高三数学第一轮复习 轨迹方程的常用求法素材

用心 爱心 专心1 年年 级级高三学学 科科数学版版 本本通用版 内容标题内容标题 高三第一轮复习 轨迹方程的常用求法高三第一轮复习 轨迹方程的常用求法 编稿老师编稿老师 本讲主要内容本讲主要内容 轨迹方程 求轨迹方程的基本方法 知识掌握知识掌握 知识点精析知识点精析 1 求曲线轨迹方程的基本步骤 建立适当的平面直角坐标系 设轨迹上任一点的坐标为 M x y 寻找动点与已知点满足的关系式 将动点与已知点坐标代入 化简整理方程 证明所得方程为所求曲线的轨迹方程 通常求轨迹方程时 可以将步骤 和 省略 2 几种常用的求轨迹的方法 直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 这些条件简单明确 易 于表述成含的等式 就得到轨迹方程 这种方法称之为直接法 用直接法求动点轨迹xy 的方程一般有建系设点 列式 代换 化简 证明五个步骤 但最后的证明可以省略 定义法 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线定义出发 直接写出轨迹方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 代入法 动点所满足的条件不易表述或求出 但形成轨迹的动点却随另一 P x y 动点的运动而有规律的运动 且动点的轨迹为给定或容易求得 则可先将 Q x yQ 表示为的式子 再代入的轨迹方程 然后整理得的轨迹方程 代入法也称 x y x yQP 相关点法 参数法 求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标 纵坐标之间的关系 则可借 助中间变量 参数 使之间建立起联系 然后再从所求式子中消去参数 得出动点的 x y 轨迹方程 说明 利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法 应注意如下几点 参数的选择要合理 应与动点坐标有直接关系 且易以参数表达 可供选择作 x y 参数的元素很多 有点参数 角参数 线段参数 斜率参数等 消参数的方法有讲究 基本方法有代入法 构造公式法等 解题时宜注意多加积累 对于所选的参数 要注意 其取值范围 并注意参数范围对的取值范围的制约 x y 几何法 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质 发现动点运动规律和动点 满足的条件 然后得出动点的轨迹方程 用心 爱心 专心2 交轨法 求两动曲线交点轨迹时 可由方程直接消去参数 例如求两动直线的交点 时常用此法 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系 然后消去参数得到轨迹方程 说明 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点轨 迹方程 其实质就是利用题设中的几何条件 通过 坐标互化 将其转化为寻求变量间的 关系 在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时 要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹时的作用 只要动点满足已知曲线定义时 就可直接得出方程 另外 要注意一些轨迹问题 都包含 一定的隐含条件 也就是曲线上点的坐标的取值范围 由曲线和方程概念可知 在求曲线方程时一定要注意 它的完备性和纯粹性 即轨迹 若是曲线的一部分 应对方程注明的取值范围 或同时注明的取值范围 若轨迹有x x y 不同的情况 应分别讨论 以保证它的完整性 轨迹问题还应区别是 求轨迹 还是 求轨迹方程 一般说来 若是 求轨迹方程 求到方程就可以了 若是 求轨迹 求到方程还不够 还应指出方程所表示的曲线的类型 解题方法指导解题方法指导 例 1 设直线与双曲线交于 以为直径的圆过原点 yaxb 22 31xy AB AB 求点的轨迹方程 P ab 解析 解析 222 22 3210 31 yaxb axabxb xy 设 则有 2 22 24310abab 2 3a 1122 A xyB xy 依题有 即 2 1212 22 21 33 abb xxx x aa OAOB 1212 0 x xy y 又 22 12121212 y yaxbaxba x xab xxb 有 化简得 故点的轨 2222 22 222 112 0 333 bba b ab aaa 22 21ab P a b 