山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编7 函数的综合问题 理 新人教A版

1 山东省山东省 20142014 届理科数学一轮复习试题选编届理科数学一轮复习试题选编 7 7 函数的综合问题 函数的综合问题 一 选择题 1 山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学 某学校要召开学生代表大会 规定根据班级人 数每 10 人给一个代表名额 当班级人数除以 10 的余数大于 6 时 再增加一名代表名额 那么各班代表 人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 yx x 表示不大于 的最大整数 可表示为 A 10 x y B 3 10 x y C 4 10 x y D 5 10 x y 答案 B 法一 特殊取值法 若 x 56 y 5 排除C D 若 x 57 y 6 排除 A 所以选 B 法二 设 90 10 mx 时 1010 3 10 3 60 x mm x 1 10 1 10 3 10 3 96 x mm x 时当 所以选 B 2 山东省寿光市 2013 届高三 10 月阶段性检测数学 理 试题 已知函数 函数 若存在 使得 3 21 1 12 111 0 362 x x x f x xx sin 22 0 6 g xaxaa 12 0 1x x 成立 则实数 a 的取值范围是 12 f xg x A B C D 1 4 2 3 1 0 2 2 4 3 3 1 1 2 答案 B 3 山东省德州市 2013 届高三第二次模拟考试数学 理 试题 若对于定义在 R 上的函数 f x 存在常 数 t tR 使得 f x t tf x 0 对任意实数 x 均成立 则称 f x 是阶回旋函数 则下面命题正确的是 A f x 2x是 1 2 阶回旋函数B f x sin x 是 1 阶回旋函数 C f x x2是 1 阶回旋函数D f x logax 是 0 阶回旋函数 答案 B 4 山东省 2013 届高三高考模拟卷 一 理科数学 已知cba 为互不相等的三个正实数 函数 xf可 能满足如下性质 axf 为奇函数 axf 为奇函数 bxf 为偶函数 bxf 为偶函数 f xcf cx 类比函数2013sinyx 的对称中心 对称轴与周期的关系 某同学得到了如下 结论 i 若满足 则 xf的一个周期为4a ii 若满足 则 xf的一个周期为 4ba iii 若 满足 则 xf的一个周期为 3ba iv 若满足 则 xf的一个周期为 4ca 其中正确结论的个数为 A 1B 2C 3D 4 答案 B 解析 由2013sinyx 的图象知 两相邻对称中心的距离为 2 T 两相邻对称轴的距离为 2 T 对 称中心与距其最近的对称轴的距离为 4 T 若满足 则 xf的两个相邻对称中心分别为 0 a 0 a 从而有aaa T 2 2 即aT4 若满足 则 xf的对称轴为bx 与对称轴相邻 2 的对称中心为 0 a 有 4 ba T 即 4baT 若满足 则 xf的两个相邻的对称轴为 bx 和bx 从而有 2 bb T b2 即bT4 若满足 则 xf的对称中心为 0 a 与 其相邻的对称轴为cx 从而有 4 T caac 即 T4 ac 故只有 iii iv 错误 5 山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学 理 试题 已知函数 2 1f xx 的定义域为 a b ab 值域为 1 5 则在平面直角坐标系内 点 a b 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积 是 A 8B 6C 4D 2 答案 C 由 2 15f xx 得 2 4x 即2x 故根据题意得 a b 的取值范围为 20a 且2b 或者 02b 且2a 所以点 a b 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为 2 的正方形面积为 4 选 C 6 山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学 已知函数 1 yf x 的图象关于直线1x 对 称 且当 0 0 xf xxfx 成立若 a 20 2 0 2 2 1 2 fbn 1 2 1 1 2 1 4 fncog 1 2 1 1 4 fog 则 a b c 的大小关系是 A abc B bac C cab D acb 答案 B 因为函数 1 yf x 的图象关于直线1x 对称 所以 yf