三角恒等变换之辅助角公式

1 辅助角公式 22 sincossin abab 在三角函数中 有一种常见而重要的题型 即化为一个sincosab 角的一个三角函数的形式 进而求原函数的周期 值域 单调区间等 为了帮助 学生记忆和掌握这种题型的解答方法 教师们总结出公式 sincosab 或 22 sin ab sincosab 22 ab 让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用 但事与愿违 半个cos 学期不到 大部分学生都忘了 教师不得不重推一遍 到了高三一轮复习 再次忘 记 教师还得重推 本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导 体现一种解决 问题的过程与方法 减轻学生的记忆负担 同时说明 辅助角 的范围和常见的 取角方法 帮助学生澄清一些认识 另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用 优 化解题过程与方法 最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用 让学生把握辅 助角与原生角的范围关系 以更好地掌握和使用公式 一 教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1 引例 例 1 求证 sin cos 2sin 2cos 3 6 3 其证法是从右往左展开证明 也可以从左往右 凑 使等式得到证明 并得出 结论 可见 sin cos可以化为一个角的三角函数形式 3 一般地 asin bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢 2 辅助角公式的推导 例 2 化为一个角的一个三角函数的形式 sincosab 解 asin bcos sin cos 22 ab 22 a ab 22 b ab 令 cos sin 22 a ab 22 b ab 则 asin bcos sincos cossin 22 ab sin 其中 tan 22 ab b a 2 令 sin cos 则 asin bcos 22 a ab 22 b ab sinsin coscos cos 其中 22 ab 22 ab tan a b 其中的大小可以由 sin cos的符号确定的象限 再由 tan的值 求出 或由 tan 和 a b 所在的象限来确定 b a 推导之后 是配套的例题和大量的练习 但是这种推导方法有两个问题 一是为什么要令 cos 22 a ab sin 让学生费解 二是这种 规定 式的推导 学生难记易忘 22 b ab 易错 二 让辅助角公式 来得更自然sincosab 22 sin ab 能否让让辅助角公式来得更自然些 这是我多少年来一直思考的问题 2009 年春 我又一次代 2008 级学生时 终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易 懂的教学推导方法 首先要说明 若 a 0 或 b 0 时 已经是一个角的一个三角sincosab 函数的形式 无需化简 故有 ab 0 1 在平面直角坐标系中 以 a 为横坐标 b 为纵坐标描一点 P a b 如图 1 所示 则总 有一个角 它的终边经过点 P 设 OP r r 由三角函数的定义知 22 ab sin b r 22 b ab cos 22 aa r ab 所以 asin bcos cos sin sincos 22 ab 22 ab r 图 1 O 的终边 P a b y x 3 其中 tan 22 sin ab b a 2 若在平面直角坐标系中 以 b 为 横坐标 以 a 为纵坐标可以描点 P b a 如图 2 所示 则总有一个角的终边经过 点 P b a 设 OP r 则 r 由 22 ab 三角函数的定义知 sin a r 22 a ab cos b r 22 b ab asin bcos 2222 sincoscosab sinab 其中 tan 22 s ab co a b 例 3 化为一个角的一个三角函数的形式 3sincos 解 在坐标系中描点 P 1 设角的终边过点 P 则 OP r 3 2 sin cos 2 2 31 1 2 3 2 2cossin 2sincos 2sin tan 3sincos 3 3 2sin 2 6 k 3sincos 6 经过多次的运用 同学们可以在教师的指导下 总结出辅助角公式 asin bcos sin cos 22 ab 22 a ab 22 b ab 其中 tan 或者 22 sin ab b a asin bcos 22 ab 图 2 r O x y 的终边 P b a 4 sin cos 其中 tan 22 a ab 22 b ab 22 cos ab a b 我想这样的推导 学生理解起来会容易得多 而且也更容易理解 asin bcos凑成 sin cos 的道理 以 22 ab 22 a ab 22 b ab 及为什么只有两种形式的结果 例 4 化为一个角的一个三角函数的形式 sin3cos 解法一 点 1 在第四象限 OP 2 设角过 P 点 则 3 3 sin 2 满足条件的最小正角为 1 cos 2 5 3 5 2 3 kkZ 13 sin3cos2 sincos 2 sincoscossin 22 55 2sin 2sin 2 2sin 33 k 解法二 点 P 1 在第二象限 OP 2 设角过 P 点 则 3 1 sin 2 满足条件的最小正角为 3 cos 2 5 6 5 2 6 kkZ 13 sin3cos2 sincos 2 sinsincoscos 22 55 2cos 2cos 2 2cos 66 k 三 关于辅助角的范围问题 由中 点 P a b 的位置可知 终 22 sincossin abab 边过点 P a b 的角可能有四种情况 第一象限 第二象限 第三象限 第四象 限 设满足条件的最小正角为 则 由诱导公式 一 知 1 1 2k 其 2222 1 sincossin sin ababab 5 中 的具体位置由与决定 的 1 0 2 1 tan b a 1 1 sin 1 cos 1 大小由决定 1 tan b a 类似地 的终边过点 22 sincoscos abab 设满足条件的最小正角为 则由诱导公式有 2 2 2 k 2222 2 sincoscos cos ababab 其中 的位置由和确定 的大 2 0 2 2 tan a b 2 2 sin 2 cos 2 小由确定 2 tan a b 注意 一般地 以后没有特别说明时 角 或 是所 12 1 2 求的辅助角 四 关于辅助角公式的灵活应用 引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式 在实际中结果是化为正弦 还是化为余弦要具体问题具体分析 还有一个重要问题是 并不是每次都要化 为 的形式或 22 1 sincossin abab 的形式 可以利用两角和与差的正 22 2 sincoscos abab 余弦公式灵活处理 例 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式 3sincos 26 sin cos 6363 解 31 3sincos2 sincos 22 2 sincoscossin 2sin 666 6 26 sin cos 6363 2 13 sin cos 32323 2 sin coscos sin 33333 22 sin 33 在本例第 小题中 我们并没有取点3a 1b 而取的是点 也就是说 当 中至少有一33ab 个是负值时 我们可以取 或者 这样确定的角abba 或 是锐角 就更加方便 1 2 例 6 已知向量 cos 1 3 ax 1 cos 32 bx 求函数 的最大值及相应的 sin 0 3 cx h x2a bb c 的值 x 解 2 1 cos sin cos 2 3233 h xxxx 2 1cos 2 123 3 sin 2 2232 x x 1212 cos 2 sin 2 2 2323 xx 22222 cos 2 sin 2 2 22323 xx 211 cos 2 2 212 x 7 max 2 2 2 h x 这时 1111 22 1224 xkxkkZ 此处 若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁 而且易错 请读者一试 五 与辅助角有关的应用题 与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见 而且涉及辅角的范围 在相应 范围内求三角函数的最值往往是个难点 例 7 如图 3 记扇 OAB 的中心角为 半径为 1 矩形 PQMN 内接于这个扇45 形 求矩形的对角线 的最小值 l 解 连结 OM 设 AOM 则 MQ OQ OP PN sin cos sin PQ OQ OP cossin 222 lMQPQ 22