一元二次方程经典测试题

1 一元二次方程一元二次方程测试题测试题 考试范围 一元二次方程 考试时间 120 分钟 命题人 瀚博教育 题号一二三总分 得分 第第 卷 选择题 卷 选择题 评卷人 得 分 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题小题 每题每题 3 分 共分 共 36 分分 1 方程 x x 2 3x 的解为 A x 5 B x1 0 x2 5C x1 2 x2 0D x1 0 x2 5 2 下列方程是一元二次方程的是 A ax2 bx c 0 B 3x2 2x 3 x2 2 C x3 2x 4 0D x 1 2 1 0 3 关于 x 的一元二次方程 x2 a2 1 0 的一个根是 0 则 a 的值为 A 1B 1C 1 或 1D 3 4 某旅游景点的游客人数逐年增加 据有关部门统计 2015 年约为 12 万人次 若 2017 年约为 17 万人次 设游客人数年平均增长率为 x 则下列方程中正确的 是 A 12 1 x 17B 17 1 x 12 C 12 1 x 2 17D 12 12 1 x 12 1 x 2 17 5 如图 在 ABC 中 ABC 90 AB 8cm BC 6cm 动点 P Q 分别从点 A B 同时开始移动 点 P 的速度为 1cm 秒 点 Q 的速度为 2cm 秒 点 Q 移动到点 C 后停止 点 P 也随之停止运动 下列时 间瞬间中 能使 PBQ 的面积为 15cm2的是 A 2 秒钟B 3 秒钟C 4 秒钟D 5 秒钟 6 某幼儿园要准备修建一个面积为 210 平方米的矩形活动场地 它的长比宽多 12 米 设场地的长为 x 米 可列方程为 A x x 12 210 B x x 12 210 C 2x 2 x 12 210 D 2x 2 x 12 210 7 一元二次方程 x2 bx 2 0 中 若 b 0 则这个方程根的情况是 A 有两个正根 B 有一正根一负根且正根的绝对值大 C 有两个负根 D 有一正根一负根且负根的绝对值大 8 x1 x2是方程 x2 x k 0 的两个实根 若恰 x12 x1x2 x22 2k2成立 k 的值为 A 1B 或 1C D 或 1 9 一元二次方程 ax2 bx c 0 中 若 a 0 b 0 c 0 则这个方程根的情况是 A 有两个正根 B 有两个负根 C 有一正根一负根且正根绝对值大 D 有一正根一负根且负根绝对值大 10 有两个一元二次方程 M ax2 bx c 0 N cx2 bx a 0 其中 a c 0 以下列四个结论中 错误的 是 A 如果方程 M 有两个不相等的实数根 那么方程 N 也有两个不相等的实数根 B 如果方程 M 有两根符号相同 那么方程 N 的两根符号也相同 C 如果 5 是方程 M 的一个根 那么是方程 N 的一个根 D 如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根 那么这个根必是 x 1 11 已知 m n 是关于 x 的一元二次方程 x2 2tx t2 2t 4 0 的两实数根 则 m 2 n 2 的最小值是 A 7B 11C 12D 16 12 设关于 x 的方程 ax2 a 2 x 9a 0 有两个不相等的实数根 x1 x2 且 x1 1 x2 那么实数 a 的 取值范围是 A B C D 第第 卷 非选择题 卷 非选择题 评卷人 得 分 二 填空题 共二 填空题 共 8 小题小题 每题每题 3 分 共分 共 24 分分 13 若 x1 x2是关于 x 的方程 x2 2x 5 0 的两根 则代数式 x12 3x1 x2 6 的值是 14 已知 x1 x2是关于 x 的方程 x2 ax 2b 0 的两实数根 且 x1 x2 2 x1 x2 1 则 ba的值是 2 15 已知 2x m 2 3 9 是关于 x 的一元二次方程 则 m 16 已知 x2 6x 1 可以 配成 x p 2 q 的形式 则 q 17 已知关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 3x 1 0 有两个 不相等的实数根 且关 于 x 的不等式组的解集是 x 1 则所有符 合条件的整数 m 的个数 是 18 关于 x 的方程 m 2 x2 2x 1 0 有实数根 则偶数 m 的最大值为 19 如图 某小区有一块长为 18 米 宽为 6 米的矩形空地 计划在其中修建两块相同的矩形绿地 它 们面积之和为 60 米 