x 关于y轴对称 所以函数 yxf x 为奇函数 因为 xf xf xxfx 所以当 0 x 时 0 xf xf xxfx 函数 yxf x 单调递减 当 0 x 时 函数 yxf x 单调递减 因 为 0 2 122 0ln21 1 2 1 log2 4 所以 0 2 1 2 1 0ln22log 4 所以bac 选B 7 2012 年山东理 12 设函数f x g x ax2 bx若 y f x 的图像与 y g x 图 像有且仅有两个不同的公共点 A x1 y1 B x2 y2 则下列判断正确的是 A 当 a 0 时 x1 x20 B 当 a0 y1 y20 时 x1 x2 0 y1 y20 时 x1 x2 0 y1 y2 0 答案 解析 令bxax x 2 1 则 0 1 23 xbxax 设 23 bxaxxF bxaxxF23 2 令023 2 bxaxxF 则 a b x 3 2 要使 y f x 的图像与 y g x 图像有且仅有两个不同的公共 点只需1 3 2 3 2 3 2 23 a b b a b a a b F 整理得 23 274ab 于是可取3 2 ba来研究 当 3 2 ba时 132 23 xx 解得 2 1 1 21 xx 此时2 1 21 yy 此时 3 0 0 2121 yyxx 当3 2 ba时 132 23 xx 解得 2 1 1 21 xx 此时 2 1 21 yy 此时0 0 2121 yyxx 答案应选B 另解 令 xgxf 可得bax x 2 1 设baxy x y 1 2 不妨设 21 xx 结合图形可知 当0 a时如右图 此时 21 xx 即0 21 xx 此时0 21 xx 1 12 2 11 y xx y 即0 21 yy 同理可由图形经过推理可 得当0 a时0 0 2121 yyxx 答案应选B 8 山东省 2013 届高三高考模拟卷 一 理科数学 我们定义若函数 xf为 D 上的凹函数须满足以下 两条规则 1 函数在区间 D 上的任何取值有意义 2 对于区间 D 上的任意n个值 n xxx 21 总满足 21 21 n xxx nfxfxfxf n n 那么下列四个图象中在 2 0 上满足凹函数定义 的是 答案 A 解析 要判断是不是凹函数 需要先明确凹函数的定义 由定义的第一点可以排除 D 在 A B C 这三个选项中可以考虑特值法 取0 1 x 2 2 x 则显 然选项B C 不满足 2 2 21 21 xx fxfxf 故选 A 9 山东省夏津一中 2013 届高三 4 月月考数学 理 试题 函数 y f x x D 若存在常数 C 对任意的 xl D 仔在唯一的 x2 D 使得 12 f xf xC 则称函数 f x 在 D 上的几何平均数为C 已知 f x x3 x 1 2 则函数 f x x3在 1 2 上的几何平均数为 A 2B 2C 4D 22 答案 D 10 山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学 对于函数 f x 如果存在锐角 使得 f x的 图象绕坐标原点逆时针旋转角 所得曲线仍是一函数 则称函数 f x具备角 的旋转性 下列函数具 有角 4 的旋转性的是 A yx B lnyx C 1 2 x y D 2 yx 答案 C 设直线yxb 要使 f x的图像绕坐标原点逆时针旋转角 4 所得曲线仍是一函数 则 函数yxb 与 f x不能有两个交点 由图象可知选C 11 山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学 理 试题 已知定义在 R 上的函数 0 a baxy 0 a baxy y y x x 21 xx 21 xx 4 yf x 满足以下三个条件 对于任意的xR 都有 4 f xf x 对于任意的 121212 02 x xRxxf xf x 且都有 函数 2 yf x 的图象关于 y 轴对称 则下列结 论中正确的是 A 4 5 7 6 5 fff B 7 4 5 6 5 fff C 7 6 5 4 5 fff D 4 5 6 5 7 fff 答案 A 解析 由 4 f xf x 知函数的周期是 4 由 知 函数在 0 2 上单调递增 函数 2 yf x 的 图象关于 y 轴对称 即函数函数 yf x 的图象关于2x 对称 即函数在 2 4 上单调递减 所以 4 5 0 5 ff 6 5 2 5 1 5 fff 7 3 1 fff 由 0 5 1 1 5 fff 可知 4 5 7 6 5 fff 选 A 12 山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学 