中考数学专题圆的切线精华习题

中考数学专题圆的位置关系中考数学专题圆的位置关系 第一部分第一部分 真题精讲真题精讲 例 1 已知 如图 AB 为 O 的直径 O 过 AC 的中点 D DE BC 于点 E 1 求证 DE 为 O 的切线 2 若 DE 2 tanC 求 O 的直径 1 2 O E D C B A 思路分析思路分析 本题和大兴的那道圆题如出一辙 只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着 让人怀 疑他们是不是串通好了 近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察 考生一定要对中点以及中位线所引 发的平行等关系非常敏感 尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质 对于此题来说 自然连接 OD 在 ABC 中 OD 就是中位线 平行于 BC 所以利用垂直传递关系可证 OD DE 至于第二问则重点考察直径所对圆周角是 90 这一知识点 利用垂直平分关系得出 ABC 是等腰三角形 从而将求 AB 转化为求 BD 从而将圆问题转化成 解直角三角形的问题就可以轻松得解 解析 1 证明 联结 OD D 为 AC 中点 O 为 AB 中点 O E D C B A OD 为 ABC 的中位线 OD BC DE BC DEC 90 ODE DEC 90 OD DE 于点 D DE 为 O 的切线 2 解 联结 DB AB 为 O 的直径 ADB 90 DB AC CDB 90 D 为 AC 中点 AB AC 在 Rt DEC 中 DE 2 tanC EC 三角函数的意义要记牢 三角函数的意义要记牢 1 2 4 tan DE C 由勾股定理得 DC 2 5 在 Rt DCB 中 BD 由勾股定理得 BC 5 tan5DCC AB BC 5 O 的直径为 5 例例 2 已知 如图 O 为的外接圆 为 O 的直径 作射线 使得平分 过点作ABC BCBFBACBF A 于点 1 求证 为 O 的切线 2 若 求 O 的半径 ADBF DDA1BD 1 tan 2 BAD O F D C B A 34 2 1 O F D C B A 思路分析思路分析 本题是一道典型的用角来证切线的题目 题目中除垂直关系给定以外 就只给了一条 BA 平 分 CBF 看到这种条件 就需要大家意识到应该通过角度来证平行 用角度来证平行无外乎也就内错角同位角 相等 同旁内角互补这么几种 本题中 连 OA 之后发现 ABD ABC 而 OAB 构成一个等腰三角形从而 ABO BAO 自然想到传递这几个角之间的关系 从而得证 第二问依然是要用角的传递 将已知角 BAD 通过等量关系放在 ABC 中 从而达到计算直径或半径的目的 解析 证明 连接 AO AOBO 23 BACBF 平分12 31 得分点 一定不能忘记用内错角相等来证平行 得分点 一定不能忘记用内错角相等来证平行 DBAO ADDB 90BDA 90DAO 是 O 半径 为 O 的切线 AODA 2 由勾股定理 得 ADDB 1BD 1 tan 2 BAD 2AD 5AB 通过三角函数的转换来扩大已知条件 通过三角函数的转换来扩大已知条件 5 sin4 5 是 O 直径 BC90BAC 290C 又 4190 21 这一步也可以用三角形相似直接推出 这一步也可以用三角形相似直接推出 BD AB AB AC sin BAD 4C 在 Rt 中 5 O 的半径为 ABC sin AB BC C sin4 AB 5 2 例例 3 已知 如图 点是 的直径延长线上一点 点 在 上 且DOCABO OAABAD 1 求证 是 的切线 BDO 2 若点是劣弧上一点 与相交 于点 且 EBCAEBCF8BE 求 的半径长 5 tan 2 BFA O 思路分析思路分析 此题条件中有 OA AB OD 聪明的同学瞬间就能看出来 BA 其实就是三角形 OBD 中斜边 OD 上的中线 那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理 马上可以反推出 OBD 90 于是切 线问题迎刃而解 事实上如果看不出来 那么连接 OB 以后像例 2 那样用角度传递也是可以做的 本题第二问则 稍有难度 额外考察了有关圆周角的若干性质 利用圆周角相等去证明三角形相似 从而将未知条件用比例关系 与已知条件联系起来 近年来中考范围压缩 圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求 