2 两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 则人行道的宽度为 米 20 如图是一次函数 y kx b 的图象的大致位置 试判断关于 x 的一元二次方程 x2 2x kb 1 0 的根的判 别式 0 填 或 或 评卷人 得 分 三 解答题 共三 解答题 共 8 小题 小题 21 6 分 解下列方程 1 x2 14x 8 配方法 2 x2 7x 18 0 公式法 3 2x 3 2 4 2x 3 因式分解法 22 6 分 关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x 2 0 1 若 x 1 是方程的一个根 求 m 的值及另一个根 2 当 m 为何值时方程有两个不同的实数根 23 6 分 关于 x 的一元二次方程 a 6 x2 8x 9 0 有实根 1 求 a 的最大整数值 2 当 a 取最大整数值时 求出该方程的根 求 2x2 的值 24 6 分 关于 x 的方程 x2 2k 3 x k2 1 0 有两个不相等的实数根 x1 x2 1 求 k 的取值范围 2 若 x1x2 x1 x2 7 求 k 的值 3 25 8 分 某茶叶专卖店经销一种日照绿茶 每千克成本 80 元 据销售人员调查发现 每月的销售量 y 千克 与销售单价 x 元 千克 之间存在如图所示的变化规律 1 求每月销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式 2 若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润 1350 元 试求该月茶叶的销售单价 x 为多少元 26 8 分 如图 为美化环境 某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为 1500 平方米的长方形 草坪 并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道 已知长方形空地的长为 60 米 宽为 40 米 1 求通道的宽度 2 晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程 计划种植 四季青 和 黑麦草 两种绿草 该公司种 植 四季青 的单价是 30 元 平方米 超过 50 平方米后 每多出 5 平方米 所有 四季青 的种植单价可 降低 1 元 但单价不低于 20 元 平方米 已知小区种植 四季青 的面积超过了 50 平方米 支付晨光园 艺公司种植 四季青 的费用为 2000 元 求种植 四季青 的面积 27 10 分 某商店经销甲 乙两种商品 现有如下信息 信息 1 甲 乙两种商品的进货单价之和是 3 元 信息 2 甲商品零售单价比进货单价多 1 元 乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少 1 元 信息 3 按零售单价购买甲商品 3 件和乙商品 2 件 共付了 12 元 请根据以上信息 解答下列问题 1 求甲 乙两种商品的零售单价 2 该商店平均每天卖出甲乙两种商品各 500 件 经调查发现 甲种商品零售单价每降 0 1 元 甲种 商品每天可多销售 100 件 商店决定把甲种商品的零售单价下降 m m 0 元 在不考虑其他因素的 条件下 当 m 为多少时 商店每天销售甲 乙两种商品获取的总利润为 1000 元 28 10 分 已知关于 x 的一元二次方程 x2 m 6 x 3m 9 0 的两个实数根分别为 x1 x2 1 求证 该一元二次方程总有两个实数根 2 若 n 4 x1 x2 x1x2 判断动点 P m n 所形成的函数图象是否经过点 A 1 16 并说明理 由 4 一元二次方程一元二次方程测试题测试题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 小题 1 方程 x x 2 3x 的解为 A x 5 B x1 0 x2 5C x1 2 x2 0D x1 0 x2 5 解答 解 x x 2 3x x x 2 3x 0 x x 2 3 0 x 0 x 2 3 0 x1 0 x2 5 故选 B 2 下列方程是一元二次方程的是 A ax2 bx c 0 B 3x2 2x 3 x2 2 C x3 2x 4 0D x 1 2 1 0 解答 解 A 当 a 0 时 该方程不是一元二次方程 故本选项错误 