迹方程为 222 213xyx 评述 评述 如果题目中的条件有明显的等量关系 或者可利用平面几何知识推出等量关系 求方程可以用直接法 如本题中 推出 从而利用根与系数的关OAOB 1212 0 x xy y 系建立方程 例 2 如图所示 平面的两个顶点分别为椭圆的焦点 且三ABC AB 22 55xy 内角满足 试求顶点的轨迹方程 ABC 1 sincos 222 BAC C 用心 爱心 专心3 解析 解析 在中 ABC cossin 22 CAB 2sinsin 22 BAAB 2cossinsincos 2222 BABAABAB 又由正弦定理 11 sinsinsinsin 22 BAABC 得 故点的轨迹是以为焦点 长轴长为 的 11 22 22 ACBCABc CAB 双曲线的右支 其方程为 x y x 2 2 3 10 评述 评述 当题设条件符合椭圆 双曲线 抛物线的定义时 可直接写出方程 例 3 如图 已知是圆内的一点 是圆上两动点 且满足 4 0P 22 36xy AB 求矩形的顶点的轨迹方程 90APB APBQQ 解析 解析 设的中点为 则中 AB R xy Rt ABP 又 222 22 36ARAOORxy 2 2 4ARPRxy 有 即 2 222 436xyxy 22 4100 xyx 因此点在一个圆上 而当在此圆上运动时 点即在所求的轨迹上运动 RRQ 设 由为中点 11 Q xyR xy RPQ 用心 爱心 专心4 所以有 代入方程 1 1 4 2 2 x x y y 22 4100 xyx 得 22 44 4100 222 xyx 整理 得 即点的轨迹方程为 22 56xy Q 22 56xy 评述 评述 在某些较复杂的探求轨迹的过程中 可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程 再以此点作为主动点 所求的轨迹上的点为相关点 求得轨迹方程 考点突破考点突破 考点指要考点指要 轨迹问题是高考考查的重点 求轨迹方程 并说明是什么曲线 是近几年高考的热点 它常常与最值及分类讨论思想结合在一起 多出现在解答题中 选择题和填空题也有出现 考查数形结合 等价转换 分类讨论 函数与方程 逻辑推理诸方面的能力 对思维能力 思维方法的要求较高 分值大约是 5 14 分 考查通常分为三个层次 层次一 考查曲线轨迹方程的求法 层次二 考查判断曲线轨迹方程所表示的曲线类型 层次三 考查所求曲线轨迹方程的完备性和纯粹性 解决问题的基本方法和途径 直接法 定义法 代入法 参数法 几何法 交轨法 待定 系数法 数形结合法 分类讨论法 等价转化法 典型例题分析典型例题分析 例 4 2006 陕西 如图 三定点 三动点 210121ABC DEM 满足 01ADtAB BEtBC DMtDEt 求动直线斜率的变化范围 DE 求动点的轨迹方程 M 解析 解法一 解析 解法一 设 DDEE D xyE xyM xy 由 知 ADtAB BEtBC 2 12 2 DD xyt 用心 爱心 专心5 同理 22 21 D D xt yt 2 21 E E xt yt ED DE ED yy k xx 2121 1 2 222 tt t tt 0 1t 1 1 DE k DMtDE 22 21222 2121xtytttttt 2 42tt 2 2 42ttt 即 2 2 1 2 1 2 xt yt 2 4 x y 2 4xy 即所求轨迹方程为 0 1t 2 1 22 2xt 2 4xy 2 2x 解法二 解法二 同上 如图 1ODOAADOAtABOAt OBOAt OAtOB 1OEOBBEOBtBCOBt OCOBt OBtOC 1OMODDMODtDEODt OEODt ODtOE 设点坐标为 2 2 12 1tOAt tOBt OC M x y 由 得 2 1 0 1 2 1OAOBOC 2 2 22 2 122 1022 1 2 112 1111 2 xtt ttt ytt ttt 消去 得 t 2 4xy 0 1t 故所求轨迹方程为 2 2x 2 4xy 2 2x 用心 爱心 专心6 评述 评述 本题考查了利用参数法求动点轨迹方程 对于所选的参数 要注意其取值范围 并注意参数范围对的取值范围的制约 xy 例 5 2006 山东 双曲线与椭圆有相同的焦点 直线为的C 22 1 84 xy 3yx C 一条渐近线 求双曲线的方程 C 过点的直线 交双曲线于两点 交轴于点 点与的顶点 0 4P lCAB xQQC 不重合 当 且时 求点的坐标 12 PQQAQB 12 8 3 Q 解析 解析 设双曲线的方程为 由椭圆 