所以更多的都是利用相似 三角形中借助比例来计算 希望大家认真掌握 F E D C B A O 解析解析 1 证明 连接 OB OAAB OAOB OAABOB 是等边三角形 ABO 160BAO ABAD 230D 1290 不用斜边中线逆定理的话就这样解 麻烦一点而已 不用斜边中线逆定理的话就这样解 麻烦一点而已 DBBO 又 点在 上 BO 是 的切线 DBO 2 解 是 的直径 CAO 90ABC 在中 RtABF 5 tan 2 AB BFA BF 设则 5 ABx 2BFx 22 3AFABBFx 设元的思想很重要 设元的思想很重要 2 3 BF AF 34CE BFE AFC 2 3 BEBF ACAF 8BE 12AC 5 分6AO 例例 4 如图 等腰三角形中 以为直径作 O 交于点 交于点 ABC6ACBC 8AB BCABDACG 垂足为 交的延长线于点 DFAC FCBE 1 求证 直线是 O 的切线 EF 2 求的值 sinE D F G COBE A 思路分析思路分析 本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明 欲证 EF 是切线 则需证 OD 垂 2 3 1 F E D C B A 4 O 直于 EF 但是本题中并未给 OD 和其他线角之间的关系 所以就需要多做一条辅助线连接 CD 利用直径的圆周 角是 90 并且 ABC 是以 AC CB 为腰的等腰三角形 从而得出 D 是中点 成功转化为前面的中点问题 继而 求解 第二问利用第一问的结果 转移已知角度 借助勾股定理 在相似的 RT 三角形当中构造代数关系 通过解 方程的形式求解 也考察了考生对于解三角形的功夫 解析解析 D F G COBE A 1 证明 如图 连结 则 CD90BDC CDAB ACBC ADBD 是的中点 DAB 是的中点 OBC DOAC 于 F EFAC EFDO 是 O 的切线 EF 2 连结 是直径 直径的圆周角都是 直径的圆周角都是 90 90 BGBC90BGCCFE BGEF sin FCCG E ECBC 设 则 CGx 6AGx 在中 RtBGA 222 BGBCCG 在中 这一步至关重要 利用两相邻 这一步至关重要 利用两相邻 RT RT 的临边构建等式 事实上也可以直接用直的临边构建等式 事实上也可以直接用直RtBGC 222 BGABAG 角三角形斜边高分比例的方法 角三角形斜边高分比例的方法 解得 即 2 222 686xx 2 3 x 2 3 CG 在中 RtBGC 2 1 3 sin 69 CG E BC 例例 5 如图 平行四边形 ABCD 中 以 A 为圆心 AB 为半径的圆交 AD 于 F 交 BC 于 G 延长 BA 交圆于 E 1 若 ED 与 A 相切 试判断 GD 与 A 的位置关系 并证明你的结论 2 在 1 的条件不变的情况下 若 GC CD 5 求 AD 的长 G F E D C B A 思路分析思路分析 本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题 但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本 的三角形中求解的能力 判断出 DG 与圆相切不难 难点在于如何证明 事实上 除本题以外 门头沟 石景山 和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明 这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角 形相似 第二问则不难 重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度 从而求解 解析解析 1 结论 与相切 6 5 43 2 1 G F E D C B A GDOA 证明 连接AG 点 在圆上 GE AGAE 四边形是平行四边形 ABCD ADBC 123B ABAG 3B 做多了就会发现 基本此类问题都是要找这一对角 所以考生要善于把握已知条件往这个上面 做多了就会发现 基本此类问题都是要找这一对角 所以考生要善于把握已知条件往这个上面12 引 引 在和AED AGD 12 AEAG ADAD AEDAGD AEDAGD 与相切EDAA 90AED 90AGD AGDG 与相切 GDAA 2 四边形是平行四边形5GCCD ABCD ABDC 45 5ABAG ADBC 46 1 56 2 B 很多同学觉得题中没有给出特殊角度 于是无从下手 其实用倍分关系放在 