人教版初二下册数学知识点

1 20 1 八年级数学 下册 知识点总结八年级数学 下册 知识点总结 二次根式二次根式 知识回顾知识回顾 1 1 二次根式 式子二次根式 式子 0 0 叫做二次根式 叫做二次根式 aa 2 2 最简二次根式 必须同时满足下列条件 最简二次根式 必须同时满足下列条件 被开方数中被开方数中不含开方开的尽的因数或因式不含开方开的尽的因数或因式 被开方数中被开方数中不含分母不含分母 分分 母中母中不含根式不含根式 3 3 同类二次根式 同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后 若被开方数相同 则这几个二次根式就是同类二二次根式化成最简二次根式后 若被开方数相同 则这几个二次根式就是同类二 次根式 次根式 4 4 二次根式的性质 二次根式的性质 1 1 2 2 0 0 2 2 aaa aa2 5 5 二次根式的运算 二次根式的运算 1 1 因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方 那么 就可 因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方 那么 就可 以用它的算术根代替而移到根号外面 如果被开方数是代数和的形式 那么先解因以用它的算术根代替而移到根号外面 如果被开方数是代数和的形式 那么先解因 式 式 变形为积的形式 再移因式到根号外面 反之也可以将根号外面的正因式平方变形为积的形式 再移因式到根号外面 反之也可以将根号外面的正因式平方 后移到根号里面 后移到根号里面 2 2 二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根 二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根 式 式 3 3 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 将被开方数相乘 除 将被开方数相乘 除 所得的 所得的 积 商 仍作积 商 的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 积 商 仍作积 商 的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab a b a 0a 0 b 0b 0 bb aa b 0b 0 a 0a 0 4 4 有理数的加法交换律 结合律 乘法交换律及结合律 有理数的加法交换律 结合律 乘法交换律及结合律 乘法对加法的分乘法对加法的分 配律以及多项式的乘法公式 都适用于二次根式的运算 配律以及多项式的乘法公式 都适用于二次根式的运算 典型例题典型例题 1 1 概念与性质 概念与性质 例例 1 1 下列各式下列各式 1 1 222 11 2 5 3 2 4 4 5 6 1 7 21 53 xaaa 其中是二次根式的是其中是二次根式的是 1 1 3 3 4 4 5 5 填序号 填序号 0 aa 0a a 0 0 a 2 20 2 例例 2 2 求下列二次根式中字母的取值范围 求下列二次根式中字母的取值范围 1 1 2 2 x x 3 1 5 2 2 x 例例 3 3 在根式在根式 1 1 222 2 3 4 27 5 x abxxyabc 最简二次根式是 最简二次根式是 C C A A 1 1 2 2 B B 3 3 4 4 C C 1 1 3 3 D D 1 1 4 4 例例 4 4 已知 已知 22 2 1 1881 x y y x x y y x xxy 例例 5 5 20092009 龙岩 已知数龙岩 已知数 a a b b 若 若 2 ab b b a a 则 则 B B A A a ba b B B a ba0a 0 b 0b 0 时 则 时 则 1 a ab b 1 a ab b 例例 8 8 比较 比较与与的大小 的大小 53 23 5 5 规律性问题 规律性问题 例例 1 1 观察下列各式及其验证过程 观察下列各式及其验证过程 验证 验证 4 20 4 验证 验证 1 1 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路 猜想 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路 猜想 4 4 15 的变形结果 并的变形结果 并 进行验证 进行验证 2 2 针对上述各式反映的规律 写出用 针对上述各式反映的规律 写出用 n n 2n n 2 且 且 n n 是整数是整数 表示的等式 并表示的等式 并 给出验证过程给出验证过程 5 20 5 勾股定理勾股定理 1 1 勾股定理勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 如果直角三角形的两直角边长分别为 a a b b 斜边长为 斜边长为 c c 那么 那么 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2 勾股定理逆定理勾股定理逆定理 如果三角形三边长 如果三角形三边长 a b ca b c 满足满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2 