【三维设计】2013届高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第三章 正弦定理和余弦定理教学案（含解析）新人教A版

1 第七节第七节正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 知识能否忆起 1 正弦定理 分类内容 定理 2R R是 ABC外接圆的半径 a sin A b sin B c sin C 变形 公式 a 2Rsin A b 2Rsin B c 2Rsin C sin A sin B sin C a b c sin A sin B sin C a 2R b 2R c 2R 解决的 问题 已知两角和任一边 求其他两边和另一角 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 2 余弦定理 分类内容 定理 在 ABC中 有a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcos C 变形 公式 cos A cos B b2 c2 a2 2bc a2 c2 b2 2ac cos C a2 b2 c2 2ab 解决的 问题 已知三边 求各角 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 3 三角形中常用的面积公式 1 S ah h表示边a上的高 1 2 2 S bcsin A acsin B absin C 1 2 1 2 1 2 2 3 S r a b c r为三角形的内切圆半径 1 2 小题能否全取 1 2012 广东高考 在 ABC中 若 A 60 B 45 BC 3 则AC 2 A 4 B 2 33 C D 3 3 2 解析 选 B 由正弦定理得 即 所以AC BC sin A AC sin B 3 2 sin 60 AC sin 45 3 2 3 2 2 2 23 2 在 ABC中 a b 1 c 2 则A等于 3 A 30 B 45 C 60 D 75 解析 选 C cos A b2 c2 a2 2bc 1 4 3 2 1 2 1 2 又 0 A 180 A 60 3 教材习题改编 在 ABC中 若a 18 b 24 A 45 则此三角形有 A 无解 B 两解 C 一解 D 解的个数不确定 解析 选 B a sin A b sin B sin B sin A sin 45 b a 24 18 sin B 2 2 3 又 aB a b sin A sin B 2 在 ABC中 已知a b和A时 解的情况如下 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a bsin A bsin A ab 解的个 数 一解两解一解一解 利用正弦 余弦定理解三角形 典题导入 例 1 2012 浙江高考 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 且bsin A acos B 3 1 求角B的大小 2 若b 3 sin C 2sin A 求a c的值 自主解答 1 由bsin A acos B及正弦定理 3 得 sin B cos B a sin A b sin B3 所以 tan B 所以B 3 3 4 2 由 sin C 2sin A及 得c 2a a sin A c sin C 由b 3 及余弦定理b2 a2 c2 2accos B 得 9 a2 c2 ac 所以a c 2 33 在本例 2 的条件下 试求角A的大小 解 a sin A b sin B sin A asin B b 3 sin 3 3 1 2 A 6 由题悟法 1 应熟练掌握正 余弦定理及其变形 解三角形时 有时可用正弦定理 有时也可用 余弦定理 应注意用哪一个定理更方便 简捷 2 已知两角和一边 该三角形是确定的 其解是唯一的 已知两边和一边的对角 该 三角形具有不唯一性 通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 以题试法 1 ABC的三个内角A B C所对的边分别为a b c asin Asin B bcos2A a 2 1 求 b a 2 若c2 b2 a2 求B 3 解 1 由正弦定理得 sin2Asin B sin Bcos2A sin A 即 2 sin B sin2A cos2A sin A 2 故 sin B sin A 所以 2 b a2 2 由余弦定理和c2 b2 a2 得 cos B 3 1 3 a 2c 由 1 知b2 2a2 故c2 2 a2 可得 cos2B 3 1 2 5 又 cos B 0 故 cos B 所以B 45 2 2 利用正弦 余弦定理判定三角形的形状 典题导入 例 2 在 ABC中a b c分别为内角A B C的对边 且 2asin A 2b c sin B 2c b sin C 1 求A的大小 2 若 sin B sin C 1 试判断 ABC的形状 自主解答 1 由已知 根据正弦定理得 2a2 2b c b 2c b c 即 a2 b2 c2 bc 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos A 故 cos A 0 A 