求得两焦点为C 22 22 1 xy ab 22 1 84 xy 对于双曲线 又为的一条渐近线 解 2 02 0 2Cc 3yx C3 b a 得 双曲线的方程为 22 13ab C 2 2 1 3 y x 解法一 解法一 由题意知直线 的斜率存在且不等于零 lk 设 的方程为 lykxA xyB xy 4 1122 则 4 0Q k 1 PQQA 111 44 4xy kk 在双曲线上 1 111 1 11 1 44 44 4 4 x xkk kk yy 11 A xy C 用心 爱心 专心7 2 1 22 11 11616 10 3k 2222 111 16 1632160 3 kk 同理有 222 11 16 1632160 3 kk 222 22 16 1632160 3 kk 若 则直线 过顶点 不合题意 2 160k l 2 160k 是二次方程的两根 12 222 16 1632160 3 kxxk 12 2 328 163k 此时 0 所求点的坐标为 2 4k 2k Q 2 0 解法二 解法二 由题意知直线 的斜率存在且不等于零 lk 设 的方程为 则 lykxA xyB xy 4 1122 4 0Q k 分的比为 1 PQQA QPA 1 由定比分点坐标公式得 下同解法一 1 1 11 11 11 1 11 44 1 1 44 0 1 x x kk y y 解法三 解法三 由题意知直线 的斜率存在且不等于零 lk 设 的方程为 则 l B 4 2211 yx yxAkxy 4 0Q k 12 PQQAQB 111222 444 4xyxy kkk 1122 4yy 1 1 4 y 又 2 2 4 y 12 8 3 12 112 3yy 即 1212 32yyy y 将代入 得4ykx 2 2 1 3 y x 222 3244830kyyk 用心 爱心 专心8 否则 与渐近线平行 2 30k l 2 1212 22 24483 33 k yyy y kk 2 22 24483 32 33 k kk 2k 2 0Q 解法四 解法四 由题意知直线 的斜率存在且不等于零 lk 设 的方程为 则 lykxA xyB xy 4 1122 4 0Q k 1 PQQA 111 44 4xy kk 同理 1 1 1 4 4 4 4 k kx x k 2 2 4 4kx 即 12 12 448 443kxkx 2 1212 2580k x xk xx 又 消去 得 当时 2 2 4 1 3 ykx y x y 22 38190kxkx 2 30k 则直线 与双曲线的渐近线平行 不合题意 l 2 30k 由韦达定理有 代入 式得 12 2 12 2 8 3 19 3 k xx k x x k 2 42kk 所求点的坐标为Q 2 0 评述 评述 本题考查直接法求轨迹方程 并利用所求得的轨迹方程解决其它综合问题 当 研究直线与圆锥曲线的位置关系时 将直线方程代入圆锥曲线方程化为二次方程 讨论二 次项系数是否为零 并利用韦达定理得到关系式 达标测试达标测试 一 选择题 1 设动点是抛物线上任意一点 定点 点分所成的比为P 2 21yx 0 1A MPA 用心 爱心 专心9 则点的轨迹方程是 2 1M A B C D 2 1 6 3 yx 2 1 3 3 yx 2 31yx 2 1 6 3 xy 2 已知椭圆的焦点是 是椭圆的一个动点 如果是线段的中点 则动 12 FF PM 1 FP 点的轨迹是 M A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 3 已知圆的方程为 若抛物线过点 且以圆的切线为准 22 4xy 1010AB 线 则抛物线的焦点的轨迹方程是 A B 22 10 43 xy x 22 10 43 xy x C D 22 10 43 xy y 22 10 43 xy y 4 已知是不在同一直线上的三个点 是平面内的一定点 是平面ABC OABCP 内一动点 若 则点的轨迹一定过三ABC 1 0 2 OPOAABBC P 角形的 ABC A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 5 设动点在直线上 为坐标原点 以为直角边 点为直角顶点作等腰P1x OOPO 则动点的轨迹是 Rt OPQ Q A 圆 B 两条平行线 C 抛物线 D 双曲线 6 已知点 动点满足 则点的轨迹是 2 03 0AB P xy 2 PA PBx P A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 7 如图 已知圆的方程为 