2013年全国高考数学第二轮复习 专题六 解析几何第1讲 直线与圆 文

1 专题六专题六 解析几何第解析几何第 1 1 讲讲 直线与圆直线与圆 真题试做真题试做 1 2012 安徽高考 文 9 若直线x y 1 0 与圆 x a 2 y2 2 有公共点 则实数 a的取值范围是 A 3 1 B 1 3 C 3 1 D 3 1 2 2012 山东高考 文 9 圆 x 2 2 y2 4 与圆 x 2 2 y 1 2 9 的位置关系为 A 内切 B 相交 C 外切 D 相离 3 2012 福建高考 文 7 直线x y 2 0 与圆x2 y2 4 相交于A B两点 则弦 3 AB的长度等于 A 2 B 2 C D 1 5 3 3 4 2012 北京高考 文 9 直线y x被圆x2 y 2 2 4 截得的弦长为 5 2012 天津高考 文 12 设m n R R 若直线l mx ny 1 0 与x轴相交于点A 与y轴相交于点B 且l与圆x2 y2 4 相交所得弦的长为 2 O为坐标原点 则 AOB面积 的最小值为 6 2012 江苏高考 12 在平面直角坐标系xOy中 圆C的方程为 x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2 上至少存在一点 使得以该点为圆心 1 为半径的圆与 圆C有公共点 则k的最大值是 考向分析考向分析 直线与方程是解析几何的基础 高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程 直线平行与垂直的关系的判定 两条直线的交点和距离问题等 一般以选择题 填空题的形 式考查 对于圆的考查 主要是结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程及 一般方程 利用圆的性质求动点的轨迹方程 直线与圆 圆与圆的位置关系等问题 其中含 参数问题为命题热点 一般以选择题 填空题的形式考查 难度不大 从能力要求看 主要 考查函数与方程的思想 数形结合思想以及分析问题与解决问题的能力 热点例析热点例析 热点一 直线方程与两条直线的位置关系 例 1 经过点P 2 3 作圆 x 1 2 y2 25 的弦AB 使点P为弦AB的中点 求弦 AB所在直线方程 规律方法规律方法 1 求直线方程的方法 直接法 直接选用恰当的直线方程的形式 写出结果 待定系数法 先由直线满足的一个条件设出直线方程 使方程中含有一待定系数 再 由题目中另一条件求出待定系数 2 两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1 l2的斜率k1 k2存在 则 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1k2 1 两条不重合的直线a1x b1y c1 0 和a2x b2y c2 0 平行的充要条件为 a1b2 a2b1 0 且a1c2 a2c1或b1c2 b2c1 两条直线a1x b1y c1 0 和a2x b2y c2 0 垂直的充要条件为a1a2 b1b2 0 判定 两直线平行与垂直的关系时 如果给出的直线方程中存在字母系数 不仅要考虑斜率存在的 情况 还要考虑斜率不存在的情况 3 忽视对直线方程中的字母分类讨论而丢解或增解 直线方程的截距式 1 中 有ab 0 的限制 而截距可以取正数 负数和零 所以 x a y b 需要对a b分类讨论 否则容易造成丢解 如过点P 2 1 在x轴 y轴上的截距分别 为a b 且满足a 3b的直线易漏掉过原点的情形 2 变式训练变式训练 1 1 1 a 3 是 直线ax 2y 1 0 与直线 6x 4y c 0 平行 的 条件 A 充要 B 充分而不必要 C 必要而不充分 D 既不充分也不必要 2 已知圆C过点 1 0 且圆心在x轴的正半轴上 直线l y x 1 被圆C所截得的 弦长为 2 则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 2 热点二 圆的方程 例 2 2011 课标全国高考 文 20 在平面直角坐标系xOy中 曲线y x2 6x 1 与 坐标轴的交点都在圆C上 1 求圆C的方程 2 若圆C与直线x y a 0 交于A B两点 且OA OB 求a的值 规律方法规律方法 圆的方程的求法 求圆的方程一般有两类方法 1 几何法 通过研究圆的性质 直线和圆 圆与圆的位 置关系 从而求得圆的基本量和方程 2 代数法 用待定系数法先设出圆的方程 再由条 件求得各系数 从而求得圆的方程一般采用待定系数法 特别提醒 圆心到切线的距离等于半径 该结论在解题过程中经常用到 需牢记 变式训练变式训练 2 2 1 已知圆C经过点A 1 3 B 2 2 并且直线m 3x 2y 0 平分圆的面 积 则圆C的方程为 2 我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做 串圆 在如图所示的 串圆 中 圆C1和圆C3的方程分别为x2 y2 1 和 x 3 2 y 4 2 1 则圆C2的方程为 热点三 直线与圆的位置关系 例 3 如图所示 已知以点A 1 2 为圆心的圆与直线l1 x 