中考数学新定义问题

1 6 新定义问题 中考要求 近年来的中考题中 涌现了大量的着重考查学生的创新意识 创新精神为目的的新型试题 新 定义 问题 它们重在考查学生阅读 分析 仿练 归纳 内化等综合能力 培养学生自主学习 主动探究的品质 题型特点 所谓 新定义 试题指给出一个从未接触过的新规定 要求现学现用 给什么 用什么 是应用新 定义 解题的 基本思路 这类试题的特点 源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息 它可以是新的概念 新的运算 新的 符号 新的图形 新的定理或新的操作规则与程序等等 在解决它们过程中又可产生了许多新方法 新观念 增强了 学生创新意识 主要包括以下几种类型 1 概念的 新定义 2 运算的 新定义 3 新规则的 新定 义 4 实验操作的 新定义 5 几何图形的新定义 概念新定义 例 1 小明在课外学习时遇到这样一个问题 定义 如果二次函数 y a1x2 b1x c1 a1 0 a1 b1 c1是常数 与 y a2x2 b2x c2 a2 0 a2 b2 c2是常 数 满足 a1 a2 0 b1 b2 c1 c2 0 则称这两个函数互为 旋转函数 求函数 y x2 3x 2 的 旋转函数 小明是这样思考的 由函数 y x2 3x 2 可知 a1 1 b1 3 c1 2 根据 a1 a2 0 b1 b2 c1 c2 0 求出 a2 b2 c2 就能确定这个函数的 旋转函数 请参考小明的方法解决下面问题 1 写出函数 y x2 3x 2 的 旋转函数 2 若函数与 y x2 2nx n 互为 旋转函数 求 m n 2015的值 2 3 4 2 mxxy 3 已知函数的图象与 x 轴交于点 A B 两点 与 y 轴交于点 C 点 A B C 关于原点的对 4 1 2 1 xxy 称点分布是 A1 B1 C1 试证明经过点 A1 B1 C1的二次函数与函数互为 旋转函 4 1 2 1 xxy 数 练习 1 在直角坐标系 xOy 中 对于点 P x y 和 Q x y 给出如下定义 若则称点 Q 为点 0 0 xy xy y P 的 可控变点 例如 点 1 2 的 可控变点 为点 1 2 点 1 3 的 可控变点 为点 1 3 1 若点 1 2 是一次函数 y x 3 的图像上点 M 的 可控变点 则点 M 的坐标为 2 若点 P 在函数 y x2 16 5 x a 的图像上 其 可控变点 Q 的纵坐标 y 的取值范围是 16 y 16 则实数 a 的取值范围是 2 6 运算新定义 例 2 定义 对于实数 a 符号 a 表示不大于 a 的最大整数 例如 5 7 5 5 5 4 1 如果 a 2 那么 a 的取值范围是 2 如果 3 求满足条件的所有正整数 x 1 2 x 练习 2 新定义 a b 为一次函数 y ax b a 0 a b 为实数 的 关联数 若 关联数 1 m 2 的一次函数是正比例函数 则关于 x 的方程 1 的解为 1 1x 1 m 规则新定义 例 3 图 1 已知四边形 ABCD 点 P 为平面内一动点 如果 PAD PBC 那么我们称点 P 为四边形 ABCD 关于 A B 的等角点 如图 2 以点 B 为坐标原点 BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 点 C 的横坐标为 6 1 若 A D 两点的坐标分别为 A 0 4 D 6 4 当四边形 ABCD 关于 A B 的等角点 P 在 DC 边上时 则点 P 的坐标为 2 若 A D 两点的坐标分别为 A 2 4 D 6 4 当四边形 ABCD 关于 A B 的等角点 P 在 DC 边上时 求点 P 的坐标 3 若 A D 两点的坐标分别为 A 2 4 D 10 4 点 P x y 为四边形 ABCD 关于 A B 的等角点 其中 x 2 y 0 求 y 与 x 之间的关系式 练习 3 定义 平面内的直线与相较于点 O 对于该平面内任意一点 M 点 M 到直线 的距离分别为 a b 1 l 2 l 1 l 2 l 则称有序非负实数对 a b 是点 M 的 距离坐标 根据上述定义 距离坐标为 2 3 的点的个数是 3 6 操作新定义 例 4 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长 那么称这个三角形为 好玩三角形 1 请用直尺和圆规画一个 好玩三角形 2 如图在 Rt ABC 中 C 90 tanA 求证 ABC 是 好玩三角形 3 2 