B 由原方程得到 2x 6 0 未知数的最高次数是 1 不是一元二次方程 故本选项错误 C 未知数最高次数是 3 该方程不是一元二次方程 故本选项错误 D 符合一元二次方程的定义 故本选项正确 故选 D 3 关于 x 的一元二次方程 x2 a2 1 0 的一个根是 0 则 a 的值为 A 1B 1C 1 或 1D 3 解答 解 关于 x 的一元二次方程 x2 a2 1 0 的一个根是 0 02 a2 1 0 解得 a 1 故选 C 4 某旅游景点的游客人数逐年增加 据有关部门统计 2015 年约为 12 万人次 若 2017 年约为 17 万 人次 设游客人数年平均增长率为 x 则下列方程中正确的是 A 12 1 x 17B 17 1 x 12 C 12 1 x 2 17D 12 12 1 x 12 1 x 2 17 解答 解 设游客人数的年平均增长率为 x 则 2016 的游客人数为 12 1 x 2017 的游客人数为 12 1 x 2 那么可得方程 12 1 x 2 17 故选 C 5 如图 在 ABC 中 ABC 90 AB 8cm BC 6cm 动点 P Q 分别从点 A B 同时开始移动 点 P 的速度为 1cm 秒 点 Q 的速度为 2cm 秒 点 Q 移动到点 C 后停止 点 P 也随之停止运动 下列时 间瞬间中 能使 PBQ 的面积为 15cm2的是 A 2 秒钟B 3 秒钟C 4 秒钟D 5 秒钟 解答 解 设动点 P Q 运动 t 秒后 能使 PBQ 的面积为 15cm2 则 BP 为 8 t cm BQ 为 2tcm 由三角形的面积计算公式列方程得 8 t 2t 15 解得 t1 3 t2 5 当 t 5 时 BQ 10 不合题意 舍去 答 动点 P Q 运动 3 秒时 能使 PBQ 的面积为 15cm2 6 某幼儿园要准备修建一个面积为 210 平方米的矩形活动场地 它的长比宽多 12 米 设场地的长为 x 米 可列方程为 A x x 12 210 B x x 12 210C 2x 2 x 12 210D 2x 2 x 12 210 解答 解 设场地的长为 x 米 则宽为 x 12 米 5 根据题意得 x x 12 210 故选 B 7 一元二次方程 x2 bx 2 0 中 若 b 0 则这个方程根的情况是 A 有两个正根 B 有一正根一负根且正根的绝对值大 C 有两个负根 D 有一正根一负根且负根的绝对值大 解答 解 x2 bx 2 0 b2 4 1 2 b2 8 即方程有两个不相等的实数根 设方程 x2 bx 2 0 的两个根为 c d 则 c d b cd 2 由 cd 2 得出方程的两个根一正一负 由 c d b 和 b 0 得出方程的两个根中 正数的绝对值大于负数的绝对值 故选 B 8 x1 x2是方程 x2 x k 0 的两个实根 若恰 x12 x1x2 x22 2k2成立 k 的值为 A 1B 或 1C D 或 1 解答 解 根据根与系数的关系 得 x1 x2 1 x1x2 k 又 x12 x1x2 x22 2k2 则 x1 x2 2 x1x2 2k2 即 1 k 2k2 解得 k 1 或 当 k 时 1 2 0 方程没有实数根 应舍去 取 k 1 故本题选 A 9 一元二次方程 ax2 bx c 0 中 若 a 0 b 0 c 0 则这个方程根的情况是 A 有两个正根 B 有两个负根 C 有一正根一负根且正根绝对值大 D 有一正根一负根且负根绝对值大 解答 解 a 0 b 0 c 0 b2 4ac 0 0 0 一元二次方程 ax2 bx c 0 有两个不相等的实数根 且两根异号 正根的绝对值较大 故选 C 10 有两个一元二次方程 M ax2 bx c 0 N cx2 bx a 0 其中 a c 0 以下列四个结论中 错误的 是 A 如果方程 M 有两个不相等的实数根 那么方程 N 也有两个不相等的实数根 B 如果方程 M 有两根符号相同 那么方程 N 的两根符号也相同 C 如果 5 是方程 M 的一个根 那么是方程 N 的一个根 D 如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根 那么这个根必是 x 1 解答 解 A 在方程 ax2 bx c 0 中 b2 4ac 在方程 cx2 bx a 0 中 b2 4ac 如果方程 M 有两个不相等的实数根 那么方程 N 也有两个不相等的实数根 正确 B 和符号相同 和符号也相同 如果方程 M 有两根符号相同 那么方程 N 的两根符号也相同 