180 A 120 1 2 2 由 1 得 sin2A sin2B sin2C sin Bsin C 3 4 又 sin B sin C 1 解得 sin B sin C 1 2 0 B 60 0 C 60 故B C ABC是等腰的钝角三角形 由题悟法 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时 主要有如下两种方法 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相 应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等 变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结 论 注意 在上述两种方法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取公因 式 以免漏解 以题试法 2 2012 安徽名校模拟 已知 ABC的三个内角A B C所对的边分别为a b c 向量m m 4 1 n n 且m m n n cos2 A 2 cos 2A 7 2 6 1 求角A的大小 2 若b c 2a 2 试判断 ABC的形状 3 解 1 m m 4 1 n n cos2 A 2 cos 2A m m n n 4cos2 cos 2A 4 2cos2A 1 2cos2A 2cos A 3 A 2 1 cos A 2 又 m m n n 7 2 2cos2A 2cos A 3 7 2 解得 cos A 1 2 0 A A 3 2 在 ABC中 a2 b2 c2 2bccos A 且a 3 2 b2 c2 2bc b2 c2 bc 3 1 2 又 b c 2 3 b 2 c 代入 式整理得c2 2c 3 0 解得c b 于是 3333 a b c 即 ABC为等边三角形 3 与三角形面积有关的问题 典题导入 例 3 2012 新课标全国卷 已知a b c分别为 ABC三个内角A B C的对边 acos C asin C b c 0 3 1 求A 2 若a 2 ABC的面积为 求b c 3 自主解答 1 由acos C asin C b c 0 及正弦定理得 sin Acos C sin 33 Asin C sin B sin C 0 因为B A C 所以sin Asin C cos Asin C sin C 0 3 由于 sin C 0 所以 sin A 6 1 2 又 0 A 故A 3 7 2 ABC的面积S bcsin A 故bc 4 1 23 而a2 b2 c2 2bccos A 故b2 c2 8 解得b c 2 由题悟法 1 正弦定理和余弦定理并不是孤立的 解题时要根据具体题目合理选用 有时还需要 交替使用 2 在解决三角形问题中 面积公式S absin C bcsin A acsin B最常用 因为 1 2 1 2 1 2 公式中既有边也有角 容易和正弦定理 余弦定理结合应用 以题试法 3 2012 江西重点中学联考 在 ABC中 cos 2A cos2A cos A 1 2 1 求角A的大小 2 若a 3 sin B 2sin C 求S ABC 解 1 由已知得 2cos2A 1 cos2A cos A 1 2 则 cos A 因为 0 A 所以A 1 2 3 2 由 可得 2 b sin B c sin C sin B sin C b c 即b 2c 所以 cos A b2 c2 a2 2bc 4c2 c2 9 4c2 1 2 解得c b 2 33 所以S ABC bcsin A 2 1 2 1 233 3 2 3 3 2 1 在 ABC中 a b分别是角A B所对的边 条件 acos B 成 立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选 C a b Acos B 8 2 2012 泉州模拟 在 ABC中 a b c分别是角A B C所对的边 若 A b 1 ABC的面积为 则a的值为 3 3 2 A 1 B 2 C D 3 23 解析 选 D 由已知得bcsin A 1 c sin 解得c 2 则由余弦定理可 1 2 1 2 3 3 2 得a2 4 1 2 2 1 cos 3 a 33 3 2013 江南十校 联考 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已 知a 2 c 2 1 则C 32 tan A tan B 2c b A 30 B 45 C 45 或 135 D 60 解析 选 B 由 1 和正弦定理得 tan A tan B 2c b cos Asin B sin Acos B 2sin Ccos A 即 sin C 2sin Ccos A 所以 cos A 则A 60 1 2 由正弦定理得 2 3 sin A 2 2 sin C 则 sin C 2 2 又c a 则C 60 故C 45 4 2012 陕西高考 在 ABC中 角A B C所对边的长分别为a b c 若 a2 b2 2c2 则 cos C的最小值为 A B 3 2 2 2 C D 1 2 1 2 解析 选 C 由余弦定理得a2 b2 c2 2abcos C 又c2 a2 b2 得 2abcos 1 