那么这个三角形是直角 那么这个三角形是直角 三角形 三角形 3 3 经过证明被确认正确的命题叫做定理 经过证明被确认正确的命题叫做定理 我们把题设 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 我们把题设 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 那么另一个叫做它的逆命题 例 勾股定理与勾股定理逆定理 例 勾股定理与勾股定理逆定理 4 4 直角三角形的性质直角三角形的性质 1 1 直角三角形的两个锐角互余 可表示如下 直角三角形的两个锐角互余 可表示如下 C 90 C 90 A B 90 A B 90 2 2 在直角三角形中 在直角三角形中 30 30 角所对的直角边等于斜边的一半 角所对的直角边等于斜边的一半 A 30 A 30 可表示如下 可表示如下 BC BC ABAB 2 1 C 90 C 90 3 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB 90 ACB 90 可表示如下 可表示如下 CD CD AB BD ADAB BD AD 2 1 D D 为为 ABAB 的中点的中点 5 5 摄影定理 摄影定理 在直角三角形中 斜边上的高线是两直角边在斜边上的在直角三角形中 斜边上的高线是两直角边在斜边上的 摄影的比例中项 每条直角边是它们在斜边上的摄影和摄影的比例中项 每条直角边是它们在斜边上的摄影和 斜边的比例中项斜边的比例中项 ACB 90 ACB 90 BDADCD 2 ABADAC 2 CD ABCD AB ABBDBC 2 6 6 常用关系式 常用关系式 由三角形面积公式可得 由三角形面积公式可得 ABAB CD ACCD AC BCBC 6 20 6 7 7 直角三角形的判定 直角三角形的判定 1 1 有一个角是直角的三角形是直角三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形 2 2 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 3 3 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a a b b c c 有关系有关系 那么这 那么这 222 cba 个三角形是直角三角形 个三角形是直角三角形 8 8 命题 定理 证明 命题 定理 证明 1 1 命题的概念 命题的概念 判断一件事情的语句 叫做命题 判断一件事情的语句 叫做命题 理解 命题的定义包括两层含义 理解 命题的定义包括两层含义 1 1 命题必须是个完整的句子 命题必须是个完整的句子 2 2 这个句子必须对某件事情做出判断 这个句子必须对某件事情做出判断 2 2 命题的分类 按正确 错误与否分 命题的分类 按正确 错误与否分 真命题 正确的命题 真命题 正确的命题 命题命题 假命题 错误的命题 假命题 错误的命题 所谓正确的命题就是 如果题设成立 那么结论一定成立的命题 所谓正确的命题就是 如果题设成立 那么结论一定成立的命题 所谓错误的命题就是 如果题设成立 不能证明结论总是成立的命题 所谓错误的命题就是 如果题设成立 不能证明结论总是成立的命题 3 3 公理 公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题 叫做公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题 叫做公理 4 4 定理 定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理 5 5 证明 证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明 6 6 证明的一般步骤 证明的一般步骤 1 1 根据题意 画出图形 根据题意 画出图形 2 2 根据题设 结论 结合图形 写出已知 求证 根据题设 结论 结合图形 写出已知 求证 3 3 经过分析 找出由已知推出求证的途径 写出证明过程 经过分析 找出由已知推出求证的途径 写出证明过程 9 9 三角形中的中位线 三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 7 20 7 1 1 三角形共有三条中位线 并且它们又重新构成一个新的三角形 三角形共有三条中位线 并且它们又重新构成一个新的三角形 2 2 要会区别三角形中线与中位线 要会区别三角形中线与中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 三角形中位线定理的作用 三角形中位线定理的作用 位置关系 可以证明两条直线平行 位置关系 可以证明两条直线平行 数量关系 可以证明线段的倍分关系 数量关系 可以证明线段的倍分关系 常用结论 任一个三角形都有三条中位线 由此有 常用结论 任一个三角形都有三条中位线 由此有 结论结论 1 1 三条中位线组成一个三角形 其周长为原三角形周长的一半 三条中位线组成一个三角形 其周长为原三角形周长的一半 结论结论 2 2 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 结论结论 3 3 