 设以线段 AB 为直径的圆的圆心为 C 取 A 1 0 第 23 页 共 28 页 依题意 圆 C 内切于圆 O 设切点为 D 则 O C D 三点共线 O 为 AA 的中点 C 为 AB 中点 A B 2OC BA BA 2OC 2AC 2OC 2CD 2OD 4 AA 2 依椭圆得定义可知 动点 B 的轨迹为椭圆 其中 BA BA 2a 4 AA 2c 2 a 2 c 1 b2 a2 c2 3 动点 B 的轨迹方程为 证明 当直线 l 垂直于 x 轴时 直线 l 的方程为 x 2 此时直线 l 与椭圆相切 与题意不符 当直线 l 的斜率存在时 设直线 l 的方程为 y 1 k x 2 由得 4k2 3 x2 16k2 8k x 16k2 16k 8 0 设 M x1 y1 N x2 y2 则 第 24 页 共 28 页 直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值 3 点评 本题考查动点的轨迹方程的求法 考查两直线的斜率之和为定值的证 明 考查推理论证能力 运算求解能力 考查函数与方程思想 是中档题 21 12 00 分 已知函数 f x x 1 ex ax2 e 是自然对数的底数 判断函数 f x 极值点的个数 并说明理由 若 x R f x ex x3 x 求 a 的取值范围 分析 求出函数的导数 通过讨论 a 的范围 求出函数的单调区间 从 而求出函数的极值点的个数即可 问题转化为对 x 0 恒成立 设 设 h x ex x 1 根据函数的单调性求出 a 的范围即可 解答 解 f x xex 2ax x ex 2a 当 a 0 时 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 f x 有 1 个极值点 当时 f x 在 ln2a 上单调递增 在 ln2a 0 上单调递减 在 0 上单调递增 f x 有 2 个极值点 第 25 页 共 28 页 当时 f x 在 R 上单调递增 此时 f x 没有极值点 当时 f x 在 0 上单调递增 在 0 ln2a 上单调递减 在 ln2a 上单调递增 f x 有 2 个极值点 当 a 0 时 f x 有 1 个极值点 当 a 0 且时 f x 有 2 个极值点 当时 f x 没有极值点 由 f x ex x3 x 得 xex x3 ax2 x 0 当 x 0 时 ex x2 ax 1 0 即对 x 0 恒成立 设 则 设 h x ex x 1 则 h x ex 1 x 0 h x 0 h x 在 0 上单调递增 h x h 0 0 即 ex x 1 g x 在 0 1 上