七年级数学：相交线与平行线-培优复习(附详细答案)

1 A B CD EF 七年级数学 相交线与平行线七年级数学 相交线与平行线 培优复习培优复习 例题精讲例题精讲 例例 1 如图 1 直线 a 与 b 平行 1 3x 70 2 5x 22 求 3 的度数 解 a b 3 4 两直线平行 内错角相等 1 3 2 4 180 平角的定义 1 2 等式性质 则 3x 70 5x 22 解得 x 24 即 1 142 3 180 1 38 图 1 评注 建立角度之间的关系 即建立方程 组 是几何计算常用的方法 例例 2 已知 如图 2 AB EF CD EG 平分 BEF B BED D 192 B D 24 求 GEF 的度数 解 AB EF CD B BEF DEF D 两直线平行 内错角相等 B BED D 192 已知 即 B BEF DEF D 192 2 B D 192 等量代换 则 B D 96 等式性质 B D 24 已知 图 2 B 60 等式性质 即 BEF 60 等量代换 EG 平分 BEF 已知 GEF BEF 30 角平分线定义 2 1 例例 3 如图 3 已知 AB CD 且 B 40 D 70 求 DEB 的度数 解 过 E 作 EF AB AB CD 已知 EF CD 平行公理 BEF B 40 DEF D 70 两直线平行 内错角相等 DEB DEF BEF DEB D B 30 评注 证明或解有关直线平行的问题时 如果不构成 三线八角 则应添出辅助线 图 3 A B C D EF G 3 2 l a b 4 4 2 例例 4 平面上 n 条直线两两相交且无 3 条或 3 条以上直线共点 有多少个不同交点 解 2 条直线产生 1 个交点 第 3 条直线与前面 2 条均相交 增加 2 个交点 这时平面上 3 条直线共有 1 2 3 个交 点 第 4 条直线与前面 3 条均相交 增加 3 个交点 这时平面上 4 条直线共有 1 2 3 6 个 交点 则 n 条直线共有交点个数 1 2 3 n 1 n n 1 2 1 评注 此题是平面上 n 条直线交点个数最多的情形 需要仔细观察 由简及繁 深入思考 从中发现规律 例例 5 6 个不同的点 其中只有 3 点在同一条直线上 2 点确定一条直线 问能确定多少条 直线 解 6 条不同的直线最多确定 5 4 3 2 1 15 条直线 除去共线的 3 点中重合多算的 2 条 直线 即能确定的直线为 15 2 13 条 另法 3 点所在的直线外的 3 点间最多能确定 3 条直线 这 3 点与直线上的 3 点最多有 3 3 9 条直线 加上 3 点所在的直线共有 3 9 1 13 条 评注 一般地 平面上 n 个点最多可确定直线的条数为 1 2 3 n 1 n n 1 2 1 例例 6 10 条直线两两相交 最多将平面分成多少块不同的区域 解 2 条直线最多将平面分成 2 2 4 个不同区域 3 条直线中的第 3 条直线与另两条直线相交 最多有两个交点 此直线被这两点分成 3 段 每一段将它所在的区域一分为二 则区域增加 3 个 即最多分成 2 2 3 7 个不同区域 同理 4 条直线最多分成 2 2 3 4 11 个不同区域 10 条直线最多分成 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 56 个不同区域 推广 n 条直线两两相交 最多将平面分成 2 2 3 4 n 1 n n 1 n2 n 2 块不同 2 1 2 1 的区域 思考 平面内 n 个圆两两相交 最多将平面分成多少块不同的区域 3 2 1 A B C D E F 巩固练习巩固练习 1 平面上有 5 个点 其中仅有 3 点在同一直线上 过每 2 点作一条直线 一共可以作直线 条 A 6 B 7 C 8 D 9 2 平面上三条直线相互间的交点个数是 A 3 B 1 或 3 C 1 或 2 