2y 7 0 相切 过点 B 2 0 的动直线l与圆A相交于M N两点 Q是MN的中点 直线l与l1相交于点P 1 求圆A的方程 2 当 MN 2时 求直线l的方程 19 3 是否为定值 如果是 求出其定值 如果不是 请说明理由 BQ BP 规律方法规律方法 1 研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法 将几何问题代数化 利用函数与方程思想解题 2 与弦长有关的问题常用几何法 即利用圆的半径r 圆心到直线的距离d 及半弦长 构成直角三角形的三边 利用其关系来处理 l 2 3 变式训练变式训练 3 3 已知直线l 2mx y 8m 3 0 和圆C x 3 2 y 6 2 25 1 证明 不论m取什么实数 直线l与圆C总相交 2 求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程 思想渗透思想渗透 1 数形结合思想 解答与圆有关的范围问题时 经常以形助数 巧妙破解 若直线y x b与曲线y 3 有公共点 则b的取值范围是 4x x2 A 1 1 2 B 1 2 1 2 222 C 1 2 3 D 1 3 22 解析 解析 方程y x b表示斜率为 1 的平行直线系 曲线方程可化为 x 2 2 y 3 2 4 1 y 3 表示圆心为 2 3 半径为 2 的下半圆 如图所示 当直线y x b与半圆相切时须满足圆心 2 3 到直线x y b 0 的距离等于 2 即 2 解得b 1 2或b 1 2 舍 1 2 1 3 b 222 当直线y x b过点 0 3 时 可得b 3 由图可知满足题意的b的取值范围为 1 2 b 3 2 答案 答案 C 2 分类讨论思想 遇到字母时往往要对其进行讨论 试判断方程x2 y2 4x 2my 8 0 表示的曲线类型 解 解 将x2 y2 4x 2my 8 0 配方 得 x 2 2 y m 2 m2 4 1 当m2 4 0 即m 2 或m 2 时 原方程表示以 2 m 为圆心 为半 m2 4 径的圆 2 当m2 4 0 即m 2 时 原方程表示点 2 2 或 2 2 3 当m2 4 0 即 2 m 2 时 原方程不表示任何曲线 1 a b 是 直线y x 2 与圆 x a 2 y b 2 2 相切 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 已知圆C与直线x y 0 及x y 4 0 都相切 圆心在直线x y 0 上 则圆C的 方程为 A x 1 2 y 1 2 2 B x 1 2 y 1 2 2 C x 1 2 y 1 2 2 D x 1 2 y 1 2 2 3 2012 安徽安庆二模 5 已知圆C x2 y2 2x 4y 4 0 直线l 2x y 0 则 圆C上的点到直线l的距离最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 4 2012 山东潍坊二模 14 若a b c是 Rt ABC的三边的长 c为斜边长 则圆 C x2 y2 4 被直线l ax by c 0 所截得的弦长为 5 2012 吉林长春实验中学二模 14 圆心在直线x 2y 1 0 上 且经过原点和点 4 2 1 的圆的方程为 6 2012 湖北武昌 5 月模拟 13 在圆x2 y2 4 上的点 与直线l 4x 3y 12 0 的距离的最小值是 7 已知直线l过点P 0 2 斜率为k 圆Q x2 y2 12x 32 0 1 若直线l和圆相切 求直线l的方程 2 若直线l和圆交于A B两个不同的点 问是否存在常数k 使得 与共OA OB PQ 线 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 参考答案参考答案 命题调研命题调研 明晰考向明晰考向 真题试做真题试做 1 C 解析 解析 由题意可得 圆的圆心为 a 0 半径为 2 即 a 1 2 a 0 1 12 1 22 解得 3 a 1 2 B 解析 解析 圆O1 x 2 2 y2 4 的圆心为 2 0 半径r1 2 圆O2 x 2 2 y 1 2 9 的圆心为 2 1 半径r2 3 O1O2 42 1217 因为r2 r1 O1O2 r1 r2 所以两圆相交 3 B 解析 解析 由题意作出图象如下图 由图可知圆心到直线AB的距离d 1 2 1 3 故 AB 2 BC 2 2 22 123 4 2 解析 解析 由题意得 圆x2 y 2 2 4 的圆心为 0 2 半径为 2 圆心到直线 2 x y 0 的距离d 2 22 设截得的弦长为l 则由 2 2 22 得l 2 l 2 22 5 3 解析 解析 l与圆相交所得弦的长为 2 1 m2 n24 1 m2 n2 2 mn mn 1 3 1 6 l与x轴的交点为A 与y轴的交点为B 1 m 0 0 1 n S AOB 6 3 1 2 1 m 1 n 1 2 1 mn 1 2 6 解析 解析 圆C的方程可化为 x 4 2 y2 1 直线y kx 2 是过定点 0 2 的动 4 3 直线 圆心C到直线y kx 2 的距离d 要使其满足已知条件 则需d 1 1 4k 2 k2 1 即 1 1 解得 