三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 结论结论 4 4 三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 结论结论 5 5 三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等 三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等 1010 数学口诀数学口诀 平方差公式平方差公式 平方差公式有两项 符号相反切记牢 首加尾乘首减尾 莫与完全公式平方差公式有两项 符号相反切记牢 首加尾乘首减尾 莫与完全公式 相混淆 相混淆 完全平方公式完全平方公式 完全平方有三项 首尾符号是同乡 首平方 尾平方 首尾二倍放中完全平方有三项 首尾符号是同乡 首平方 尾平方 首尾二倍放中 央 首央 首 尾括号带平方 尾项符号随中央 尾括号带平方 尾项符号随中央 四边形四边形 1 1 四边形的内角和与外角和定理 四边形的内角和与外角和定理 1 1 四边形的内角和等于 四边形的内角和等于 360 360 2 2 四边形的外角和等于 四边形的外角和等于 360 360 2 2 多边形的内角和与外角和定理 多边形的内角和与外角和定理 1 1 n n 边形的内角和等于边形的内角和等于 n 2 180 n 2 180 2 2 任意多边形的外角和等于 任意多边形的外角和等于 360 360 A BC D 12 3 4 A BC D 8 20 8 3 3 平行四边形的性质 平行四边形的性质 因为因为 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形 5 4 3 2 1 邻角互补 对角线互相平分 两组对角分别相等 两组对边分别相等 两组对边分别平行 4 4 平行四边形的判定 平行四边形的判定 是平行四边形 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对边分别相等 两组对边分别平行 ABCD 5 4 3 2 1 5 5 矩形的性质 矩形的性质 因为因为 ABCDABCD 是矩形是矩形 3 2 1 对角线相等 四个角都是直角 有通性 具有平行四边形的所 6 6 矩形的判定 矩形的判定 四边形四边形 ABCDABCD 是矩形是矩形 边形 对角线相等的平行四 三个角都是直角 一个直角 平行四边形 3 2 1 7 7 菱形的性质 菱形的性质 因为因为 ABCDABCD 是菱形是菱形 3 2 1 角 对角线垂直且平分对 四个边都相等 有通性 具有平行四边形的所 A B D O C C D B A O A B D O C A D B C A D B C A D B C O A D B C O 9 20 9 8 8 菱形的判定 菱形的判定 四边形四边形四边形四边形 ABCDABCD 是菱形是菱形 边形 对角线垂直的平行四 四个边都相等 一组邻边等 平行四边形 3 2 1 9 9 正方形的性质 正方形的性质 因为因为 ABCDABCD 是正方形是正方形 3 2 1 分对角 对角线相等垂直且平 角都是直角 四个边都相等 四个 有通性 具有平行四边形的所 CD A B 1 1 AB CD O 2 2 3 3 1010 正方形的判定 正方形的判定 四边形四边形 ABCDABCD 是正方形是正方形 一组邻边等矩形 一个直角 菱形 一个直角一组邻边等 平行四边形 3 2 1 3 ABCD 3 ABCD 是矩形是矩形 又又 AD AB AD AB 四边形四边形 ABCDABCD 是正方形是正方形 1111 等腰梯形的性质 等腰梯形的性质 因为因为 ABCDABCD 是等腰梯形是等腰梯形 3 2 1 对角线相等 同一底上的底角相等 两底平行 两腰相等 1212 等腰梯形的判定 等腰梯形的判定 四边形四边形 ABCDABCD 是等腰梯形是等腰梯形 对角线相等 梯形 底角相等 梯形 两腰相等 梯形 3 2 1 3 ABCD 3 ABCD 是梯形且是梯形且 AD BCAD BC AC BD AC BD ABCD ABCD 四边形是等腰梯形四边形是等腰梯形 C D B A O A BC D O A BC D O CD A B 10 20 10 1414 三角形中位线定理 三角形中位线定理 三角形的中位线平行第三边 三角形的中位线平行第三边 并且等于它的一半并且等于它的一半 1515 梯形中位线定理 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半并且等于两底和的一半 一一 基本概念 四边形 四边形的内角 四边形的外角 多边形 平行线间的距离 平基本概念 四边形 四边形的内角 四边形的外角 多边形 平行线间的距离 平 行四边形 矩形 菱形 正方形 中心对称 中心对称图形 梯形 等腰梯形 直行四边形 矩形 菱形 正方形 中心对称 中心对称图形 梯形 等腰梯形 直 角梯形 三角形中位线 梯形中位线角梯形 三角形中位线 梯形中位线 二二 定理 中心对称的有关定理定理 中心对称的有关定理 1 1 关于中心对称的两个图形是全等形 关于中心对称的两个图形是全等形 2 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 3 3 