高二数学 直线 平面 简单几何 棱柱 棱锥同步教案 新人教A版

用心 爱心 专心 1 高高 二二 数数 学 第学 第 2525 讲 讲 教学内容教学内容 第九章第九章 直线直线 平面平面 简单几何简单几何 棱柱棱柱 棱锥棱锥 教学目标教学目标 1 掌握棱柱 棱锥的概念 基本元素的关系及其性质 2 掌握柱 锥的侧面积 全面积 体积的计算 3 会用斜二测画法画水平放置的平面图形和柱 锥的直观图 知识重点与难点知识重点与难点 1 棱柱的定义 本质特征 1 有两个面互相平行 2 其余各面中每相邻两个面的公共边互相平行 2 棱柱的分类 1 按底面边数可分为 三棱柱 四棱柱 五棱柱等等 按侧棱与底面垂直与否可分为 直棱柱 斜棱柱 2 正棱柱是一种特殊的直棱柱 3 四棱柱是常见的一种棱柱 包括平行六面体 长方体 正方体等 它们之间关系如下 四棱柱 平行六面体 长方体 正方体 3 棱柱的性质要点 1 侧棱都相等 侧面是平行四边形 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 2 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 4 棱锥的形状特征 1 底面是多边形 2 侧面是有一个公共顶点的三角形 5 棱锥的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么 1 截面和底面相似 2 截面积和底面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比 6 正棱锥是一种特殊的棱锥 底面是平行四边形 形 相交的棱互相垂直 各棱相等 用心 爱心 专心 2 1 底面是正多边形 顶点在底面的射影是底面的中心 2 各侧面是全等的等腰三角形 各侧棱相等 各斜高相等 3 正棱锥的高与斜高 斜高在底面的射影组成一个直角三角形 正棱锥的高与侧棱 侧棱在底面的射影组成一个直角三角形 7 棱柱的问题常在高与侧棱构成的四边形中解决 棱锥的问题则在相应的三角形中处理 8 体积公式 V锥体 Sh 其中 S 是底面积 h 是高 3 1 V柱体 Sh 其中 S 是柱体的底面积 h 是柱体的高 典型例题典型例题 例例 1 1 已知正六棱柱的最长对角线为 13cm 侧面积为 180cm2 求正六棱柱的体积 分析分析 因为 V棱柱等于底面积乘以高 而底面是正六边形 高即侧棱长 所以关键在于求 得底面边长和高 或侧棱长 解 解 设底面边长为 a 高为 h AD1是最长对角线 高 DD1 底面 由 Rt ADD1知 2a 2 h2 169 由侧面积为 180cm2知 6a h 180 即 1204 169 2 22 ah ha 相加和相减后开平方得 72 172 72 172 ha ha ha ha 或 即 12 2 5 5 6 h a h a 或 正六棱柱体积为 V1 32705 6 4 3 6 32 cm 或 V2 3 2 225 12 2 5 4 3 6 32 cm 例例 2 2 正三角形的边长为 16 把它沿高 AD 折成 120 的二面角 1 求三棱锥 A BCD 的体积 2 求点 D 到平面 ABC 的距离 解 解 1 AD DC AD BD AD 平面 BCD 且 BDC 为二面角的平面角 用心 爱心 专心 3 BDC 120 VA BCD S BCD AD 3 1 3 1 60sin16 120sin8 2 1 2 128 2 设 D 到平面 ABC 距离为 h VA BCD VD ABC 128 3 1 hS ABC BCD 中 BC2 BD2 DC2 2 BD DC cos120 38 BC 等腰 ABC 中 BC 边上的高为134 2 16 22 BC 39 13 8 3916 3128 391613438 2 1 h S ABC 点评 在求三棱锥体积时 应选择适当的底和高 同时 也可通过选择不同的底和高 利用体积公式来求点到平面距离 例例 3 3 斜棱柱的底面是等腰三角形 ABC AB AC 10 BC 12 棱柱顶点 A1到 A B C 三点 距离相等 侧棱长是 13 求它的侧面积 解法一 解法一 取 BC 中点 D 则 BC AD 作 A1O 平面 ABC 于 O 取 AB 中点 E 连结 A1E EO A1A A1B A1C O 是 ABC 外心 O 在 AD 上 BC AD A1O 平面 ABC 由三垂线定理 BC AA1 BC BB1 侧面 BCC1B1为矩形 1561312 11 BBCC S A1A A1B E 为 AB 中点 A1E AB Rt A1AE 中 AE 5 AA1 13 A1E 12 用心 爱心 专心 4 ABB1A1 10 12 120S 同理 S ACC1A1 120 S侧 156 120 2 396 解法二 解法二 取 BC 中点 