理 试题 已知定义在上的奇函数满足R f x 且时 甲 乙 丙 丁四位同学有下列结论 甲 4 f xf x 0 2x 2 log 1 f xx 乙 函数在上是减函数 丙 函数关于直线对称 丁 若 31f f x 6 2 f x4x 0 1m 则关于的方程在上所有根之和为 其中正确的是 x 0f xm 8 8 8 A 甲 乙 丁B 乙 丙C 甲 乙 丙D 甲 丙 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 答案 A 13 山东省夏津一中 2013 届高三 4 月月考数学 理 试题 函数 y 1n x 1 的图像与函数 y 2 cos x 2 x 4 的图像所有交点的横坐标之和等于 A 8B 6C 4D 2 答案 B 14 山东省文登市 2013 届高三 3 月二轮模拟考试数学 理 对于正实数 记M 为满足下述条件的 函数 f x构成的集合 12 x xR 且 21 xx 有 212121 xxf xf xxx 下列结论 中正确的是 A 若 12 f xMg xM 则 12 f xg xM B 若 12 f xMg xM 且 12 则 12 f xg xM C 若 12 f xMg xM 则 12 f xg xM D 若 12 f xMg xM 且 0g x 则 1 2 f x M g x 答案 A 15 2013 年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学 已知集合 M x y yf x 若对于任意 11 x y M 存在 22 x y M 使得 1212 0 x xy y 成立 则称集合 M 是 垂直对点集 给出下列 四个集合 M 1 x y y x M 1 x y ysinx M 2 x y ylog x 2 x Mx y ye 其中是 垂直对点集 的序号是 A B C D 答案 答案 D 1 y x 是以 x y轴为渐近线的双曲线 渐近线的夹角为 90 在同一支上 任 意 x1 y1 M 不存在 x2 y2 M 满足 垂直对点集 的定义 对任意 x1 y1 M 在另一支上也不存在 x2 y2 M 使得 x1x2 y1y2 0 成立 所以不满足 垂直对点集 的定义 不是 垂直对点集 5 sin1 Mx y yyx 如图在曲线上 两点构成的直角始存在 所以 sin1 Mx y yyx 是 垂直对点集 对于 2 log Mx y yx 如图在曲线上两点构成的直角始存在 例如取 M 0 1 N 2 log 2 0 满足 垂直对点集 的定义 所以正确 对于 2 x Mx y ye 如图取点 1 0 曲线上不存在另外的点 使得两点与原点的连线互相 垂直 所以不是 垂直对点集 故选D 二 填空题 16 山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学 已知 f x为R上的偶函数 对任意 xR 都有 6 3 f xf xf 且当 12 0 3x x 12 xx 时 有 12 12 0 f xf x xx 成立 给出 四个命题 3 0f 直线6x 是函数 yf x 的图像的一条对称轴 函数 yf x 在 9 6 上为增函数 函数 yf x 在 9 9 上有四个零点 其中所有正确命题的序号为 答案 解析 令3x 得 36 3 3 3 ffff 即 3 0f 所以 正确 因为 6 3 f xf xf 所以 6 3 3 fxfxff xf 即 6 6 fxf x 所 以直线6x 是函数 yf x 的图像的一条对称轴 因为函数为偶函数 所以6x 也是函数 yf x 的图像的一条对称轴所以 正确 由 12 12 0 f xf x xx 可知函数 f x在区间 0 3 上递增 又 6 3 f xf xff x 所以函数的周期为 6 所以函数在 6 9 上递增 所以在 9 6 上 为减函数 所以 错误 因为函数的周期为 6 所以 9 3 3 9 0ffff 故函数 yf x 在 9 9 上有四个零点 所以 正确 所以正确的命题为 17 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A 若函数 xf满足0 mRm 对定义域 6 内的任意 mfxfmxfx 恒成立 则称 xf为 m 函数 现给出下列函数 x y 1 xy2 xysin nxy1 其中为 m 函数的序号是 把你认为所有正确的序号都填上 答案 解析 若 x y 1 则由 f xmf xf m 得 111 xmxm 即 111 m xmxx xmm 所 以 22 mx xmxmx 显然不恒成立 若xy2 由 f xmf xf m 得由 2 22xmxm 恒成立 