2 C a2 b2 即 cos C 1 2 a2 b2 4ab 2ab 4ab 1 2 5 2012 上海高考 在 ABC中 若 sin2 A sin2B sin2C 则 ABC的形状是 A 锐角三角形 B 直角三角形 9 C 钝角三角形 D 不能确定 解析 选 C 由正弦定理得a2 b2 c2 所以 cos C c b 求 的值 7 AB AC 解 1 因为a 2bsin A 0 3 所以 sin A 2sin Bsin A 0 3 因为 sin A 0 所以 sin B 3 2 又B为锐角 所以B 3 2 由 1 可知 B 因为b 37 根据余弦定理 得 7 a2 c2 2accos 3 整理 得 a c 2 3ac 7 由已知a c 5 得ac 6 又a c 故a 3 c 2 于是 cos A b2 c2 a2 2bc 7 4 9 4 7 7 14 所以 cos A cbcos AAB AC AB AC 2 1 7 7 14 12 2012 山东高考 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 已知 sin B tan A tan C tan Atan C 1 求证 a b c成等比数列 2 若a 1 c 2 求 ABC的面积S 解 1 证明 在 ABC中 由于 sin B tan A tan C tan Atan C 11 所以 sin B sin A cos A sin C cos C sin A cos A sin C cos C 因此 sin B sin Acos C cos Asin C sin Asin C 所以 sin Bsin A C sin Asin C 又A B C 所以 sin A C sin B 因此 sin2B sin Asin C 由正弦定理得b2 ac 即a b c成等比数列 2 因为a 1 c 2 所以b 2 由余弦定理得 cos B a2 c2 b2 2ac 12 22 2 2 1 2 3 4 因为 0 BB C 3b 20acos A 则 sin A sin B sin C为 A 4 3 2 B 5 6 7 C 5 4 3 D 6 5 4 解析 选 D 由题意可得a b c 且为连续正整数 设 c n b n 1 a n 2 n 1 且n N N 则由余弦定理可得 3 n 1 20 n 2 化简得 7n2 13n 60 0 n N N 解得n 4 由正弦定理可 n 1 2 n2 n 2 2 2n n 1 得 sin A sin B sin C a b c 6 5 4 2 2012 长春调研 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 已知 4sin2 cos 2C 且a b 5 c 则 ABC的面积为 A B 2 7 27 解析 因为 4sin2 cos 2C A B 2 7 2 所以 2 1 cos A B 2cos2C 1 7 2 2 2cos C 2cos2C 1 cos2C cos C 0 7 2 1 4 解得 cos C 根据余弦定理有 cos C 1 2 1 2 a2 b2 7 2ab 12 ab a2 b2 7 3ab a2 b2 2ab 7 a b 2 7 25 7 18 ab 6 所以 ABC的 面积S ABC absin C 6 1 2 1 2 3 2 3 3 2 答案 3 3 2 3 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且满足 2b c cos A acos C 0 1 求角A的大小 2 若a S ABC 试判断 ABC的形状 并说明理由 3 3 3 4 解 1 法一 由 2b c cos A acos C 0 及正弦定理 得 2sin B sin C cos A sin Acos C 0 2sin Bcos A sin A C 0 sin B 2cos A 1 0 0 B sin B 0 cos A 1 2 0 A A 3 法二 由 2b c cos A acos C 0 及余弦定理 得 2b c a 0 b2 c2 a2 2bc a2 b2 c2 2ab 整理 得b2 c2 a2 bc cos A b2 c2 a2 2bc 1 2 0 A A 3 2 S ABC bcsin A 1 2 3 3 4 即bcsin 1 2 3 3 3 4 bc 3 a2 b2 c2 2bccos A a A 3 3 b2 c2 6 由 得b c 3 ABC为等边三角形 1 已知a b c分别是 ABC的三个内角A B C所对的边 若 13 a 1 b A C 2B 则 sin C 3 解析 在 ABC中 A C 2B B 60 又 sin A A 30 或 asin B b 1 2 150 舍 C 90 sin C 1 答案 1 2 在 ABC中 a 2bcos C 则这个三角形一定是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形 解析 选 A 法一 化边为角 由正弦定理知 sin A 2sin Bcos C 又A B C sin A sin B C 2sin Bcos C sin Bcos C cos Bsin C 2sin Bcos C sin Bcos C cos Bsin C 0 s