D 过 B 作 BE AA1于 E 连结 DE CE A1B A1C D 为 BC 中点 A1D BC AB AC D 为 BC 中点 AD BC BC 平面 ADA1 AA1平面 ADA1 BC AA1 又 AA1 BE AA1 平面 BEC 平面 BEC 为棱柱的直截面 等腰三角形 A1BA 中 cos A1AB 13 5 2 1 1 AA AB sin A1AB 13 12 Rt ABE 中 13 120 sin 1 ABAABBE S侧 39613 122 13 120 点评 求斜棱柱侧面积有两种方法 一是分别求出各个侧面的面积再求和 二是作出直 截面 用直截面的周长乘以侧棱长 因为直截面的边长是各侧面平行四边形的高 每个平 行四边形用侧棱乘以高来求面积 例例 4 4 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1的底面是直角三角形 ACB 90 侧棱与底面成 60 角 点 B1在底面上的射影恰为 BC 中点 D 1 求证 AC 平面 BCC1B 2 求证 AB1 BC1 3 若 BC 2 四棱锥 A BB1C1C 的体积为 求二面角 A BB1 C 的大小 3 3 2 解 解 1 证明 B1D 平面 ABC AC平面 ABC B1D AC 用心 爱心 专心 5 又 AC BC ACBC C AC 平面 BCC1B 2 连结 B1C A C 平面 BCC1B B1C 是 AB1在平面 BCC1B 内的射影 B1D 平面 ABC B1BD 60 B1B 2BD 又 D 为 BC 中点 B1B BC BCC1B1是菱形 B1C BC1 由三垂线定理 BC1 AB1 3 取 BB1中点 M 连结 CM AM CM BB1由三垂线定理 AM BB1可知 AMC 为二面角的 平面角 SV CCBBA 3 1 11 ACACAC CCBB 3 3 2 60sin22 3 1 11 AC 13 3 2 3 3 2 AC Rt AMC 中 3 3 60sin2 1 tan MC AC AMC AMC 30 例例 5 5 在棱长为 a 的正四面体 ABCD 内 作一个内接正三棱柱 A1B1C1 A2B2C2 使底面 A2B2C2在平面 BCD 中 且 A1 B1 C1分别在 AB AC AD 上 当 A1在 AB 上的什么位置时 三棱 柱的体积最大 解 解 设 AA1 x 0 x a 平面 A1B1C1 平面 BCD A1B BC AC AB AB AA 11 AB AC AA1 AB1 A1AB1 60 用心 爱心 专心 6 得等边 AA1B1 同理 AB1C1 AC1A1也为等边三角形 四面体 AA1B1C1为正四面体 这两个四面体的高分别为xa 3 6 3 6 和 则棱柱的高为 a x 3 6 33 22 27 2 3 22 2 22 2 4 2 3 6 60sin 2 1 a xa xx xa xx xaxxaxV 正三棱柱 当且仅当时 等号成立 ax 3 2 当 AA1 时 三棱柱体积的最大值为a 3 2 3 27 2 a 注 2 2 0 0 ba baba 有时 这个规律可以推广到 3 3 0 0 0 cba cbacba 有 同步练习同步练习 一 选择题 1 给出四个命题 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 对角面是全等矩形的四棱柱是长方体 有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 长方体一定是正四棱柱 其中正确的命题个数是 A 0B 1C 2D 3 2 有下列四个条件 侧棱长都相等 侧面与底面所成的二面角都相等 侧棱和底面所成的角都相等 侧面是全等的等腰三角形 能判定这个三棱锥是正三棱锥的是 用心 爱心 专心 7 A B C D 都不能判定 3 一个棱锥被平行于底面的平面所截 若截面面积与底面面积之比为 4 9 则此棱锥的侧 棱被分成上 下两部分之比为 A 4 9B 2 1C 2 3D 2 5 4 平行六面体的棱长都是 a 从一个顶点出发的三条棱两两都成 60 角 则该平行六面体 的体积为 A a3B a3C a3D 2 1 2 2 3 2 3 a 5 正四棱锥的一个对角面与侧面积之比为 8 则侧面与底面所成的一个二面角为 6 A B C D 12 6 4 3 6 正四面体内一点到各面距离之和为一个常数 则此常数为 A 正四面体的一条棱长B 正四面体的一条斜高长 C 正四面体的高D 以上结论都不对 二 填空题 7 长方体 ABCD A1B1C1D1中 设 D1B 与自点 D1出发的三条棱分别成角 则 cos2 cos2 cos2 8 正六棱锥底面周长为 6 高为 那么它的侧面积是 4 13 9 把图中边长为 a 的正方形剪去阴影部分 沿所画的虚线折成一个正三棱锥 