点的坐标为 为圆上的任O 22 100 xy A 6 0 MO 意一点 的垂直平分线交于点 则点的轨迹方程为 AMOMPP A B 22 1 2516 xy 22 1 2516 xy C D 2 2 3 1 2516 xy 2 2 3 1 2516 xy 8 与圆外切 又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 22 40 xyx y A B 和 2 8yx yx x 2 80 0y C D 和 y 0 x 0 yx x 2 80 yx x 2 80 用心 爱心 专心10 二 填空题 9 已知点 为圆上任意一点 则线段的中点的轨迹方程 6 0AB 22 4xy ABM 为 10 是椭圆上的任意一点 是它的两个焦点 为坐标原点 P 22 22 1 xy ab 12 FF O 则动点的轨迹方程是 12 OQPFPF Q 11 的顶点 若 则顶点的轨迹方程为ABC 102 0BC 2ACBABC A 12 在平面内 到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆 到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线 到定直线和定点的距离之比为的点的轨迹是双曲线 2 a x c 0Fc a c ca 0 到定点和定直线的距离之比为的点的轨迹是椭圆 0F c 2 a x c a c ac 0 其中正确命题的序号是 三 解答题 13 已知 动点满足 12 1010FF 1 0 2 A P 12 30PF PAPFPA 求动点的轨迹方程 P 是否存在点 使得成为的平分线 若存在 求出点坐标 若不存PPA 12 FPF P 在 说明理由 14 已知点 点在轴上 点在轴的正半轴上 点在直线上 3 0P AyQxMAQ 满足 3 0 2 PA AMAMMQ 当点在轴上移动时 求动点的轨迹的方程 AyMC 设轨迹的准线为 焦点为 过作直线交轨迹于两点 过点ClFFmCGH 作平行于轨迹的对称轴的直线 且 试问点 为坐标原点 GCnnlE EOH O 是否在同一条直线上 并说明理由 15 如图 已知 A 3p 0 p 0 两点分别在轴和轴上运动 并且BC yx 用心 爱心 专心11 1 0 2 AB BQBCCQ 求动点的轨迹方程 Q 设过点的直线与的轨迹交于两点 求直线的斜AQEF 3 0Ap AEAF 率之和 综合测试综合测试 一 选择题 1 2004 辽宁 已知点 动点满足 当点 12 2 02 0FF P 21 2PFPF 的纵坐标是时 点到坐标原点的距离是 P 1 2 P A B C D 6 2 3 2 3 2 已知椭圆的焦点是 是椭圆的一个动点 如果是线段的中点 则动 12 FF PM 1 FP 点的轨迹是 M A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 3 2006 河南 复数 为虚数单位 且 在复平面上 复数 zxyi xyR i2z 对应的点的坐标满足 则点的轨迹所确定的图形的面积为z P xy 031yx P A B C D 7 10 10 7 4 2005 北京 如图 正方体中 点在侧面的边界上运 1111 ABCDABC D P 11 BCC B 动 并且总保持 则动点的轨迹是 1 APBD P 用心 爱心 专心12 A 线段 1 BC B 线段 1 BC C 中点与中点连成的线段 1 BB 1 CC D 中点与中点连成的线段BC 11 BC 5 2005 北京 方程所表示的曲线是 2244 990 xyxy A 双曲线和一个圆 B 双曲线和两条相交直线 C 两条相交直线和一个圆 D 两条平行直线和一个圆 6 2005 北京 若为两个定点且 动点满足 则点的MN 6MN P0PM PN P 轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 7 平面直角坐标系中 为坐标原点 已知 若满足 O 3113AB C 其中且 则点的轨迹方程为 OCOAOB R 1 C A B 22 125xy 32110 xy C D 20 xy 250 xy 8 2005 湖北 已知两个定点 A a 0 B a 0 a 0 动直线分别绕点 12 ll A 点转动 并保持到的角为 45 则与的交点的轨迹是 B 1 l 2 l 1 l 2 l A 一条直线 B 两条相交直线 C 两条平行直线 D 一个圆 二 填空题 9 过椭圆上任意一点作轴的垂线 垂足为 则线段中点的轨 22 22 1 xy ab MxNMN 