所以 为m函数 若xysin 由 f xmf xf m 得 sin sinsinxmxm 当2m 时 有sin 2 sinxx sinsin20m 此时成立 所以 为m函数 若nxy1 由 f xmf xf m 得由ln lnlnlnxmxmmx 即 xmmx 即 1 0m xm 要使 1 0m xm 恒成立 则有10m 即1m 但此时 1 0 110m xm 所以不存在m 所以 不是m函数 所以为m函数的序号为 18 2009 高考 山东理 已知定义在 R 上的奇函数 满足 且在区间 0 2 上是 xf 4 f xf x 增函数 若方程 f x m m 0 在区间上有四个不同的根 则 8 8 1234 x x x x 1234 xxxx 答案 解析 因为定义在 R 上的奇函数 满足 所以 所以 4 f xf x 4 f xfx 由为奇函数 所以函数图象关于直线对称且 由知 xf2x 0 0f 4 f xf x 所以函数是以 8 为周期的周期函数 又因为在区间 0 2 上是增函数 所以 8 f xf x xf 在区间 2 0 上也是增函数 如图所示 那么方程 f x m m 0 在区间上有四个不同的根 xf 8 8 不妨设由对称性知所以 1234 x x x x 1234 xxxx 12 12xx 34 4xx 1234 1248xxxx 答案 8 19 山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 函数 x f的定义域为 D 若存在闭区间 a b D 使得函数f x 满足 1 f x 在 a b 内是单调函数 2 f x 在 a b 上的值域为 2a 2b 则称区间 a b 为 y f x 的 和谐区间 下列函数中存在 和谐区间 的是 只需填符合题意的函数序号 2 0f x x x x f x e xR 1 0f x x x 2 4 0 1 x f x x x 答案 解析 若 2 f xx 则由题意知 2 2 f aa f bb 即 2 2 2 2 aa bb 解得 0 2 a b 时 满足条件 若 x f xe 则由题意知 2 2 f aa f bb 即 2 2 a b ea eb 即 a b是方程2 x ex 的两个根 由图象可知方程 2 x ex 无解时 所以不满足条件 若 1 f x x 则由题意知 2 2 f ab f ba 即 1 2 1 2 b a a b 所以只要 8 6 4 2 0 2 4 6 8 y x f x m m 0 7 1 2 ab 即可 所以满足条件 若 2 4 1 x f x x 因为 2 22 44 1 x fx x 则由题意知当01x 时 0fx 函数递增 当1x 时 0fx 函数递减 当01x 时由 2 2 f aa f bb 得 2 2 4 2 1 4 2 1 a a a b b b 由 2 4 2 1 x x x 解得0 x 或1x 所以当0 1ab 时 满足条件 即区间为 0 1 所以存在 和谐 区间 的是 20 山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题 理科 函数 f x的定义域为A 若 12 xxA 且 12 f xf x 时总有 12 xx 则称 f x为单函数 例如 函数 12 Rxxxf 是单函数 给出下列 命题 函数 2 Rxxxf 是单函数 指数函数 2 Rxxf x 是单函数 若 f x为单函数 12 xxA 且 12 xx 则 12 f xf x 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的序号 答案 解析 当 12 2 2xx 时 12 4 f xf x 故 错 2xf x 为单调增函数 故 正确 而 显然正确 21 山东济南外国语学校 2012 2013 学年度第一学期高三质量检测数学试题 理科 具有性质 的函数 我们称为满足 倒负 交换的函数 下列函数 1 ff x x 1 yx x 1 yx x 中满足 倒负 变换的函数是 01 0 1 1 1 xx yx x x 答案 解析 当时 所以 满足 倒负 变换的函数 当 1 yx x 11 fxf x xx 时 所以 不满足 倒负 变换的函数 当时 当 1 yx x 11 fxf x xx 01 0 1 1 1 xx yx x x 时 当时 所以 满足 倒1x 1 01 x 11 ff x xx 01x 1x 1 fxf x x 负 变换的函数 所以满足条件的函数是 22 山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学 理 试题 定义在 R 上的函数 yf x 