江苏省盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题-Word版含答案

1 开始 k 0 S 0 S 20 k k 2 S S 2k Y N 输出 S 结束 第 6 题图 盐城市 2018 届高三年级第三次模拟考试 数 学 试 题 总分总分 160 分 考试时间分 考试时间 120 分钟分钟 注意事项 注意事项 1 本试卷考试时间为 120 分钟 试卷满分 160 分 考试形式闭卷 2 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置 否则不给分 3 答题前 务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答 题卡上 参考公式 锥体体积公式 锥体体积公式 其中 其中为底面积为底面积 为高为高 1 3 VSh Sh 圆锥侧面积公式 圆锥侧面积公式 其中 其中为底面半径为底面半径 为母线长为母线长 Srl rl 样本数据样本数据的方差的方差 其中 其中 12 n x xx 22 1 1 n i i sxx n 1 1 n i i xx n 一一 填填空空题题 本大题共14 小题 每小题5 分 计 70 分 不需写出解答过程 请把答案写在 答题纸的指定位置上 1 已知 若 则实数的取值范围为 Am 1 2 B BA m 2 设复数 为虚数单位 为纯虚数 则实数的值为 1 ai z i ia 3 设数据的方差为 1 则数据的方差为 12345 a a a a a 12345 2 2 2 2 2aaaaa 4 一个袋子中装有 2 个红球和 2 个白球 除颜色外其余均相同 现从中随机摸出 2 个球 则摸出的 2 个球中至少有 1 个是红 球 的概率为 5 是 成立的 2 6 xkkZ 1 sin 2 x 条件 选填 充分不必要 必要不充分 充要 既 不充分又不必要 6 运行如图所示的算法流程图 则输出 S 的值为 7 若双曲线的两条渐近线与抛 22 22 1 0 0 xy ab ab 物线交于三点 且直线经过抛物 2 4yx O P QPQ 线的焦点 则该双曲线的离心率为 8 函数的定义域为 ln 13 f xx 9 若一圆锥的底面半径为 1 其侧面积是底面积的 3 倍 则该圆锥的体积为 10 已知函数为偶函数 且其图 3sin cos 0 0 f xxx 2 象的两条相邻对称轴间的距离为 则的值为 2 8 f 11 设数列的前项和为 若 n an n S 2 nn San nN 则数列的通项公式为 n a n a 12 如图 在中 已知 18 AB B 18 3 B AB 1 6AB 点分别为边的 7 等 8 4AB 234567 B B B B B B 18 B B 分点 则当时 的最大值9 18 iji ij ABAB 为 13 定义 点到直线的有向距离为 已知点 00 M xy 0l axbyc 00 22 axbyc ab 直线过点 若圆上存在一点 使得 1 0 A 1 0 Bm 3 0 P 22 18 81xy C 三点到直线的有向距离之和为 0 则直线 的斜率的取值范围为 A B Cml 14 设的面积为 2 若所对的边分别为 则的最小值ABC A B C a b c 222 23abc 为 二 解答题二 解答题 本大题共 6 小题 计 90 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 请把答案写在答题纸的指定区域内 15 本小题满分 14 分 在直四棱柱中 已知底面是菱形 分别是棱 1111 ABCDABC D ABCD M N 11 AD 的中点 11 DC 1 求证 平面 ACDMN 2 求证 平面平面 DMN 11 BB D D 16 本小题满分 14 分 在中 角的对边分别为 为边上的中线 ABC A B C a b cADBC 1 若 求边的长 4a 2b 1AD c 2 若 求角的大小 2 AB ADc B AB C D D1 A1 B1 C1 M N 第 15 题图 第 12 题图 A B1B2B3B4B5B6B7B8 3 17 本小题满分 14 分 如图 是一个扇形花园 已知该扇形的半径长为 400 米 且半径平 2 AOB OC 分 现拟在上选取一点 修建三条路 供游人行走观赏 设AOB OCPPOPA PB PAO 1 将三条路 的总长表示为的函数 并写出此函数的定义域 POPA PB l 2 试确定的值 使得最小 l 18 本小题满分 16 分 如图 已知分别是椭圆的左 右焦点 点是 12 F F 22 22 1 0 xy Cab ab 2 3 P 椭圆上一点 且轴 C 1 PFx 1 求椭圆的方程 C 2 设圆 222 0 Mxmyrr 设圆与线段交于两点 若 且 M 2 PF A B 2 MAMBMPMF 2AB 求的值 r 设 过点作圆的两条切线分别交椭圆于两点 异于点 2m PMC G HP 试问 是否存在这样的正数 使得两点恰好关于坐标原点对称 r G HO 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 r 19 本小题满分 16 分 若对任意实数都有函数的图象与直线相切 则称函 k b yf xkxb ykxb A O B C P 