用心 爱心 专心13 迹方程是 10 2005 重庆 已知 是圆 为圆心 上一动点 1 0 2 A B 2 2 1 4 2 Fxy F 线段的垂直平分线交于 则动点的轨迹方程为 ABBFPP 11 2005 上海 平面直角坐标系中 若定点与动点满足xoy 12A P xy 则点的轨迹方程为 4OP OA P 12 2005 江西 以下四个关于圆锥曲线的命题中 设为两个定点 为非零常数 若 则动点的轨迹为双曲AB kPAPBk P 线 过定圆上一定点作圆的动弦 为坐标原点 若 则CAABO 1 2 OPOAOB 动点的轨迹为椭圆 P 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 2 2520 xx 双曲线与椭圆有相同的焦点 22 1 259 xy 2 2 1 35 x y 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 三 解答题 13 2005 江西 设抛物线的焦点为 动点在直线上运动 过 2 Cyx FP20lxy 作抛物线的两条切线 且与抛物线分别相切于两点 PCPAPB CAB 求的重心的轨迹方程 APB G 证明 PFAPFB 14 已知椭圆的左 右焦点分别是 是椭 x a y b ab 2 2 2 2 10 12 00FcFc Q 圆外的动点 满足 点是线段与该椭圆的交点 点在线段上 并 1 2FQa P 1 FQT 2 F Q 且满足 22 00PT TFTF 用心 爱心 专心14 设为点的横坐标 证明 xP 1 c FPax a 求点的轨迹的方程 TC 试问 在点的轨迹上 是否存在点 使的面积若存在 求TCM 12 FMF 2 Sb 的正切值 若不存在 请说明理由 12 FMF 15 2005 北京 已知直线与曲线交于两点 1l ymx 22 2C axymaR AB 设 当时 求点的轨迹方程 OPOAOB 2a P 是否存在常数 对任意 都有 如果存在 求出的值 如amR 2OA OB a 果不存在 说明理由 是否存在常数 对任意 都有为常数 如果存在 求出的值 maR OA OB m 如果不存在 说明理由 用心 爱心 专心15 达标测试答案达标测试答案 一 选择题 1 答案 答案 A 解析 解析 设 00 P xyM x y 2PMMA 0 000 212 02 123123 yxxy xy 0 0 3 32 xx yy 又在已知抛物线上 00 P xy 即 2 2 00 21322 31yxyx 2 1 6 3 yx 2 答案 答案 B 解析 解析 连结 则 OM 2 1 2 OMPF PFPFaaF F 1212 22 MFMQPFPFa aF O 1121 1 2 点的轨迹是以 为焦点的椭圆 M 1 FO 3 答案 答案 D 解析 解析 如图所示 设焦点坐标为 分别为到圆的切线 的距离 F xy 12 dd AB l 抛物线过点 1010AB 为到 的距离 AFdBFdAFBFddd 1212 2dOl 即到 的距离之和为 AFBF 4FAB 的方程为F 22 10 43 xy y 4 答案 答案 C 用心 爱心 专心16 解析 解析 由得 1 2 OPOAABBC 1 2 APABBC 设中点为 则有 因此点在直线上移动 故经过的BCDAPAD PADABC 重心 5 答案 答案 B 解析 解析 设点 的坐标分别为 由 得 QP 0 1x yy OQOP 1 OQOP kk 即 又由 得 0 0 1 1 yyx y xy OQOP 222 0 1xyy 即 由 消去 得点的轨迹方程为与 222 0 1xyy 0 yQ1y 1y 6 答案 答案 D 解析 解析 则 23PAxyPBxy 22 23PA PBxxyx 化简得 轨迹为抛物线 2 6yx 7 答案 答案 C 解析 解析 因为点在线段的垂直平分线上 所以 PAMPAPM 故 即点到定点和的距离之和10PAPOPMPOOM P 6 0A 0 0O 为定长 10 所以动点轨迹是以为焦点的椭圆 中心为 长轴长为 10 故PAO 3 0 点的方程为P 2 2 3 1 2516 xy 8 答案 答案 D 解析 解析 设动圆圆心为 动圆半径为 定圆圆心为 半径 r1 2 M x yr 2 0C 由题设得 又 故 2MCr rx 2MCx 2 2 22xyx 化简得 当 x 0 时 当 x 0 时 所求轨迹方程为 2 44yxx 2 8yx 0y 和 y 0 x 0 2 80yx x 二 填空题 9 答案 答案 2 2 31xy 用心 爱心 专心17 解析 解析 设 则 将代入得 M x y 