【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点44 相关关系、回归分析与独立性检验（含解析）新人教A版

1 命题探究命题探究 2014 2014 版高考数学知识点讲座 考点版高考数学知识点讲座 考点 4444 相关关系 回归分析相关关系 回归分析 与独立性检验 解析版 与独立性检验 解析版 加 加 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 一一 考纲目标考纲目标 利用散点图判断变量之间是否存在相关关系 求回归直线方程和利用回归直线作出估计 独立性 检验 二二 知识梳理知识梳理 1 两个变量的线性相关 1 正相关 在散点图中 点散布在从左下角到右上角的区域 对于两个变量的这种相关关系 我们将它称为 正相关 2 负相关 在散点图中 点散布在从左上角到右下角的区域 两个变量的这种相关关系称为负相关 3 线性相关关系 回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 就称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线叫做回归直线 2 回归方程 1 最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法 2 回归方程 方程 x 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 的 y b a 回归方程 其中 是待定参数 a b 11 222 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx aybx n i i x n x 1 1 n i i y n y 1 1 3 残差分析 1 残差 对于样本点 x1 y1 x2 y2 xn yn 它们的随机误差为 ei yi bxi a i 1 2 n 其估计值为 i yi i yi xi i 1 2 n i称 e y b a e 为相应于点 xi yi 的残差 2 2 相关指数 R2 1 R2越大 意味着残差平方和 越小 即模型的拟合效果越 n i 1 yi y i 2 n i 1 yi y 2 好 R2越小 残差平方和越大 即模型的拟合效果越差 在线性回归模型中 R2表示解释变量对于 预报变量变化的贡献率 R2越接近于 1 表示回归的效果越好 4 独立性检验 1 分类变量 变量的不同 值 表示个体所属的不同类型 像这类变量称为分类变量 2 列联表 列出两个分类变量的 频数表 称为列联表 假设有两个分类变量 X 和 Y 它们的可 能取值分别为 x1 x2 和 y1 y2 其样本频数列联表 称为 2 2 列联表 为 2 2 列联表 y1y2 总计 x1ab a b x2cd c d 总计a cb da b c d K2 其中 n a b c d 为样本容量 则利用独立性检验判 n ad bc 2 a b a c b d c d 断表来判断 X 与 Y 的关系 三 考点逐个突破三 考点逐个突破 1 1 散点图与相关关系的判断散点图与相关关系的判断 例 1 在一组样本数据 x1 y1 x2 y2 xn yn n 2 x1 x2 xn不全相等 的散点 图中 若所有样本点 xi yi i 1 2 n 都在直线 y x 1 上 则这组样本数据的样本相关 1 2 系数为 A 1 B 0 C D 1 1 2 答案 D 解析 样本相关系数越接近 1 相关性越强 现在所有的样本点都在直线 y x 1 上 样本的 1 2 相关系数应为 1 要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系 2 2 利用回归直线方程对总体进行估计利用回归直线方程对总体进行估计 例 2 1 1 某化工厂为预测产品的回收率 y 需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系 3 现取 8 对观测值计算 得 i 52 i 228 478 iyi 1849 则其回归直线方 8 i 1 x 8 i 1 y 8 i 1 x 2 i 8 i 1 x 程为 A 11 47 2 62x B 11 47 2 62x y y C 2 62 11 47x D 11 47 2 62x y y 答案 A 解析 由 i 52 i 228 知 6 5 28 5 8 i 1 x 8 i 1 y x y b 8 i 1 xiyi 8 x y 8 i 1 x2 i 8 x 2 2 62 1849 8 6 5 28 5 478 8 6 52 28 5 2 62 6 5 11 47 a y b x 2 2 在某医学实验中 某实验小组为了分析某药物用药量与血液中某种抗体水平的关系 选取六只 验动物进行血检 得到如下资料 动物编号 123456 用药量 x 单位 134568 抗体指标 y 单位 3 43 73 84 04 24 3 记 s 为抗体指标标准差 若抗体指标落在 s s 内 则称该动物为有效动物 否则称为 y y 无效动物 研究方案规定先从六只动物中选取两只 用剩下的四只动物的数据求线性回归方程 再对被选取的两只动物数据进行检验 1 求选取的两只动物都是有效动物的概率 2 若选取的是编号为 1 和 6 的两只动物 且利用剩余四只动物的数据求出 y 关于 x 的线性回归方 程为 0 17x a 试求出 a 的值 y 3 若根据回归方程估计出的 1 号和 6 号动物抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗体指标标准 差 则认为得到的线性回归方程是可靠的 试判断 2 中所得线性回归方程是否可靠 参考公式 样本数据 x1 x2 xn的标准差 S 其中为样本平均数 1 n x1 x 2 x2 x 2 xn x 2 x 解析 1 3 9 s 0 31 故 1 6 号为无效动物 2 3 4 5 号为有效动物 y 记从六只动物中选取两只为事件 A 4 所有可能结果为 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共 15 种 满足题意的有 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 共 6 种 故 P A 6 15 2 5 2 对于 2 3 4 5 号动物 4 5 3 925 代入 0 17x a 得 a 3 16 x y y 3 由 0 17x 3 16 得 1 3 33 6 4 52 y y y 误差 e1 0 07 e6 0 22 均比标准差 s 0 31 小 故 2 中回归方程可靠 3 3 独立性检验独立性检验 例 3 1 1 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中 下列说法正确的是 若 K2的观测值满足 K2 6 635 我们有 99 的把握认为吸烟与患肺病有关系 那么在 100 个吸烟 的人中必有 99 人患有肺病 从独立性检验可知有 99 的把握认为吸烟与患病有关系时 我们说 某人吸烟 那么他有 99 的可能患有肺病 从统计量中得知有 95 的把握认为吸烟与患肺病有关 系 是指有 5 的可能性使得推断出现错误 A B C D 答案 C 解析 推断在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病 说法错误 排除 A B 正确 排除 D 选 C 2 2 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下的列联表 男女总计 爱好 402060 不爱好 203050 总计 6050110 由 K2 算得 K2 7 8 n ad bc 2 a b c d a c b d 110 40 30 20 20 2 60 50 60 50 附表 P K2 k 0 0500 0100 001 k3 8416 63510 828 参照附表 得到的正确结论是 A 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关 B 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别无关 C 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关 D 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别无关 5 答案 A 解析 根据独立性检验的定义 由 K2 7 8 6 635 可知 有 99 以上把握认为 爱好该项运动与 性别有关 3 3 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老 年人 结果如下 性别 是否需要志愿者 男女 需要 4030 不需要 160270 1 估计该地区老年人中 需要志愿者提供帮助的老年人的比例 2 能否有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 3 根据 2 的结论 能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中 需要志愿者提供帮助的 老年人的比例 说明理由 附 K2 n ad bc 2 a b c d a c b d 解析 1 调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 因此该地区老年人中 需要帮 助的老年人的比例的估计值为 14 70 500 2 K2 9 967 500 40 270 30 160