或 3 D 不一定是 1 2 3 3 平面上 6 条直线两两相交 其中仅有 3 条直线过一点 则截得不重叠线段共有 A 36 条 B 33 条 C 24 条 D 21 条 4 已知平面中有个点三个点在一条直线上 四个点也在一条直线上 nCBA EFDA 除些之外 再没有三点共线或四点共线 以这个点作一条直线 那么一共可以画出 38 条n 不同的直线 这时等于 n A 9 B 10 C 11 D 12 5 若平行直线 AB CD 与相交直线 EF GH 相交成如图示的图形 则共得同旁内角 A 4 对 B 8 对 C 12 对 D 16 对 6 如图 已知 FD BE 则 1 2 3 A 90 B 135 C 150 D 180 A B C D E F G H 第 5 题 3 1 2 A B C D E FG 第 6 题 第 7 题 7 如图 已知 AB CD 1 2 则 E 与 F 的大小关系 8 平面上有 5 个点 每两点都连一条直线 问除了原有的 5 点之外这些直线最多还 有 交点 9 平面上 3 条直线最多可分平面为 个部分 10 如图 已知 AB CD EF PS GH 于 P FRG 110 则 PSQ 11 已知 A B 是直线 L 外的两点 则线段 AB 的垂直平分 l AB CD EF G H P Q R S 第10题 4 A BC D E 线与直线的交点个数是 12 平面内有 4 条直线 无论其关系如何 它们的交点个数不会超过 个 13 已知 如图 DE CB 求证 AED A B 第 13 题 14 已知 如图 AB CD 求证 B D F E G 第 14 题 15 如图 已知 CB AB CE 平分 BCD DE 平分 CDA EDC ECD 90 求证 DA AB 16 平面上两个圆三条直线 最多有多少不同的交点 17 平面上 5 个圆两两相交 最多有多少个不同的交点 最多将平面分成多少块区域 18 一直线上 5 点与直线外 3 点 每两点确定一条直线 最多确定多少条不同直线 19 平面上有 8 条直线两两相交 试证明在所有的交角中至少有一个角小于 23 A B CD E F G A BC D E 第 15 题 5 答案答案 1 5 个点中任取 2 点 可以作 4 3 2 1 10 条直线 在一直线上的 3 个点中任取 2 点 可作 2 1 3 条 共可作 10 3 1 8 条 故选 C 2 平面上 3 条直线可能平行或重合 故选 D 3 对于 3 条共点的直线 每条直线上有 4 个交点 截得 3 条不重叠的线段 3 条直线共有 9 条不重叠的线段 对于 3 条不共点的直线 每条直线上有 5 个交点 截得 4 条不重叠的线段 3 条直线共有 12 条不重叠的线段 故共有 21 条不重叠的线段 故选 D 4 由个点中每次选取两个点连直线 可以画出条直线 若三点不在一 n 2 1 nn CBA 条直线上 可以画出 3 条直线 若四点不在一条直线上 可以画出 6 条直线 FEDA 整理得 38263 2 1 nn 2 n 0 90 10 090 nnn n 9 0 选 B 10 n 5 直线 EF GH 分别 截 平行直线 AB CD 各得 2 对同旁内角 共 4 对 直线 AB CD 分别 截 相交直线 EF GH 各得 6 对同旁内角 共 12 对 因此图中共有同旁 内角 4 6 16 对 6 FD BE 2 AGF AGC 1 3 1 2 3 AGC AGF 180 选 B7 解 AB CD 已知 BAD CDA 两直线平行 内错角相等 1 2 已知 BAD 1 CDA 2 等式性质 即 EAD FDA AE FD E F 2 1 A B C D E F A B C D E F G H 第 5 题 3 1 2 A B C D E FG 第 6 题 6 8 解 每两点可确定一条直线 这 5 点最多可组成 10 条直线 又每两条直线只有一个 交点 