正确 C 5 是方程 M 的一个根 25a 5b c 0 a b c 0 是方程 N 的一个根 正确 D M N 得 a c x2 c a 0 即 a c x2 a c a c 1 6 x2 1 解得 x 1 错误 故选 D 11 已知 m n 是关于 x 的一元二次方程 x2 2tx t2 2t 4 0 的两实数根 则 m 2 n 2 的最小值是 A 7B 11C 12D 16 解答 解 m n 是关于 x 的一元二次方程 x2 2tx t2 2t 4 0 的两实数根 m n 2t mn t2 2t 4 m 2 n 2 mn 2 m n 4 t2 2t 8 t 1 2 7 方程有两个实数根 2t 2 4 t2 2t 4 8t 16 0 t 2 t 1 2 7 2 1 2 7 16 故选 D 12 设关于 x 的方程 ax2 a 2 x 9a 0 有两个不相等的实数根 x1 x2 且 x1 1 x2 那么实数 a 的 取值范围是 A B C D 解答 解 方法 1 方程有两个不相等的实数根 则 a 0 且 0 由 a 2 2 4a 9a 35a2 4a 4 0 解得 a x1 x2 x1x2 9 又 x1 1 x2 x1 1 0 x2 1 0 那么 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 即 9 1 0 解得 a 0 最后 a 的取值范围为 a 0 故选 D 方法 2 由题意知 a 0 令 y ax2 a 2 x 9a 由于方程的两根一个大于 1 一个小于 1 抛物线与 x 轴的交点分别在 1 两侧 当 a 0 时 x 1 时 y 0 a a 2 9a 0 a 不符合题意 舍去 当 a 0 时 x 1 时 y 0 a a 2 9a 0 a a 0 故选 D 二 填空题 共二 填空题 共 8 小题 小题 13 若 x1 x2是关于 x 的方程 x2 2x 5 0 的两根 则代数式 x12 3x1 x2 6 的值是 3 解答 解 x1 x2是关于 x 的方程 x2 2x 5 0 的两根 x12 2x1 5 x1 x2 2 x12 3x1 x2 6 x12 2x1 x1 x2 6 5 2 6 3 故答案为 3 14 已知 x1 x2是关于 x 的方程 x2 ax 2b 0 的两实数根 且 x1 x2 2 x1 x2 1 则 ba的值是 解答 解 x1 x2是关于 x 的方程 x2 ax 2b 0 的两实数根 7 x1 x2 a 2 x1 x2 2b 1 解得 a 2 b ba 2 故答案为 15 已知 2x m 2 3 9 是关于 x 的一元二次方程 则 m 4 解答 解 由题意可得 m 2 2 解得 m 4 故答案为 4 16 已知 x2 6x 1 可以配成 x p 2 q 的形式 则 q 8 解答 解 x2 6x 9 8 x 3 2 8 所以 q 8 故答案为 8 17 已知关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 3x 1 0 有两个不相等的实数根 且关于 x 的不等式组 的解集是 x 1 则所有符合条件的整数 m 的个数是 4 解答 解 关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 3x 1 0 有两个不相等的实数根 m 1 0 且 3 2 4 m 1 0 解得 m 且 m 1 解不等式组得 而此不等式组的解集是 x 1 m 1 1 m 且 m 1 符合条件的整数 m 为 1 0 2 3 故答案为 4 18 关于 x 的方程 m 2 x2 2x 1 0 有实数根 则偶数 m 的最大值为 2 解答 解 由已知得 b2 4ac 22 4 m 2 0 即 12 4m 0 解得 m 3 偶数 m 的最大值为 2 故答案为 2 19 如图 某小区有一块长为 18 米 宽为 6 米的矩形空地 计划在其中修建两块相同的矩形绿地 它 们面积之和为 60 米 2 两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 则人行道的宽度为 1 米 解答 解 设人行道的宽度为 x 米 0 x 3 根据题意得 18 3x 6 2x 60 整理得 x 1 x 8 0 解得 x1 1 x2 8 不合题意 舍去 即 人行通道的宽度是 1 米 故答案是 1 20 如图是一次函数 y kx b 的图象的大致位置 试判断关于 x 的一元二次方程 x2 2x kb 1 0 