3 如图 2 已知菱形 ABCD 的边长为 a ABC 2 点 P Q 从点 A 同时出发 以相同速度分别沿折线 AB BC 和 AD DC 向终点 C 运动 记点 P 经过的路程为 s 当 45 时 若 APQ 是 好玩三角形 试求的值 a s 当 tan 的取值在什么范围内 点 P Q 在运动过程中 有且只有一个 APQ 能成为 好玩三角形 请直接写出 tan 的取值范围 练习 4 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形 我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线 这个四边形叫做和谐四边形 如菱形就是和谐四边形 1 如图 1 在梯形 ABCD 中 AD BC BAD 120 C 75 BD 平分 ABC 求证 BD 是梯形 ABCD 的和谐线 2 如图 2 在 12 16 的网格图上 每个小正方形的边长为 1 有一个扇形 BAC 点 A B C 均在格点上 请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D 使得以 A B C D 为顶点的四边形的两条对角线 都是和谐线 并画出相应的和谐四边形 3 四边形 ABCD 中 AB AD BC BAD 90 AC 是四边形 ABCD 的和谐线 求 BCD 的度数 4 6 几何新定义 例 5 如图 A B 是 O 上的两个定点 P 是 O 上的动点 P 不与 A B 重合 我们称 APB 是 O 上关于 A B 的滑动角 1 已知 APB 是 O 上关于 A B 的滑动角 若 AB 是 O 的直径 则 APB 若 O 的半径是 1 AB 求 APB 的度数 2 2 已知 O2是 O1外一点 以 O2为圆心做一个圆与 O1相交于 A B 两点 APB 是 O1上关于 A B 的滑动角 直线 PA PB 分别交 O2于点 M N 点 M 与点 A 点 N 与点 B 均不重合 连接 AN 试探索 APB 与 MAN ANB 之间的数量关系 B A 0 P 练习 5 阅读下面的情景对话 然后解答问题 1 根据 奇异三角形 的定义 请你判断小华提出的命题 等边三角形一定是奇异三角形 是真命题还是假命 题 2 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB c AC b BC a 且 b a 若 Rt ABC 是奇异三角形 求 a b c 3 如图 AB 是 O 的直径 C 是 O 上一点 不与点 A B 重合 D 是半圆的中点 C D 在直径 AB 的两侧 若在 O 内存在点 E 使得 AE AD CB CE 求证 ACE 是奇异三角形 当 ACE 是直角三角形时 求 AOC 的度数 5 6 课堂练习 1 若圆锥的轴截图为等边三角形 则称此圆锥为正圆锥 则正圆锥的侧面展开图的圆心角是 A 90 B 120 C 150 D 180 2 对于实数 x 我们规定 x 表示不大于 x 的最大整数 例如 1 2 1 3 3 2 5 3 若 5 则 x 的取值可以 4 10 x 是 A 40B 45C 51D 56 3 对平面上任意一点 a b 定义 f g 两种变换 f a b a b 如 f 1 2 1 2 g a b b a 如 g 1 2 2 1 据此得 g f 5 9 A 5 9 B 9 5 C 5 9 D 9 5 4 当三角形中一个内角 是另一个内角 的两倍时 我们称此三角形为 特征三角形 其中 称为 特征角 如果一 个 特征三角形 的 特征角 为 100 那么这个 特征三角形 的最小内角的度数为 5 如图 ABC 是正三角形 曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线 其中弧 CD 弧 DE 弧 EF 的圆心依次是 A B C 如果 AB 1 那么曲线 CDEF 的长是 6 我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为 准等腰梯形 如图 1 四边形 ABCD 即为 准等腰梯形 其中 B C 1 在图 1 所示的 准等腰梯形 ABCD 中 选择合适的一个顶点引一条直线将四边形 ABCD 分割成 一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形 画出一种示意图即可 2 如图 2 在 准等腰梯形 ABCD 中 B C E 为边 BC 上一点 若 AB