所以共有交点个数为 9 8 7 6 5 4 3 2 1 45 个 又因平面上这 5 个点与其余 4 个点均有 4 条连线 这四条直线共有 3 2 1 6 个 交点与平面上这一点重合应去掉 共应去掉 5 6 30 个交点 所以有交点的个 数应为 45 30 15 个 9 可分 7 个部分 10 解 AB CD EF APQ DQG FRG 110 同理 PSQ APS PSQ APQ SPQ DQG SPQ 110 90 20 11 0 个 1 个或无数个 1 若线段 AB 的垂直平分线就是 L 则公共点的个数应是无数个 2 若 AB L 但 L 不是 AB 的垂直平分线 则此时 AB 的垂直平分线与 L 是平行的关系 所以它们没有公共点 即公共点个数为 0 个 3 若 AB 与 L 不垂直 那么 AB 的垂直平分线与直线 L 一定相交 所以此时公共点的个数 为 1 个 12 4 条直线两两相交最多有 1 2 3 6 个交点 13 证明 过 E 作 EF BA 2 A 两直线平行 内错角相等 DE CB EF BA 1 B 两个角的两边分别平行 这两个角相等 1 2 B A 等式性质 即 AED A B 14 证明 分别过点 E F G 作 AB 的平行线 EH PF GQ 则 AB EH PF GQ 平行公理 AB EH ABE BEH 两直线平行 内错角相等 同理 HEF EFP PFG FGQ QGD GDC ABE EFP PFG GDC BEH HEF FGQ QGD 等式性质 即 B D EFG BEF GFD 15 证明 DE 平分 CDA CE 平分 BCD EDC ADE ECD BCE 角平分线定义 CDA BCD EDC ADE ECD BCE 2 EDC ECD 180 DA CB 又 CB AB DA AB 16 两个圆最多有两个交点 每条直线与两个圆最多有 4 个交点 三 条直线最多有 3 个不同的交点 即最多交点个数为 2 4 3 3 17 17 1 2 个圆相交有交点 2 1 1 个 A BC D E F A B E F G D C H Q P l AB CD EF G H P Q R S 第10题 A BC D E 第 15 题 7 第 3 个圆与前两个圆相交最多增加 2 2 4 个交点 这时共有交点 2 2 2 6 个 第 4 个圆与前 3 个圆相交最多增加 2 3 6 个交点 这时共有交点 2 2 2 2 3 12 个 第 5 个圆与前 4 个圆相交最多增加 2 4 8 个交点 5 个圆两两相交最多交点个数为 2 2 2 2 3 2 4 20 2 2 个圆相交将平面分成 2 个区域 3 个圆相看作第 3 个圆与前 2 个圆相交 最多有 2 2 4 个不同的交点 这 4 个点将 第 3 个圆分成 4 段弧 每一段弧将它所在的区域一分为二 故增加 2 2 4 块区域 这时 平面共有区域 2 2 2 6 块 4 个圆相看作第 4 个圆与前 3 个圆相交 最多有 2 3 6 个不同的交点 这 6 个点将 第 4 个圆分成 6 段弧 每一段弧将它所在的区域一分为二 故增加 2 3 6 块区域 这时 平面共有区域 2 2 2 2 3 12 块 5 个圆相看作第 5 个圆与前 4 个圆相交 最多有 2 4 8 个不同的交点 这 8 个点将 第 5 个圆分成 8 段弧 每一段弧将它所在的区域一分为二 故增加 2 4 8 块区域 这时 平面最多共有区域 2 2 2 2 3 2 4 20 块 18 直线上每一点与直线外 3 点最多确定 3 5 15 条直线 直线外 3 点间最多能确定 3 条直线 最多能确定 15 3 1 19 条直线 19 将这 8 条直线平移到共点后 构成 8 对互不重叠的对顶角 这 8 个角的和为 180 假设这 8 个角没有一个小于 23 则这 8 个角的和至少为 23 8 184 这是不可能的 因 此这 8 个角中至少有一个小于 23 在所