2012年高考数学《排列 组合 二项式》专题 二项式定理学案

1 第第 5 5 课时课时 二项式定理二项式定理 1 a b n n N 这个公式称做二项式定理 右边的多项式叫做 a b n的二 项展开式 其中的系数 叫做二项式系数 式中的 叫做二项展开式的通项 用 Tr 1表示 即通项公式 Tr 1 是表示展开式的第 r 1 项 2 二项式定理中 二项式系数的性质有 在二项式展开式中 与首末两项 等距离 的两项二项式系数相等 即 01122 nnnrn r nnnnnnnn CCCCCCCC 如果二项式的幂指数是偶数 中间一项的二项式系数最大 如果二项式的幂指数是奇数 中间两项的二项式系数相等并且最大 即当 n 是偶数时 n 1 是奇数 展开式共有 n 1 项 中间一项 即 第 项的二项式系数最大 为 当 n 是奇数时 n 1 是偶数 展开式共有 n 1 项 中间两项 即第 项及每 项 它们的二项式系数最大 为 二项式系数的和等于 即 二项展开式中 偶数项系数和等于奇数项的系数和 即 展开式中相邻两项的二项式系数的比是 1 1 kk nn CCnkk 3 二项式定理主要有以下应用 近似计算 解决有关整除或求余数问题 用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合 公式 其做法称为 赋值法 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 杨辉三角形 例 1 1 06 湖南理 11 若 ax 1 5的展开式中 x3的系数是 80 则实数 a 的值是 2 06 湖北文 8 在 24 3 1 x x 的展开式中 x 的幂指数是整数的有 项 3 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 6展开式中 x2项的系数为 解 解 1 2 2 5 项 3 35 变式训练 1 若多项式 1 1 1 10 10 9 910 102 x a x a x aaxx 则 a9 A 9 B 10 C 9 D 10 典型例题典型例题 基础过关基础过关 2 解 解 根据左边x 10 的系数为 1 易知1 10 a 左边x 9 的系数为 0 右边x 9 的系数为 010 9 9 10109 aCaa 10 9 a 故选 D D 例 2 已知 f x 1 x m 1 x n 其中 m n N 展开式中 x 的一次项系数为 11 问 m n 为 何值时 含 x3项的系数取得最小值 最小值是多少 由题意1111 11 nmCC nm 则含 x3项的系数为 2 1 6 1 33 nnnCC nm 2 1 6 1 mmm 8 231 2 11 2 9 99029727 6 1 22 nnn 当 n 5 或 6 时 x3系数取得最小值为 30 变式训练 2 分已知 n x i x 2 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 14 3 其中 1 2 i 则展开式中常数项是 A 45i B 45i C 45 D 45 解析 解析 第三项 第五项的系数分别为 2 2 i Cn 4 4 i Cn 依据题意有 14 3 4 4 2 2 i C i C n n 整理得0505 2 nn 即解方程 n 10 n 5 0 则只有 n 10 适合题意 由 2 220 101 i xxCT r r rr n 当 0 2 220 r r 时 有 r 8 故常数项为 C i C 2 10 8 8 10 45 故选 D D 例 3 若 21 2004 2004 2 210 2004 Rxxaxaxaax 求 10 aa 20 aa 20040 aa 解 解 对于式子 21 2004 2004 2 210 2004 Rxxaxaxaax 令 x 0 便得到 0 a 1 令 x 1 得到 2004210 aaaa 1 又原式 10 aa 20 aa 20040 aa 3 2003 2004 200421002004210 aaaaaaaaa 原式 10 aa 20 aa 20040 aa 2004 注意 二项式系数 同二项式展开式中 项的系数 的区别与联系 变式训练 3 若 3 23 0123 23xaa xa xa x 则 22 0213 aaaa 的值是 A 1 B 1 C 0D 2 解 解 A 例 4 已知二项式 n x x 2 2 n N 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的 比是 10 1 1 求展开式中各项的系数和 2 求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解 解 1 第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10 1 1 10 2 2 2 2 4 4 C C n n 解得 n 8 令 x 1 得到展开式中各项的系数和为 1 2 8 1 2 展开式中第 r 项 第 r 1 项 第 r 2 项的系数绝对值分别为 rn r C 2 1 8 r r C 2 8 1 1 8 2 r r C 若第 r 1 项的系数绝对值最大 则必须满足 rn r C 2 1 8 r r C 2 8 并且 1 1 8 2 r r C r r C 2 8 解得 5 r 6 所以系数最大的项为 T7 1792 11 1 x 二项式系数最大的项为 T5 1120 6 1 x 变式训练 4 已知 2 3 1 x x n的第 5 项的二项式系数与第三项的二项系数的比是 14 3 求 展开式中不含 x 的项 求 x 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 5的展开式中 x2项的系数 解 解 2 21 11 1 1 1 n C n C n nn n 2 1 1 1 1 n C n C n n n n 2 21 11 1 1 1 n C n C n nn n 22 2 1 11 1 n nn n C n n 4 n nn nnn 12 2 1 3 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 n 3 2 1 3 2 1 11 nn 1 注意 a b n及 a b n展开式中 通项公式分别为 1 rn rr rn TC ab 及 1 1 r rn rr rn TC ab 这里 0rn 且展开式都有 n 1 项 在使用时要注意两个公式的区别 求二项式的展开式中的指定 项 要扣住通项公式来解决问题 2 二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念 前者仅与二项式的指数及 项数有关 与二项式无关 后者与二项式 二项式的指数及项