很多同学觉得题中没有给出特殊角度 于是无从下手 其实用倍分关系放在 RT 三角形中就产生了三角形中就产生了22 6 30 和和 60 的特殊角 的特殊角 630 10AD 总结总结 经过以上五道一模真题 我们可以得出这类题型的一般解题思路 要证相切 做辅助线连接圆心与切点经过以上五道一模真题 我们可以得出这类题型的一般解题思路 要证相切 做辅助线连接圆心与切点 自不必说 接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离 即自不必说 接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离 即 连半径 证垂直连半径 证垂直 近年来中考基本只要 近年来中考基本只要 求了这一种证明切线的思路 但是事实上证明切线有三种方式 为以防遇到 还是希望考生能有所了解 求了这一种证明切线的思路 但是事实上证明切线有三种方式 为以防遇到 还是希望考生能有所了解 第一种就是课本上所讲的先连半径 再证垂直 这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中 例如第一种就是课本上所讲的先连半径 再证垂直 这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中 例如 圆外接三角形 或者圆与线段交点这样的 把握好各种圆的性质关系就可以了 圆外接三角形 或者圆与线段交点这样的 把握好各种圆的性质关系就可以了 第二种是在题目没有给出交点状况的情况下 不能贸然连接 于是可以先做垂线 然后通过证明垂线等于半第二种是在题目没有给出交点状况的情况下 不能贸然连接 于是可以先做垂线 然后通过证明垂线等于半 径即可 就是所谓的径即可 就是所谓的 先证垂直后证半径先证垂直后证半径 例如大家看这样一道题 例如大家看这样一道题 如图 ABC 中 AB AC 点 O 是 BC 的中点 与 AB 切于点 D 求证 与 AC 也相切 该题中圆该题中圆 0 与与 AC 是否有公共点是未知的 所以只能通过是否有公共点是未知的 所以只能通过 O 做做 AC 的垂线 然后证明这个距离刚好就是圆半径 的垂线 然后证明这个距离刚好就是圆半径 如果考生想当然认为有一个交点 然后直接连如果考生想当然认为有一个交点 然后直接连 AC 与圆交点这样证明 就误入歧途了 与圆交点这样证明 就误入歧途了 第三种是比较棘手的一种 一方面题目中并未给出半径 也未给出垂直关系 所以属于半径和垂直都要证明第三种是比较棘手的一种 一方面题目中并未给出半径 也未给出垂直关系 所以属于半径和垂直都要证明 的题型 例如看下面一道题 的题型 例如看下面一道题 如图 中 AB AC O D 将 BC 三等分 以 OB 为圆心画 求证 与 AC 相 切 本题中并未说明本题中并未说明一定过一定过 A 点 所以需要证明点 所以需要证明 A 是切点 同时还要证明是切点 同时还要证明 O 到到 AC 垂线的垂足和垂线的垂足和 A 是重合的 是重合的 这样一来就非常麻烦 但是换个角度想 如果连接这样一来就非常麻烦 但是换个角度想 如果连接 AO 之后再证明之后再证明 AO OB AO AC 那么就非常严密了 那么就非常严密了 提示 做垂线 那么垂足同时也是中点 通过数量关系将 提示 做垂线 那么垂足同时也是中点 通过数量关系将 AO BO 都用都用 AB 表示出来即可证明相等 而表示出来即可证明相等 而 AOC 中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角 中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角 至于本类题型中第二问的计算就比较简单了 把握好圆周角 圆心角 以及可能出现的弦切角所构成的线段 至于本类题型中第二问的计算就比较简单了 把握好圆周角 圆心角 以及可能出现的弦切角所构成的线段 角关系 同时将条件放在同一个角关系 同时将条件放在同一个 RT 当中就可以非常方便的求解 总之 此类题目难度不会太大 所以需要大家当中就可以非常方便的求解 总之 此类题目难度不会太大 所以需要大家 做题速度快 准确率高 为后面的代几综合体留出空间 做题速度快 准确率高 为后面的代几综合体留出空间 第二部分第二部分 发散思考发散思考 思 考 1 如 图 已 知 A B 为 O 的 弦 C 为 O 上 一 点 C B A D 且 B D A B 于 B 1 求证 AD 是 O 的切线 2 若 O 的半径为 3 AB 4 求 AD 的长 思思 路路 分分 析析 此 题 为 