【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点28 推理与证明（含解析）新人教A版

1 命题探究命题探究 2014 2014 版高考数学知识点讲座 考点版高考数学知识点讲座 考点 2828 推理与证明 解析版 推理与证明 解析版 加 加 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 一一 考纲目标考纲目标 掌握合情推理与演绎推理 熟练的运用综合法和分析法 反证法证题 信息转化 逻辑分析 二二 知识梳理知识梳理 1 合情推理包括归纳推理和类比推理 2 归纳推理 1 概念 根据一类事物的部分对象具有某种性质 推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推 理 叫做归纳推理 简称归纳 2 特点 归纳是从特殊到一般的过程 3 归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些相同性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 3 类比推理 1 概念 根据两类不同事物之间具有某些类似 或一致 性 推测其中一类事物具有与另一类事物 类似 或相同 的性质的推理 叫做类比推理 简称类比 2 类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 4 演绎推理 1 概念 根据一般性原理 或逻辑规则 导出特殊情况下的结论的推理 叫做演绎推理 2 特征 当前提为真时 结论必然为真 3 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 5 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 推理论证 最后 推导出所要证明的结论 成立 这种证明方法叫做综合法 2 框图表示 P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q 其中 P 表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q 表示要证的结论 2 分析法 定义 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 框图表示 Q P1P1 P2P2 P3得到一个明显成立的条件 6 间接证明 反证法 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了 原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 三 考点逐个突破三 考点逐个突破 1 1 归纳推理归纳推理 例 1 已知 f x x a 0 且 f 1 log162 f 2 1 bx 1 ax 1 2 1 a 1 求函数 f x 的表达式 2 已知数列 xn 的项满足 xn 1 f 1 1 f 2 1 f n 试求 x1 x2 x3 x4 3 猜想 xn 的通项 解 1 把 f 1 log162 f 2 1 1 4 代入函数表达式得Error 整理得Error 解得Error 于是 f x x 1 1 x 1 2 2 x1 1 f 1 1 1 4 3 4 x2 1 x3 1 3 4 1 9 2 3 2 3 1 16 5 8 x4 1 5 8 1 25 3 5 3 这里因为偶数项的分子 分母作了约分 所以规律不明显 若变形为 便可猜想 3 4 4 6 5 8 6 10 xn n N n 2 2 n 1 2 2 类比推理类比推理 例 2 已知结论 在正三角形 ABC 中 若 D 是边 BC 的中点 G 是三角形 ABC 的重心 则 2 若把该结论推广到空间 则有结论 在棱长都相等的四面体 ABCD 中 若 BCD 的中心 AG GD 3 为 M 四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等 则 AO OM A 1 B 2 C 3 D 4 解析 如下图设正四面体的棱长为 1 则易知其高 AM 此时易知点 O 即为正四面体内切球 6 3 的球心 设其半径为 r 利用等积法有 4 r r 1 3 3 4 1 3 3 4 6 3 6 12 故 AO AM MO 故 AO OM 3 6 3 6 12 6 4 6 4 6 12 3 3 演绎推理演绎推理 例 3 已知函数 f x a 0 且 a 1 a ax a 1 证明函数 y f x 的图像关于点 对称 1 2 1 2 2 求 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 解 1 证明 函数 f x 的定义域为 R 任取一点 x y 它关于点 对称的点的坐标为 1 2 1 2 1 x 1 y 由已知得 y 则 1 y 1 a ax a a ax a ax ax a f 1 x a a1 x a a a ax a 1 y f 1 x a ax a a ax ax ax a 即函数 y f x 的图像关于点 对称 1 2 1 2 2 由 1 有 1 f x f 1 x 即 f x f 1 x 1 f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 4 4 综合法综合法 例 4 已知 x y z 1 求证 x2 y2 z2 1 3 证明 x2 y2 2xy x2 z2 2xz y2 z2 2yz 2x2 2y2 2z2 2xy 2xz 2yz 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 3 x2 y2 z2 x y z 2 1 4 x2 y2 z2 1 3 5 5 分析法分析法 例 5 已知 m 0 a b R 求证 2 a mb 1 m a2 mb2 1 m 思路点拨 先去分母 再合并同类项 化成积式 证明 m 0 1 m 0 所以要证原不等式成立 只需证明 a mb 2 1 m a2 mb2 即证 m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0 显然成立 故原不等式得证 6 6 反证法 反证法 例 6 设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列 an 的集合 an 1 an M 其中 an an 2 2 n N M 是与 n 无关的常数 1 设数列 bn 的通项为 bn 5n 2n 且 bn W 求 M 的取值范围 2 设数列 cn 的各项均为正整数 且 cn W 证明 cn cn 1 解 1 bn 1 bn 5 n 1 2n 1 5n 2n 5 2n 当 n 3 时 bn 1 bn0 即 b1 b2ck 1 由数列 cn 的各项均为正整数 可得 ck ck 1 1 即 ck 1 ck 1 cn W ck 1 ck ck 2 2 ck 2 2ck 1 ck及 ck ck 1 得 ck 2 2ck 1 ck 1 ck 1 故 ck 2 ck 1 1 ck 2 ck 1 ck 3 2 ck 3 2ck