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 那么这两个图形 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 那么这两个图形 关于这一点对称关于这一点对称 三三 公式 公式 1 1 S S 菱形菱形 ab ch ab ch a a b b 为菱形的对角线为菱形的对角线 c c 为菱形的边长为菱形的边长 h h 为为 c c 边上的高 边上的高 2 1 2 2 S S 平行四边形平行四边形 ah ah a a 为平行四边形的边 为平行四边形的边 h h 为为 a a 上的高 上的高 3 3 S S 梯形梯形 a ba b h Lh h Lh a a b b 为梯形的底 为梯形的底 h h 为梯形的高为梯形的高 L L 为梯形的中位线 为梯形的中位线 2 1 四四 常识 常识 1 1 若 若 n n 是多边形的边数 则对角线条数公式是 是多边形的边数 则对角线条数公式是 2 3n n 2 2 规则图形折叠一般 规则图形折叠一般 出一对全等 一对相似出一对全等 一对相似 3 3 如图 平行四边形 矩形 菱形 正方形的从属关系 如图 平行四边形 矩形 菱形 正方形的从属关系 EF D A B C E D CB A 11 20 11 4 4 常见图形中 仅是轴对称图形的有 角 等腰三角形 等边三角形 正奇边形 等 常见图形中 仅是轴对称图形的有 角 等腰三角形 等边三角形 正奇边形 等 腰梯形腰梯形 仅是中心对称图形的有 平行四边形 仅是中心对称图形的有 平行四边形 是双对称图形的有 线 是双对称图形的有 线 段 矩形 菱形 正方形 正偶边形 圆段 矩形 菱形 正方形 正偶边形 圆 注意 线段有两条对称轴注意 线段有两条对称轴 一次函数一次函数 一一 常量 变量 常量 变量 在一个变化过程中在一个变化过程中 数值发生变化的量叫做数值发生变化的量叫做 变量变量 数值始终不变的量叫做 数值始终不变的量叫做 常量常量 二 函数的概念 二 函数的概念 函数的定义 一般的 在一个变化过程中函数的定义 一般的 在一个变化过程中 如果有两个变量如果有两个变量 x x 与与 y y 并且对于 并且对于 x x 的每一的每一 个确定的值 个确定的值 y y 都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说 x x 是自变量 是自变量 y y 是是 x x 的函的函 数 数 三 函数中自变量取值范围的求法 三 函数中自变量取值范围的求法 1 1 用整式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 用整式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 2 2 用分式表示的函数 自变量的取值范围是使分母不为 用分式表示的函数 自变量的取值范围是使分母不为 0 0 的一切实数 的一切实数 3 3 用寄次根式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 用寄次根式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 用偶次根式表示的函数 自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一用偶次根式表示的函数 自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切切 实数 实数 4 4 若解析式由上述几种形式综合而成 须先求出各部分的取值范围 然后再求其公 若解析式由上述几种形式综合而成 须先求出各部分的取值范围 然后再求其公 共范围 即为自变量的取值范围 共范围 即为自变量的取值范围 5 5 对于与实际问题有关系的 自变量的取值范围应使实际问题有意义 对于与实际问题有关系的 自变量的取值范围应使实际问题有意义 四 四 函数图象的定义 一般的 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分函数图象的定义 一般的 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分 别作为点的横 纵坐标 那么在坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函数的图别作为点的横 纵坐标 那么在坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函数的图 象 象 五 用描点法画函数的图象的一般步骤五 用描点法画函数的图象的一般步骤 1 1 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 注意 列表时自变量由小到大 相差一样 有时需对称 注意 列表时自变量由小到大 相差一样 有时需对称 2 2 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出 表格中数值对应的各点 表格中数值对应的各点 3 3 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来 六 函数有三种表示形式 六 函数有三种表示形式 