第 17 题图 O P F1F2 y x 第 18 题图 4 数为 恒切函数 设函数 f x x g xaexpa a pR 1 讨论函数的单调性 g x 2 已知函数为 恒切函数 g x 求实数的取值范围 p 当取最大值时 若函数也为 恒切函数 求证 p x h xg x em 3 0 16 m 参考数据 3 20e 20 本小题满分 16 分 在数列中 已知 满足是等差数列 其中 n a 12 1 aa 111 221222 nnnn aaaa 且当为奇数时 公差为 当为偶数时 公差为 2 nnN ndnd 1 当 时 求的值 1 1d 8 a 2 当时 求证 数列是等比数列 0d 2 22 nn aanN 3 当时 记满足的所有构成的一个单调递增数列为 试求数1 2m aa m n b 列的通项公式 n b 5 盐城市 2018 届高三年级第三次模拟考试 数学附加题部分 本部分满分本部分满分 40 分 考试时间分 考试时间 30 分钟 分钟 21 选做题选做题 在 A B C D 四小题中只能选做 2 题 每小题 10 分 计 20 分 请把答 案写在答题纸的指定区域内 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知半圆的半径为 5 为半圆的直径 是延长线上一点 过点OABOPBA 作半圆的切线 切点为 于 若 求的长 POPCCCDAB D2PCPA CD B 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵的属于特征值 1 的一个特征向量为 求矩阵的另一个特 2 0 a b M 1 1 M 征值和对应的一个特征向量 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 以坐标原点l 2 1 2 2 2 xt yt t 为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 单位长度相同 设曲线的极坐标OxC 方程为 求直线 被曲线截得的弦长 2 lC D 选修 4 5 不等式选讲 已知正数满足 求的最小值 x y z232xyz 222 xyz 必做题必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 计 20 分 请把答案写在答题纸的指定区域内 22 本小题满分 10 分 某公司的一次招聘中 应聘者都要经过三个独立项目的测试 如果通过两个或 A B C 三个项目的测试即可被录用 若甲 乙 丙三人通过每个项目测试的概率都是 A B C ABP C DO 第 21 A 图 6 1 2 1 求甲恰好通过两个项目测试的概率 2 设甲 乙 丙三人中被录用的人数为 求的概率分布和数学期望 XX 23 本小题满分 10 分 1 已知 比较与的大小 试将其推广至一 0 0 ii abiN 22 12 12 bb aa 2 12 12 bb aa 般性结论并证明 2 求证 3 012 13521 1 2 nn nnnn nn nN CCCC 7 盐城市盐城市 20182018 届高三年级第三次模拟考试届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案数学参考答案 一 填空题一 填空题 本大题共本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 计分 计 7070 分分 1 2 3 4 4 5 充分不必要 6 21 2m 1 5 6 7 5 8 9 10 11 12 13 2 3 2 2 3 21 2n 132 7 3 4 14 8 11 二 解答题二 解答题 本大题共本大题共 9090 小题小题 15 1 证明 连接 在四棱柱中 因为 11 AC 1111 ABCDABC D 11 AABB 11 BBCC 所以 所以为平行四边形 所以 11 AA CC11 A ACC 11 ACAC 2 分 又分别是棱的中点 所以 所以 M N 11 AD 11 DC 11 MNAC ACMN 4 分 又平面 平面 AC DMNMN DMN 所以 平面 6 分ACDMN 2 证明 因为四棱柱是直四棱柱 1111 ABCDABC D 所以平面 而平面 1 DD 1111 ABC DMN 1111 ABC D 所以 8 分 1 MNDD 又因为棱柱的底面是菱形 所以底面也是菱形 ABCD 1111 ABC D 所以 而 所以 10 分 1111 ACB D 11 MNAC 11 MNB D 又 平面 且 1 MNDD 111 DD B D 1111 ABC D 1111 DDB DD 所以平面 MN 1111 ABC D 12 分 而平面 所以平面平面 MN DMNDMN 11 BB D D 14 分 16 解 1 在中 因为 所以由余弦定理 ADC 1 1 2 2 2 ADACDCBC 得 3 222222 2217 cos 22 2 28 ACDCAD C AC DC 分 故在中 由余弦定理 得 ABC 22222 7 2cos422 4 26 8 cababC 所以 6 分6c 2 因为为边上的中线 所以 所以ADBC 1 2 ADABAC AB C D D1 A1 B1 C1 M N 8 