的根的判 别式 0 填 或 或 8 解答 解 次函数 y kx b 的图象经过第一 三 四象限 k 0 b 0 2 2 4 kb 1 4kb 0 故答案为 三 解答题 共三 解答题 共 8 小题 小题 21 解下列方程 1 x2 14x 8 配方法 2 x2 7x 18 0 公式法 3 2x 3 2 4 2x 3 因式分解法 4 2 x 3 2 x2 9 解答 解 1 x2 14x 49 57 x 7 2 57 x 7 所以 x1 7 x2 7 2 7 2 4 1 18 121 x 所以 x1 9 x2 2 3 2x 3 2 4 2x 3 0 2x 3 2x 3 4 0 2x 3 0 或 2x 3 4 0 所以 x1 x2 4 2 x 3 2 x 3 x 3 0 x 3 2x 6 x 3 0 x 3 0 或 2x 6 x 3 0 所以 x1 3 x2 9 22 关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x 2 0 1 若 x 1 是方程的一个根 求 m 的值及另一个根 2 当 m 为何值时方程有两个不同的实数根 解答 解 1 将 x 1 代入原方程得 m 1 1 2 0 解得 m 2 当 m 2 时 原方程为 x2 x 2 0 即 x 1 x 2 0 x1 1 x2 2 方程的另一个根为 2 2 方程 m 1 x2 x 2 0 有两个不同的实数根 解得 m 且 m 1 当 m 且 m 1 时 方程有两个不同的实数根 23 关于 x 的一元二次方程 a 6 x2 8x 9 0 有实根 1 求 a 的最大整数值 2 当 a 取最大整数值时 求出该方程的根 求 2x2 的值 解答 解 1 根据题意 64 4 a 6 9 0 且 a 6 0 解得 a 且 a 6 所以 a 的最大整数值为 7 2 当 a 7 时 原方程变形为 x2 8x 9 0 64 4 9 28 9 x x1 4 x2 4 x2 8x 9 0 x2 8x 9 所以原式 2x2 2x2 16x 2 x2 8x 2 9 24 关于 x 的方程 x2 2k 3 x k2 1 0 有两个不相等的实数根 x1 x2 1 求 k 的取值范围 2 若 x1x2 x1 x2 7 求 k 的值 解答 解 1 原方程有两个不相等的实数根 2k 3 2 4 k2 1 4k2 12k 9 4k2 4 12k 5 0 解得 k 2 k x1 x2 2k 3 0 又 x1 x2 k2 1 0 x1 0 x2 0 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2k 3 x1x2 x1 x2 7 k2 1 2k 3 7 即 k2 2k 3 0 k1 1 k2 2 又 k k 1 25 某茶叶专卖店经销一种日照绿茶 每千克成本 80 元 据销售人员调查发现 每月的销售量 y 千 克 与销售单价 x 元 千克 之间存在如图所示的变化规律 1 求每月销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式 2 若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润 1350 元 试求该月茶叶的销售单价 x 为多少元 解答 解 1 设一次函数解析式为 y kx b 把 90 100 100 80 代入 y kx b 得 解得 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为 y 2x 280 2 根据题意得 w x 80 2x 280 2x2 440 x 22400 1350 解得 x 110 2 225 解得 x1 95 x2 125 答 销售单价为 95 元或 125 元 26 如图 为美化环境 某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为 1500 平方米的长方形草坪 并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道 已知长方形空地的长为 60 米 宽为 40 米 1 求通道的宽度 2 晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程 计划种植 四季青 和 黑麦草 两种绿草 该公司种 10 植 四季青 的单价是 30 元 平方米 超过 50 平方米后 每多出 5 平方米 所有 四季青 的种