12 20 12 1 1 列表法 列表法 2 2 图像法 图像法 3 3 解析式法 解析式法 七 正比例函数与一次函数的概念 七 正比例函数与一次函数的概念 一般地 形如一般地 形如 y kx ky kx k 为常数 且为常数 且 k 0 k 0 的函数叫做正比例函数的函数叫做正比例函数 其中其中 k k 叫做比例系数 叫做比例系数 一般地 形如一般地 形如 y kx by kx b k b k b 为常数 且为常数 且 k 0 k 0 的函数叫做一次函数的函数叫做一次函数 当当 b b 0 0 时时 y kx b y kx b 即为即为 y kx y kx 所以正比例函数 是一次函数的特例所以正比例函数 是一次函数的特例 八 正比例函数的图象与性质 八 正比例函数的图象与性质 1 1 图象图象 正比例函数正比例函数 y y kxkx k k 是常数 是常数 k 0 k 0 的图象是经过原点的一条直线 我们的图象是经过原点的一条直线 我们 称它为直线称它为直线 y y kxkx 2 2 性质性质 当当 k 0k 0 时时 直线直线 y y kxkx 经过第三 一象限 从左向右上升 即随着经过第三 一象限 从左向右上升 即随着 x x 的增大的增大 y y 也增大 当也增大 当 k 0k0k 0 b b 0 0 图像经过一 二 三象限 图像经过一 二 三象限 2 2 k 0k 0 b b 0 0 图像经过一 三 四象限 图像经过一 三 四象限 3 3 k 0k 0 b b 0 0 图像经过一 三象限 图像经过一 三象限 4 4 k k 0 0 b b 0 0 图像经过一 二 四象限 图像经过一 二 四象限 5 5 k k 0 0 b b 0 0 图像经过二 三 四象限 图像经过二 三 四象限 6 6 k k 0 0 b b 0 0 图像经过二 四象限 图像经过二 四象限 一次函数表达一次函数表达 式的确定式的确定 求一次函数求一次函数 y kx by kx b k k b b 是常数 是常数 k 0k 0 时 需要由两个点来确 时 需要由两个点来确 定 求正比例函数定 求正比例函数 y kxy kx k 0k 0 时 只需一个点即可 时 只需一个点即可 5 5 一次函数与二元一次方程组 一次函数与二元一次方程组 解方程组解方程组 从从 数数 的角度看 自变量 的角度看 自变量 x x 为何值时两个函数的值为何值时两个函数的值 相等 并相等 并 求出这个函数值求出这个函数值 解方程组解方程组 从从 形形 的角度看 确定两直线交点的坐标的角度看 确定两直线交点的坐标 数据的分析数据的分析 数据的代表 平均数 众数 中位数 极差 方差数据的代表 平均数 众数 中位数 极差 方差 1 1 解统计学的几个基本概念 解统计学的几个基本概念 总体 个体 样本 样本容量是统计学中特有的规定 准确把握教材 明确所考总体 个体 样本 样本容量是统计学中特有的规定 准确把握教材 明确所考 查的对象是解决有关总体 个体 样本 样本容量问题的关键 查的对象是解决有关总体 个体 样本 样本容量问题的关键 2 2 平均数平均数 当给出的一组数据 都在某一常数当给出的一组数据 都在某一常数 a a 上下波动时 一般选用简化平均数公式上下波动时 一般选用简化平均数公式 其中 其中 a a 是取接近于这组数据平均数中比较是取接近于这组数据平均数中比较 整整 的数的数 当所给一组数据中当所给一组数据中 有重复多次出现的数据 常选用加权平均数公式 有重复多次出现的数据 常选用加权平均数公式 3 3 众数与中位数众数与中位数 平均数 众数 中位数都是用来描述数据集中趋势的量 平均数的大小与每一个平均数 众数 中位数都是用来描述数据集中趋势的量 平均数的大小与每一个 数据都有关 任何一个数的波动都会引起平均数的波动 当一组数据中有个数据太高数据都有关 任何一个数的波动都会引起平均数的波动 当一组数据中有个数据太高 或太低 用平均数来描述整体趋势则不合适 用中位数或众数则较合适 中位数与数或太低 用平均数来描述整体趋势则不合适 用中位数或众数则较合适 中位数与数 据排列有关 个别数据的波动对中位数没影响 当一组数据中不少数据多次重复出现据排列有关 个别数据的波动对中位数没影响 当一组数据中不少数据多次重复出现 时 可用众数来描述 时 可用众数来描述 cba cba yx yx 222 111 cba cba yx yx 222 111 14 20 14 4 4 极差极差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围 用这种用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围 用这种 方法得到的差称为极差 极差 最大值 最小值 方法得到的差称为极差 极差 最大值 最小值 5 5 方差与标准差方差与标准差 用用 先平均 再求差 然后平方 最后再平均先平均 再求差 然后平方 最后再平均 得到的结果表示一组数据偏离平得到的结果表示一组数据偏离平 均值的情况 这个结果叫方差 计算公式是均值的情况 这个结果叫方差 计算公式是 s s2 2 x x1 1 2 2 x x2 2 2 2 x xn n 2 2 方差是反映一组数据的波动大小的一个量 其值越大 波动越大 也越不稳定或方差是反映一组数据的波动大小的一个量 其值越大 波动越大 也越不稳定或 不整齐 不整齐 一 选择题一 