26 2Bxy B 22 4xy 2 2 31xy 10 答案 答案 22 22 1 44 xy ab 解析 解析 由 又 设 12 OQPFPF 12 22PFPFPMPOOP Q xy 则 11 2222 xy OPOQxy 即点坐标为 又在椭圆上 P 22 xy P 则有 即的轨迹方程是 22 22 2222 22 11 44 xy xy abab Q 22 22 1 44 xy ab 11 答案 答案 x y x 2 2 3 11 解析 解析 设 则 又 A xy tantan 12 yy ABCACB xx 2ACBABC 即 2 2tan tantan2 1tan ABC ACBABC ABC 2 2 2 1 2 1 1 y y x yx x 整理得 x y x 2 2 3 11 12 答案 答案 解析 解析 根据椭圆及双曲线的第一 第二定义 结合条件及可能出现的变化情况即得 三 解答题 用心 爱心 专心18 13 解析 解析 设 由 P xy 12 1 11 2 PFxyPFxyPAxy 2 2 1 11 11 22 PF PAxxyxxy 2 2 2 11 11 22 PFPAxxyxxy 化简得即为点的 22 11 311 22 xxyxxy 0 22 1 4 xy P 轨迹方程 假设存在 则 12 coscosFPAAPF 12 12 PF PAPFPA PFPAPFPA 将条件代入上式 显然不可能 这样的点不存在 21 3PFPAPF PA P 14 解析 解析 设点的坐标为 则由 得 由M xy 3 2 AMMQ 0 2 y A 得 故所求动点的轨迹的方程为0PA AM 2 3 304 22 y xyyx MC 2 4yx 轨迹的焦点为 准线为 对称轴为轴 C 10F 1lx x 当直线的倾斜角为 90 时 直线的方程为 代入 mm1x 2 4yx 得 显然三点共线 2121212yHGnlE EOH 当直线的倾斜角不为 90 时 直线的方程为 代入 mm 1yk x 2 4yx 得 设的坐标分别为 则 2 4 40yy k HG 22 12 12 44 yy yy 12 4y y 2 1nlEy 2 1 21 1 4 y OEyOHy 三点共线 2 1 1211 0 4 y yyyy EOH 用心 爱心 专心19 15 解析 解析 设 因为 所以 又 Q xy 1 2 BCCQ 0 2 y B 30Ap 所以 由已知 3 3 22 y ABpBQxy 0AB BQ 则 即动点的轨迹方程为 2 3 30 4 pxy 2 4ypx Q 2 4ypx 设过点的直线为 联立方程组A 30yk xpk 1122 E xyF xy 消去得 2 3 4 yk xp ypx x 2 30 4 k yykp p 2 12 12y yp 12121212 1212 33 3333 AEAF yyy xpyy xpy kk xpxpxpxp 又 22 1122 4 4ypx ypx 22 12 21 12 1122 1212 333 444 3333 AEAF y yyy yypypyypy ppp kk xpxpxpxp 由 得 2 12 12y yp 0 AEAF kk 综合测试答案综合测试答案 一 选择题 1 答案 答案 A 解析 解析 由已知 的轨迹为双曲线 将代入121acb P 22 1xy 1 2 y 得 则 2 5 4 x 22 516 442 OPxy 2 答案 答案 B 解析 解析 如图所示 用心 爱心 专心20 由题知 设椭圆方程为 其中 a b 0 12 2PFPFa 22 22 1 xy ab 连 由三角形的中位线可得 MO F MMOa aFO 11 则的轨迹是以 为焦点的椭圆 M 1 FO 3 答案 答案 D 4 答案 答案 A 解析 解析 设为的轨迹上的两点 12 PP P 则 因不共线 1121 APBDAPBD 12 APP 确定一个平面 与面交于直线 且知 12 APP 1 BC 12 PP 1 BD 又在面平行且只有与点确定的平面与垂直 121 PPBP 1 BC 1 BCA 1 B D 点的轨迹为 P 1 BC 5 答案 答案 C 解析 解析 原方程化为 则或 2222 90 xyxy 22 0 xy 22 90 xy 即或 方程表示两相交直线和一个圆 yx 22 9xy 6 答案 答案 A 解析 解析 以的中点为原点建立平面直角坐标系 MN 并设 3 03 0MNP xy 则 即 22 3390PM PNxyxyxy 22 9xy 7 答案 答案 D 解析 解析 由 1OCOAOBOCOAOB OCOAOBOA 用心 爱心 专心21 