则这个正三 凌锥的高为 用 a 表示 三 解答题 10 已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体 E F 分别是棱 AA1与 CC1的中点 求四棱锥 A1 EBFD1的体积 用心 爱心 专心 8 11 如图 斜三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形 顶点 A1在底面 ABC 上的射 影 O 是 ABC 的中心 AA1与 AB 的夹角是 45 1 求证 AA1 平面 A1BC 2 求此棱柱的侧面积 12 在三棱锥 P ABC 中 已知 AB 1 AC 2 BAC 的平分线 AD 1 且凌锥的三个侧面与底 面都成 60 角 求 1 三棱锥的侧面积 2 三棱锥的高 参考答案参考答案 一 选择题 1 A 错 各侧面都是正方形 仅能保证是直棱柱 而底面未必是正多边形 错 对角面是全等矩形的四棱柱 仅能保证是直平行六面体 而底面不一定是矩形 错 若是相交的两个侧面垂直于底面 可证明是直棱柱 若是平行的两个侧面垂直于底面 不一定是直棱柱 错 长方体的底面如果不是正方形就不是正四棱柱 2 D 不能 可证得顶点在底面的射影是底面三角形的外心 但不一定是中心 底 面也不一定是正三角形 不能 可证得 顶点在底面的射影是底面三角形的内心 但底面不一定是正三 角形 不能 把如图菱形 ABCD DAB 30 沿对角线 BD 翻折 使 AC BD 此时 ABD CBD ACD 但是 DACB 不是正三棱锥 3 B 用心 爱心 专心 9 截面与底面相似 相似比为 2 3 截得的小棱锥与大棱锥侧棱之比为 2 3 侧棱被分成的 上 下部分比为 2 1 4 C 设 A 发出的三条棱两两成 60 角 则 AA1在底面的射影是 DAB 的平分线 且 cos A1AO cos OAB cos A1AB 3 6 sin 3 3 cos 11 AOAAOA V S ABCD A1O a asin60 a sin A1AO 33 2 2 3 6 2 3 aa 5 D 设正四棱锥的高为 h 斜高为 h 底面边长为 a haPOACSPAC 2 2 1 2 1 2 1 2 1 haPEBCSPBC 4 2 4h h S S PBC PAC 2 3 2 4 8 6 h h 3 2 3 sin PEOPEO 6 C 以正四面体内一点为顶点 每一个面为底面得到四个三棱锥 它的体积和等于这个正四面体 的体积 二 填空题 7 设长方体的长 宽 高分别为 a b c BD1C1 BD1D BD1A1 cos BD DA BD DD BD CD 1 11 1 1 1 11 cos cos 1coscoscos coscoscos 222 2 1 222 2 1 2 2 1 2 2 1 2 222 BDcba BD b BD c BD a 用心 爱心 专心 10 8 4 15 底面边长为 1 在高 斜高组成的直角三角形 POH 中 2 3 4 13 OHPO 4 15 4 5 1 2 1 6 4 5 4 3 16 13 22 侧 S OHPOPH 9 a333 3 1 A B D 重合 AEF 为正三角形 图 1 中 AFD AEB DAF ADF EAB ABE 15 32 15cos 2 1 a a b 在图 2 中 高 CO 与侧棱 CF 组成的 Rt COF 中 336 3 3 2 3 3 2 a bbFO a a aFOCFCO 3 31 336 2 222 a333 3 1 三 解答题 10 分析 由于 A1到平面 EBFD1的距离不容易计算 因此把四棱锥分成两个三棱锥 A1 EBD1 和 A1 BFD1 而且这两个三棱锥是等底同高的 体积相等 可转换成 11EBD A V 11ED AB V 解 Rt D1A1E 中 ED1 a 2 5 同理 BE BF D1F 且可证四边形 EBFD1为平行四边形a 2 5 BED1 BFD1 VA1 BED1 VA1 BFD1 VA1 EBFD1 2VA1 BED1 又 3 12 1 2 1 2 1 3 1 1111 aaaaVV EDABBEDA 3 6 1 11 aV EBFDA 用心 爱心 专心 11 11 1 证明 点 A1在底面 ABC 上的射影 O 是正 ABC 的中心 且底面 ABC 是正三角形 A1 ABC 是正三棱锥 A1A A1B A1C AA1B AA1C 又 A1AB 45 A A1B 90 且 A A1C 90 即 AA1 A1B AA1 A1C AA1 平面 A1BC 2 AA1 平面 A1BC BC平面 A1BC AA1 BC AA1 BB1 BC BB1 矩形 B1 BCC1 等腰 Rt AA1B 中 AB 2 AA1 A1 B 2 S AA1B1B 2S AA1B 2 S B1BCC1 222