0 k 4k 2 k2 1 4 3 故k的最大值为 4 3 精要例析精要例析 聚焦热点聚焦热点 5 热点例析热点例析 例 1 解 解 设圆心为C 则AB垂直于CP kCP 1 故直线AB的方程为y 3 x 2 即x y 5 0 3 0 2 1 变式训练 1 1 C 解析 解析 两条直线平行的充要条件是 a 6 2 4 1 c 即Error 故 a 3 是 直线ax 2y 1 0 与直线 6x 4y c 0 平行 的必要而不充分 条件 2 x y 3 0 解析 解析 设圆心坐标为 x0 0 x0 0 由于圆过点 1 0 则半径r x0 1 圆心到直线l的距离d x0 1 2 由弦长为 2可知 2 x0 1 2 2 2 x0 1 2 整理得 x0 1 2 4 x0 1 2 x0 3 或x0 1 舍去 因此圆心为 3 0 由此可求得过圆心且与直线y x 1 垂直的直线方程为y x 3 即x y 3 0 例 2 解 解 1 曲线y x2 6x 1 与y轴的交点为 0 1 与x轴的交点为 3 2 0 2 3 2 0 2 故可设C的圆心为 3 t 则有 32 t 1 2 2 2 t2 2 解得t 1 则圆C的半径为 3 32 t 1 2 所以圆C的方程为 x 3 2 y 1 2 9 2 设A x1 y1 B x2 y2 其坐标满足方程组 Error 消去y 得到方程 2x2 2a 8 x a2 2a 1 0 由已知可得 判别式 56 16a 4a2 0 因此x1 2 8 2a 56 16a 4a2 4 从而x1 x2 4 a x1x2 a2 2a 1 2 由于OA OB 可得x1x2 y1y2 0 又y1 x1 a y2 x2 a 所以 2x1x2 a x1 x2 a2 0 由 得a 1 满足 0 故a 1 变式训练 2 1 x 2 2 y 3 2 1 解析 解析 由已知得 线段AB的中点E 3 2 5 2 kAB 1 故线段AB的中垂线方程为y x 3 2 1 2 5 2 3 2 即x y 1 0 因为圆C经过A B两点 故圆心在线段AB的中垂线上 又因为直线m 3x 2y 0 平分圆的面积 所以直线m经过圆心 由Error 解得Error 即圆心C 2 3 而圆的半径r CB 1 2 2 2 2 3 2 所以圆C的方程为 x 2 2 y 3 2 1 2 2 y 2 2 解析 解析 易求出C1 0 0 半径r1 1 x 3 2 9 4 圆心C3 3 4 半径r3 1 设圆C2的圆心坐标为C2 a b 半径为r2 据题意得Error 即可解出Error 故圆C2的方程为 2 y 2 2 x 3 2 9 4 6 例 3 解 解 1 设圆A的半径为R 圆A与直线l1 x 2y 7 0 相切 R 2 1 4 7 55 圆A的方程为 x 1 2 y 2 2 20 2 当直线l与x轴垂直时 易知x 2 符合题意 当直线l与x轴不垂直时 设直线l的方程为y k x 2 即kx y 2k 0 连接AQ 则AQ MN MN 2 AQ 1 1920 19 由 AQ 1 得k k 2 k2 1 3 4 直线l的方程为 3x 4y 6 0 所求直线l的方程为x 2 或 3x 4y 6 0 3 AQ BP 0 AQ BP BQ BP BA AQ BP BA BP AQ BP BA BP 当直线l与x轴垂直时 得P 2 5 2 则 BP 0 5 2 又 1 2 5 BA BQ BP BA BP 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y k x 2 由Error 解得P 4k 7 1 2k 5k 1 2k BP 5 1 2k 5k 1 2k 5 BQ BP BA BP 5 1 2k 10k 1 2k 综上所述 是定值 且 5 BQ BP BQ BP 变式训练 3 方法一 1 证明 设圆心C到直线l的距离为d 则有d 6m 6 8m 3 4m2 1 整理可得 4 d2 1 m2 12m d2 9 0 为使上面关于m的方程有实数解 则 122 16 d2 1 d2 9 0 解得 0 d 10 可得d 5 故不论m为何实数 直线l与圆C总相交 2 解 解 由 1 可知 0 d 即d的最大值为 1010 根据平面几何知识可知 当圆心到直线l的距离最大时 直线l被圆C截得的线段长度 最短 当d 时 线段 即弦 的最短长度为 10 2 2 52 r 10 215 将d 代入 可得m 代入直线l的方程得直线被圆C截得最短线段时l的方 10 1 6 程为x 3y 5 0 方法二 1 证明 将直线l的方程变形有 m 2x 8 y 3 0 解Error 得Error 知直线l过定点A 4 3 又 4 3 2 3 6 2 25 A点在圆C内部 因此直线l与圆C总相交 2 解 解 同方法一 7 创新模拟创新模拟 预测演练预测演练 1 A 解析 解析 直线y x 2 与圆 x a 2 y b 2 2 相切 圆心 a b 到直线y x 2 的距离d r 即 a b 2 2 解得a b 0 或a b 4 故选 A a b 2 22 2 B 解析 解析 由圆心在直线x y 0 上 不妨设为C a a r a a 2 a a 4 2 解得a 1 r 2 圆C的方程为 x 1 2 y 1 2