去 年 海 淀 一 模 题 虽 然 较 为 简 单 但 是 统 计 下 来 得 分 率 却 很 低 因 为 题 目 中 没 有 给 出 A B C D O 有 关 圆 心 的 任 何 线 段 所 以 就 需 要 考 生 自 己 去 构 造 同 一 段 弧 的 圆 周 角 相 等 这 一 性 质 是 非 常 重 要 的 延 长 D B 就 会 得 到 一 个 和 C 一 样 的 圆 周 角 利 用 角 度 关 系 就 很 容 易 证 明 了 第 二 问 考 解 三 角 形 的 计 算 问 题 利 用 相 等 的 角 建 立 相 等 的 比 例 关 系 从 而 求 解 解 法 见 后 思考 2 已知 如图 AB 为 O 的弦 过点 O 作 AB 的平行线 交 O 于点 C 直线 OC 上一点 D 满足 D ACB 1 判断直线 BD 与 O 的位置关系 并证明你的结论 2 若 O 的半径等于 4 求 CD 的长 4 tan 3 ACB 思思 路路 分分 析析 本 题 也 是 非 常 典 型 的 通 过 角 度 变 换 来 证 明 9 0 的 题 目 重 点 在 于 如 何 利 用 D A C B 这 个 条 件 去 将 他 们 放 在 R T 三 角 形 中 找 出 相 等 互 余 等 关 系 尤 其 是 将 O B D 拆 分 成 两 个 角 去 证 明 和 为 9 0 解 法 见 后 思 考 3 已 知 如 图 在 A B C 中 A B A C A E 是 角 平 分 线 B M 平 分 A B C 交 A E 于 点 M 经 过 B M 两 点 的 O 交 B C 于 点 G 交 A B 于 点 F F B 恰 为 O 的 直 径 1 求证 AE 与 O 相切 2 当 BC 4 cosC 1 3 时 求 O 的半径 思 路 分 析 这 是 一 道 去 年 北 京 中 考 的 原 题 有 些 同 学 可 能 已 经 做 过 了 主 要 考 点 还 是 切 线 判 定 等 腰 三 角 形 性 质 以 及 解 直 角 三 角 形 也 不 会 很 难 放 这 里 的 原 因 是 让 大 家 感 受 一 下 中 考 题 也 无 非 就 是 如 此 出 法 和 我 们 前 面 看 到 的 那 些 题 是 一 个 意 思 思思 考考 4 如 图 等 腰 A B C 中 A C B C O 为 A B C 的 外 接 圆 D 为上一点 CE AD 于 E A BC 求证 AE BD DE 思思 路路 分分 析析 前 面 的 题 目 大 多 是 有 关 切 线 问 题 但 是 未 必 所 有 的 圆 问 题 都 和 切 线 有 关 去 年 西 城 区 这 道 模 拟 题 就 是 无 切 线 问 题 的 代 表 此 题 的 关 键 在 于 如 何 在 图 形 中 找 到 和 B D 相 等 的 量 来 达 到 转 化 的 目 的 如 果 图 形 中 所 有 线 段 现 成 的 没 有 那 么 就 需 要 自 己 去 截 一 段 然 后 去 找 相 似 或 者 全 等 三 角 形 中 的 线 段 关 系 思考 5 如图 已知 O 是 ABC 的外接圆 AB 是 O 的直径 D 是 AB 延长线的 一点 AE CD 交 DC 的延长线于 E CF AB 于 F 且 CE CF 1 求证 DE 是 O 的切线 2 若 AB 6 BD 3 求 AE 和 BC 的长 思 路 分 析 又 是 一 道 非 E FAOB C D 常 典 型 的 用 角 证 平 行 的 题 目 题 目 中 虽 未 给 出 A C 评 分 角 E A D 这 样 的 条 件 但 是 通 过 给 定 C E C F 加 上 有 一 个 公 共 边 那 么 很 容 易 发 现 E A C 和 C A F 是 全 等 的 于 是 问 题 迎 刃 而 解 第 二 问 中 依 然 要 注 意 找 到 已 知 线 段 的 等 量 线 段 并 且 利 用 和 差 等 关 系 去 转 化 第第 三三 部部 分分 思思 考考 题题 解解 析析 思思 考考 1 解解 析析 1 证 明 如 E A B C D O 图 连 接 A O 并 延 长 交 O 于 点 E 连 接 B E 则 A B E 9 0 EAB E 90 E C C B A D EAB BAD 90 AD 是 O 的切线 2 解 由 1 可知 ABE 90 AE 2AO 6 AB 4 E C BAD BD AB 52 22 ABAEBE coscosEBAD AE BE AD AB 6 524 AD 即 5 512 AD 思考思考 2 解析解析 解 1 直线 BD 与 O 相切 证明 如图 3