设点坐标为 则ACAB C xy 314 2ACxyAB 31 314 2250 42 xy xyxy 8 答案 答案 D 解析 解析 设交点坐标为 则 而到的角为 12 ll xy 12 ll yy kk xaxa 1 l 2 l 45 即是一个圆 21 21 tan451 1 1 ll ll yy kk xaxa yy kk xa xa 222 20 xyaya 二 填空题 9 答案 答案 22 22 4 1 xy ab 解析 解析 设的中点为 则点在椭圆上 MN 00 P xy 00 2M xy 2 2 0 0 22 2 1 yx ab 由此得点的轨迹方程为P 22 22 4 1 xy ab 10 答案 答案 22 4 1 3 xy 解析 解析 由图知 结合椭圆定义 知点的轨迹为椭圆 PAPBPAPFBFr P 其中 2 13 1 24 cab 从而求得方程为 22 4 1 3 xy 11 答案 答案 240 xy 12 答案 答案 用心 爱心 专心22 解析 解析 当为负值时 动点轨迹不为双曲线 当时 点不在椭圆上 kOAOB P 正确 则真命题为 三 解答题 13 解析 解析 设切点坐标分别为 AB 22 001101 xxxxxx 切线的方程为 切线的方程为AP 2 00 20 x xyx BP 解得点的坐标为 2 11 20 x xyx P 01 01 2 PP xx xyx x 的重心的坐标为 APB G 01 3 P GP xxx xx 22 010101 33 P G yyyxxx x y 2 2 0101 4 33 PP xxx xxy 由点在直线上运动 从而得到重心的轨 2 34 PGG yyx P20lxy G 迹方程为 即 2 3420 xyx 2 1 42 3 yxx 方法一 方法一 因为 22 01 000111 111 4244 xx FAxxFPx xFBxx 由于点在抛物线外 则 P0FP 同理有 2 01 0010 01 2 22 00 11 1 244 4 cos 1 4 xx xx xx x x FP FA AFP FP FAFP FPxx 2 01 1011 01 2 22 11 11 1 244 4 cos 1 4 xx xx xx x x FP FB BFP FP FBFP FPxx PFAPFB 方法二 方法二 当时 由于 不妨设 则 10 0 x x 10 xx 0 0 x 0 0y 点的坐标为 则点到直线的距离为 P 1 0 2 x PAF 1 1 2 x d 而直线的方程为 则 BF 2 1 1 1 1 4 4 x yx x 2 111 11 0 44 xxx yx 用心 爱心 专心23 点到直线的距离为 PBF 2 2111 1 1 1 2 2 2 2 2 1 11 11 42442 1 2 1 4 4 xxx xx x d x xx 即得 12 dd PFAPFB 当时 直线的方程为 10 0 x x AF 2 0 0 1 1 4 0 40 x yx x 即 直线的方程为 2 000 11 0 44 xxx yx BF 2 1 1 1 1 4 0 40 x yx x 即 点到直线的距离为 2 111 11 0 44 xxx yx PAF 22 201 01 0010 0 01 1 2 2 2 2 0 00 111 42424 1 2 1 4 4 xxxx xx xxx xx d x xx 同理可得到点到直线的距离 PBF 10 2 2 xx d 因此知 可得到 12 dd PFAPFB 14 解析 解析 证法一 证法一 设点的坐标为 由在椭圆上 得P x y P x y 2 2 22 222 1 2 bc FPxcyxcbxax aa 由 知 所以xa a c a xca 0 1 c FPax a 证法二 证法二 设点的坐标为 记 则 P x y 1122 FPr F Pr 2 2 1 rxcy 用心 爱心 专心24 由 得 2 2 2 rxcy 22 1212 2 4rra rrcx 1 c FPax a 证法三 证法三 设点的坐标为 椭圆的左准线方程由椭圆第二定义得 P x y 1 2 FP c aa x c 即 2 1 cac FPxax aca 由 知 所以 xa a c a xca 0 1 c FPax a 解法一 解法一 设点的坐标为 当时 点和点在轨迹上 T x y0PT 0a 0a 当且时 由得0PT 2 0TF 2 0PT TF 2 PTTF 又 所以为线段的中点 在中 所 2 PQPF T 2 F Q 12 QFF 1 1 2 OTFQa 以有 222 xya 综上所述 点的轨迹的方程是TC 222 xya