2 1 2 cAB ADABABAC 得 10 2 2 1111 cos 2222 ABAB ACccbA coscbA 分 则 得 所以 222 2 bca cb bc 222 bca 90B 14 分 17 解 1 在中 由正弦定理 得 APO sinsinsin APOPAO AOPPAOAPO 即 从而 400 sin sinsin 44 APOP 200 2 sin 4 AP 400sin sin 4 OP 4 分 所以 l 400sin200 2 22 sin sin 44 OPPAPBOPPA 故所求函数为 400 2sin sin 4 l 3 0 8 6 分 2 记 2sin22sin3 0 sincos8 sin 4 f 因为 2 2cos sincos 22sin cossin sincos f 10 分 2 2 2sin 2 4 sincos 由 得 又 所以 12 0f 1 sin 42 3 0 8 12 分 列表如下 0 12 12 3 128 f 0 f 递减极小递增 所以 当时 取得最小值 12 l 答 当时 最小 12 l 14 分 18 解 1 因点是椭圆上一点 且轴 所以椭圆的半焦距 2 3 P C 1 PFx 2c 9 由 得 所以 22 22 1 cy ab 2 b y a 22 4 3 ba aa 2 分 化简得 解得 所以 2 340aa 4a 2 12b 所以椭圆的方程为 4 分C 22 1 1612 xy 2 因 所以 即 2 MAMBMPMF 2 MAMPMFMB 2 PABF 所以线段与线段的中点重合 记为点 由 1 知 2 PFABQ 3 0 2 Q 6 分 因圆与线段交于两点 所以 M 2 PF A B 2 1 MQABMQPF kkkk 所以 解得 3 0 30 2 1 22m 9 8 m 8 分 所以 故 22 9315 0 0 828 MQ 22 1517 1 88 r 10 分 由两点恰好关于原点对称 设 则 不妨设 G H 00 G xy 00 Hxy 0 0 x 因 所以两条切线的斜率均存在 2 3 P 2m 设过点与圆相切的直线斜率为 则切线方程为 PMk3 2 yk x 即 由该直线与圆 M 相切 得 即 230kxyk 2 3 1 r k 2 2 9r k r 12 分 所以两条切线的斜率互为相反数 即 PGPH kk 所以 化简得 即 代入 00 00 33 22 yy xx 00 6x y 0 0 6 y x 22 00 1 1612 xy 化简得 解得 舍 所以 42 00 16480 xx 0 2x 0 2 3x 0 3y 14 分 所以 所以 2 3 3 G 2 3 3 H 333 222 3 PG k 所以 2 36 7 7 3 1 2 r 故存在满足条件的 且 r 6 7 7 r 16 分 19 解 1 1 x g xae 2 分 当时 恒成立 函数在上单调递减 0a 0g x g xR 10 当时 由得 由得 由得0a 0g x lnxa 0g x lnxa 0g x lnxa 得函数在上单调递 在上单调递增 g x ln a ln a 4 分 2 若函数为 恒切函数 则函数的图像与直线相 f x yf xkxb ykxb 切 设切点为 则且 即 00 xy 0 fxkk 000 f xkxbkxb 0 0fx 0 0f x 因为函数为 恒切函数 所以存在 使得 g x 0 x 0 0g x 0 0g x 即 得 设 0 0 0 0 10 x x aexpa ae 0 0 x ae 0 0 1 x pex 1 x m xex 6 分 则 得 得 x m xxe 0m x 0 x 0m x 0 x 故在上单调递增 在上单调递减 从而 m x 0 0 max 0 1m xm 故实数的取值范围为 p 1 8 分 当取最大值时 p1p 0 0 x 0 1 x ae 1 xx h xexem 因为函数也为 恒切函数 22 xx h xexe h x 故存在 使得 0 x 0 0h x 0 0h x 由得 设 0 0h x 00 0 22 0 xx exe 0 0 220 x ex 22 x n xex 10 分 则 得 得 21 x n xe 0n x ln2x 0n x ln2x 故在上单调递减 在上单调递增 n x ln2 ln2 1 在单调递增区间上 故 由 得 ln2 0 0n 0 0 x 0 0h x 0m 12 分 2 在单调递减区间上 ln2 2 2 20ne 又的图像在上不 31 22 31111 22 20 0 22225 ne n x ln2 间断 故在区间上存在唯一的 使得 故 3 2 2 0 x 0 0 220 x ex 0 0 2 2 x x e 此时由 得 0 0h x 00 00 00 22 1 1 22 xx xx mexex 00 1 2 4 x x 2 0 11 1 44 x 函数在上递增 故 2 11 1 44 r xx 3 2 2 2 0r 33 216 r 3 0 16 m 11 综上 1 2 所述 3 0 16 m 16 分 20 解 1 由 所以 为等差数列且公差为 所以1 1d 2 1a 234 a a a1 42 21aa 又为等差数列且公差为 所以 458 a aa 1 84 43aa 2 分 2 当时 是等差数列且公差为 21nk 22221 