若对任意 8 不等实数 12 x x满足 12 12 0 f xf x xx 且对于任意的 x yR 不等式 22 220f xxfyy 成立 又函数 1yf x 的图象关于点 1 0对称 则当14x 时 y x 的取值范围为 答案 1 1 2 解析 若对任意不等实数 12 x x满足 12 12 0 f xf x xx 可知函数 yf x 为 R上递减函数 由函数 1 yf x 的图象关于点 1 0 对称 可知函数 yf x 的图象关于点 0 0 对 称 所以函数 yf x 为奇函数 又 22 2 2 0f xxfyy 即 222 2 2 2 f xxfyyf yy 所以 22 22 xxy y 即 2 0 xy xy 2 0 14 xy xy x 表示的平面区域如图所示 y x 表示区域中的点与原点连线的斜率 又 1 2 OA k 所 以 y x 的取值范围为 1 1 2 如图 23 山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学 理 试题 已知函数的定义域为 若存在 f xR 常数 对任意 有 则称函数为函数 给出下列函数 0m Rx f xm x f xF 其中是函数的序号为 2 f xx 2 1 x f x x 2xf x sin2f xx F 答案 24 山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测 二模 数学 理 试题 已知函数 f x在实数集 R 上 具有下列性质 直线1x 是函数 f x的一条对称轴 2f xf x 当 12 13xx 时 21 f xf x 21 0 xx 则 2012f 2013f从大到小的顺序为 答案 2013 2012 2011 fff 由 2f xf x 得 4f xf x 所以周期是 4 所以 2011 3 ff 2012 0 ff 2013 1 ff 因为直线1x 是函数 f x的一条对称轴 所 以 2012 0 2 fff 由 21 f xf x 21 0 xx 可知当 12 13xx 时 函数单调 递减 所以 2013 2012 2011 fff 25 山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学 理 试题 如图 已知边长为 8 米的正方形 钢板有一个角锈蚀 其中 4AE 米 6CD 米 为了合理利用这块钢板 将在五边形ABCDE内截取一 个矩形块BNPM 使点P在边DE上 则矩形BNPM面积的最大值为 平方米 A M E P D CBN F 答案 48 三 解答题 9 26 2009 高考 山东理 两县城 A 和 B 相距 20km 现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一 点 C 建造垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关 对城 A 和城 B 的总影响度 为城 A 与城 B 的影响度之和 记 C 点到城 A 的距离为 x km 建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总 影响度为 y 统计调查表明 垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比 比例 系数为 4 对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比 比例系数为 k 当垃圾处理厂建 在的中点时 对城 A 和城 B 的总影响度为 0 065 1 将 y 表示成 x 的函数 11 讨论 1 中函数的单调性 并判断弧上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和 城 B 的总影响度最小 若存在 求出该点到城 A 的距离 若不存在 说明理由 答案 解 1 如图 由题意知 AC BC 22 400BCx 22 4 020 400 k yx xx 其中当时 y 0 065 所以 k 910 2x 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 020 400 yx xx 设 则 所以 22 400mxnx 400mn 49 y mn 当且仅当即 494914911 13 13 12 40040040016 mnnm y mnmnmn 49nm mn 时取 240 160 n m 下面证明函数在 0 160 上为减函数 在 160 400 上为增函数 49 400 y mm 设 0 m1 m2 1