2014高考数学一轮总复习 2.1函数的概念及表示法教案 理 新人教A版

1 第二章第二章 函函 数数 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1 了解构成函数的三要素 会求一些简单函数的定义 域和值域 了解映射的概念 2 在实际生活中 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图 象法 列表法 解析法 表示函数 3 了解简单的分段函数 并能简单运用 4 理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 结 合具体函数 了解函数奇偶性的含义 5 会运用函数的图象理解和研究函数的性质 6 理解有理指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握 幂的运算 7 理解指数函数的概念及其单调性 掌握指数函数通过的 特殊点 8 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一 般对数化成自然对数或常用对数 了解对数在简化运算中 的作用 9 理解对数函数的概念及其单调性 掌握对数函数通过的 特殊点 10 了解指数函数 y ax 与对数函数 y logax a 0 且 a 1 互为反函数 11 了解幂函数的概念 结合函数 y x y x2 y x3 y x 1 y 2 1 x 的图象 了解它们的变化情况 12 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程的根的联 系 判断一元二次方程根的存在性和根的个数 13 根据具体函数图象 能够用二分法求相应方程的近似解 14 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道 直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含 义 15 了解指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会 生活中普遍使用的函数模型的广泛应用 本章重点 1 函数的概 念及其三要素 2 函数的单调性 奇偶性及其几何意 义 3 函数的最大 小 值 4 指数函数与对数 函数的概念和性质 5 函数的图象及其 变换 6 函数的零点与方 程的根之间的关系 7 函数模型的建立 及其应用 本章难点 1 函数概念的理解 2 函数单调性的判 断 3 函数图象 的变换及其应用 4 指数函数与对数 函数概念的理解及 其性质运用 5 研究二次函数的 零点与一元二次方 程的根的关系 6 函数模型的建立 及求解 高考对函 数的考查 常 以选择题和填 空题来考查函 数的概念和一 些基本初等函 数的图象和性 质 解答题则 往往不是简单 地考查概念 公式和法则的 应用 而是常 与导数 不等 式 数列 三 角函数 解析 几何等知识及 实际问题结合 起来进行综合 考查 并渗透 数学思想方法 突出考查函数 与方程 数形 结合 分类与 整合 化归与 转化等数学思 想方法 知识网络 2 2 1 函数的概念及表示法 典例精析 题型一 求函数的解析式 例 1 1 已知 f x 1 x2 x 1 求 f x 的表达式 2 已知 f x 2f x 3x2 5x 3 求 f x 的表达式 解析 1 设 x 1 t 则 x t 1 代入得 f x t 1 2 t 1 1 t2 t 1 所以 f x x2 x 1 2 由 f x 2f x 3x2 5x 3 x 换成 x 得 f x 2 f x 3x2 5x 3 解得 f x x2 5x 1 点拨 已知 f x g x 求复合函数 f g x 的解析式 直接把 f x 中的 x 换成 g x 即 可 已知 f g x 求 f x 的解析式 常常是设 g x t 或者在 f g x 中凑出 g x 再把 g x 换成 x 变式训练 1 已知 f x x 1 1 2 2 1 1 x x 求 f x 的解析式 解析 设 x x 1 1 t 则 x t t 1 1 所以 f t 2 2 1 1 1 1 1 1 t t t t 2 1 2 t t 所以 f x 2 1 2 x x x 1 题型二 求函数的定义域 例 2 1 求函数 y 2 2 9 2lg x xx 的定义域 3 2 已知 f x 的定义域为 2 4 求 f x2 3x 的定义域 解析 1 要使函数有意义 则只需要 09 02 2 2 x xx 即 33 02 x xx或 解得 3 x 0 或 2 x 3 故所求的定义域为 3 0 2 3 2 依题意 只需 2 x2 3x 4 解得 1 x 1 或 2 x 4 故 f x2 3x 的定义域为 1 1 2 4 点拨 有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围 往往列不等式 组求解 对于抽象函数 f g x 的定义域要把 g x 当作 f x 中的 x 来对待 变式训练 2 已知函数 f 2x 的定义域为 1 1 求 f log2x 的定义域 解析 因为 y f 2x 的定义域为 1 1 即 1 x 1 时 2 1 2x 21 所以 y f x 的定义域为 2 令 log2x 2 所以 x 22 4 故所求 y f log2x 的定义域为 1 2 1 22 4 2 题型三 由实际问题给出的函数 例 3 用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形 上部为半圆形的框架 如图 若矩形底部长 为 2x 求此框围成的面积 y 与 x 的函数关系式 并指出其定义域 解析 由题意知 此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积 而 矩形的长 AB 2x 设宽为 a 则有 2x 2a x l 即 a 2 l 2 x x 半圆的半径为 x 所以 y 2 2 x 2 l x x 2x 2 x2 lx 2 2 由实际意义知2 l x x 0 因 x 0 解得 0 x 2 l 2 即函数 y 2 x2 lx 的定义域是 x 0 x 2 l 2 点拨 求由实际问题确定的定义域时 除考虑函数的解析式有意义外 还要考虑使实际 问题有意义 如本题使函数解析式有意义的 x 的取值范围是 x R 但实际问题的意义是矩 形的边长为正数 而边长是用变量 x 表示的 这就是实际问题对变量的制约 变式训练 3 一张正方形的纸片 剪去两个一样的小矩形得到一个 E 形图案 如图所 示 设小矩形的长 宽分别为 x y 剪去部分的面积为 20 若 2 x 10 记 y f x 则 y f x 的图象是 4 解析 由题意得 y 2 x 10 选 A 10 x 题型四 分段函数 例 4 已知函数 f x 0 1 0 3 2 xx xx 1 求 f 1 f 1 的值 2 若 f a 1 求 a 的值 3 若 f x 2 求 x 的取值范围 解析 1 由题意 得 f 1 2 f 1 2 所以 f 1 f 1 4 2 当 a 0 时 f a a 3 1 解得 a 2 当 a 0 时 f a a2 1 1 解得 a 0 所以 a 2 或 a 0 3 当 x 0 时 f x x 3 2 解得 1 x 0 当 x 0 时 f x x2 1 2 解得 x 1 所以 x 的取值范围是 1 x 0 或 x 1 点拨 分段函数中 x 在不同的范围内取值时 其对应的函数关系式不同 因此 分段函 数往往需要分段处理 变式训练 4 已知函数 f x 10 6 2 1 100 lg xx xx 若 a b c 互不相等 且 f a f b f c 则 abc 的取值范围是 A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 解析 不妨设 a b c 由 f a f b f c 及 f x 图象知 a 1