221222 kkkk aaaa d 所以 同理可得 212 2 22 2 kk k aad 221 21 22 2 kk k aad 4 分 两式相加 得 2121 21 22 2 kk k aad 当时 同理可得 2nk 222 2 22 2 kk k aad 6 分 所以 又因为 所以 2 22 2 nn n aad 0d 2 11 22 1 22 2 2 2 2 nn nn n n aa n aa 所以数列是以 2 为公比的等比数列 2 22 nn aanN 8 分 3 因为 所以 由 2 知 2 a 42 22aadd 2121 21 22 2 kk k aad 所以 212123 212321 222 222 kkk kkk aadadd 依次下推 得 211 132321 22 2222 k kk aadddd 所以 21 2 2 2 21 3 k k ad 10 分 当时 2122 22 kk n 21 23 21 2 22 2 33 k k k n aandnd 由 得 所以 2m aa 23 22 33 k m 23 21 22 33 k k b 所以 为奇数 2 22 33 n n b n 12 分 由 2 知 22222 2222 222 222 kkk kkk aadadd 依次下推 得 222 24222 22 2222 k kk aadddd 所以 22 2 2 4 21 2 3 k k add 14 分 当时 2223 22 kk n 22 24 22 2 22 2 33 k k k n aandnd 由 得 所以 2m aa 24 22 33 k m 24 22 22 33 k k b 12 所以 为偶数 2 22 33 n n b n 综上所述 2 2 22 33 22 33 n n n n b n 为偶数 为奇数 16 分 方法二 由题意知 2312 1231 222222 nnn nn bbbbb 10 分 当为奇数时 的公差为 的公n 1 221222 nnnn aaaa d 1112 221222 nnnn aaaa 差为 d 所以 1 1 2 2 n n n bn aabd 1 1 1 1 2 2 n n n bn aabd 则由 得 即 1 2 nn bb aaa 11 1 2 2 nn nn bdbd 2 1 2n nn bb 同理 当为偶数时 也有 故恒有 n 2 1 2n nn bb 2 1 2 n nn bbnN 12 分 当为奇数时 由 相减 得 n 3 21 2n nn bb 2 1 2n nn bb 2 2 2n nn bb 所以 53 2311 222 2 n nnn bbbbbb 14 分 1 32 2 2 1 4 22 2 1 433 n n 当为偶数时 同理可得 n 2 22 33 n n b 综上所述 2 2 22 33 22 33 n n n n b n 为偶数 为奇数 16 分 附加题答案 21 A 解 连 因为半圆的切线 AC BCPCO 所以 又 PCAB PP 所以 所以 PCA PBC 1 2 PAAC PCBC 即 5 分2ACBC 因为半圆的直径 所以 ABO 2222 5ABACBCAC 因半圆的半径为 5 所以 所以 O 2 1005AC 2 5 4 5ACBC 由射影定理 得 解得 所以 2 ACAD AB 2AD 22 4CDACAD 10 分 B 解 由题意得 解得 所以 2 11 0 11 a b 1 1 a b 2 1 0 1 M 2 分 ABP C DO 13 矩阵的特征多项式为 M 2 1 2 1 0 1 f 由 得 所以矩阵的另一个特征值为 2 0f 2 1 M 6 分 此时 对应方程组为 所以 0 1 0 1 f 010 010 xy xy 0y 所以另一个特征值 2 对应的一个特征向量为 1 0 10 分 C 解 直线的普通方程为 由 10 xy 2 得曲线的普通方程为 C 22 4xy 5 分 所以 所以直线 被曲线截得的弦长为 12 22 d lC 22 2 2 2 14 2 10 分 D 解 根据柯西不等式 有 2222222 23 123 xyzxyz 因 所以 232xyz 222 222 42 1237 xyz 5 分 当且仅当时等号成立 解得 123 xyz 123 777 xyz 即当时 取最小值 123 777 xyz 222 xyz 2 7 10 分 22 解 1 甲恰好通过两个项目测试的概率为 22 3 113 1 228 C 4 分 2 因为每人可被录用的概率为 所以 223 3 1111 1 2222 C 3 11 0 1 28 P X 112 3 113 1 1 228 P XC 221 3 113 2 1 228 P XC 3 11 3 28 P X 故的概率分布表为 X X0123 P 1 8 3 8 3 8 1 8 14 8 分 所以 的数学期望 X 13313 0123 88882 E X 10 分 23 解 1 2222 22 122 11 2 1212 1212 bba bab aabb aaaa 因为 所以 则0 i a 0 i b 22 2 11 2 12 0 0 a bab aa 2222 2 11 22 11 2 12 1212 22 a baba bab b b aaaa 所以 即 22 222 12 121212