选择题 1 1 一组数据 一组数据 3 3 5 5 7 7 m m n n 的平均数是的平均数是 6 6 则 则 m m n n 的平均数是 的平均数是 A 6A 6 B 7B 7 C C 7 57 5 D D 1515 2 2 小华的数学平时成绩为 小华的数学平时成绩为 9292 分 期中成绩为分 期中成绩为 9090 分 期末成绩为分 期末成绩为 9696 分 若按分 若按 3 3 3 3 4 4 的比例计算总评成绩 则小华的数学总评成绩应为 的比例计算总评成绩 则小华的数学总评成绩应为 A A 9292 B B 9393 C C 9696 D D 92 792 7 3 3 关于一组数据的平均数 中位数 众数 下列说法中正确的是 关于一组数据的平均数 中位数 众数 下列说法中正确的是 A A 平均数一定是这组数中的某个数平均数一定是这组数中的某个数 B B 中位数一定是这组数中的某个数中位数一定是这组数中的某个数 C C 众数一定是这组数中的某个数众数一定是这组数中的某个数 D D 以上说法都不对以上说法都不对 4 4 某小组在一次测试中的成绩为 某小组在一次测试中的成绩为 8686 9292 8484 9292 8585 8585 8686 9494 9292 8383 则这 则这 个小组本次测试成绩的中位数是 个小组本次测试成绩的中位数是 A A 8585 B B 8686 C C 9292 D D 87 987 9 5 5 某人上山的平均速度为 某人上山的平均速度为 3km h3km h 沿原路下山的平均速度为 沿原路下山的平均速度为 5km h5km h 上山用 上山用 1h1h 则此 则此 人上下山的平均速度为 人上下山的平均速度为 A 4A 4 km hkm h B B 3 753 75 km hkm h C C 3 53 5 km hkm h D 4 5D 4 5 km hkm h 6 6 在校冬季运动会上 有 在校冬季运动会上 有 1515 名选手参加了名选手参加了 200200 米预赛 取前八名进入决赛米预赛 取前八名进入决赛 已知参赛已知参赛 选手成绩各不相同 选手成绩各不相同 某选手要想知道自己是否进入决赛 只需要了解自己的成绩以及某选手要想知道自己是否进入决赛 只需要了解自己的成绩以及 全部成绩的 全部成绩的 A A 平均数平均数 B B 中位数中位数 C C 众数众数 D D 以上都可以以上都可以 15 20 15 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 6 6 分 共分 共 4242 分 分 7 7 将 将 9 9 个数据从小到大排列后 第个数据从小到大排列后 第 个数是这组数据的中位数个数是这组数据的中位数 8 8 如果一组数据 如果一组数据 4 4 6 6 x x 7 7 的平均数是的平均数是 5 5 则 则 x x 9 9 已知一组数据 已知一组数据 5 5 3 3 6 6 5 5 8 8 6 6 4 4 1111 则它的众数是 则它的众数是 中位数是 中位数是 1010 一组数据 一组数据 1212 1616 1111 1717 1313 x x 的中位数是的中位数是 1414 则 则 x x 1111 某射击选手在 某射击选手在 1010 次射击时的成绩如下表 次射击时的成绩如下表 环数环数 7 78 89 91010 次数次数 2 24 41 13 3 则这组数据的平均数是则这组数据的平均数是 中位数是 中位数是 众数是 众数是 1212 某小组 某小组 1010 个人在一次数学小测试中 有个人在一次数学小测试中 有 3 3 个人的平均成绩为个人的平均成绩为 9696 其余 其余 7 7 个人的平个人的平 均成绩为均成绩为 8686 则这个小组的本次测试的平均成绩为 则这个小组的本次测试的平均成绩为 1313 为了了解某立交桥段在四月份过往车辆承载情况 连续记录了 为了了解某立交桥段在四月份过往车辆承载情况 连续记录了 6 6 天的车流量天的车流量 单位 单位 千辆千辆 日日 3 3 2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 8 8 3 3 4 4 7 7 则这个月该桥过往车辆的总数大约为 则这个月该桥过往车辆的总数大约为 辆辆 第十七章第十七章 反比例函数反比例函数 1 1 定义 形如定义 形如 y y k k 为常数 为常数 k 0k 0 的函数称为反比例函数 其他形式 的函数称为反比例函数 其他形式 xy kxy k x k 1 kxy x ky 1 2 2 图像 反比例函数的图像属于双曲线 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心图像 反比例函数的图像属于双曲线 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心 对称图形 有两条对称轴 直线对称图形 有两条对称轴 直线 y xy x 和和 y xy x 对称中心是 原点 对称中心是 原点 3 3 性质性质 当当 k k 0 0 时双曲线的两支分别位于第一 第三象限 在每个象限内时双曲线的两支分别位于第一 第三象限 在每个象限内 y y 值随值随 x x 值值 的增大而减小 的增大而减小 当当 k k 0 0 时双曲线的两支分别位于第二 第四象限 在每个象限内时双曲线的两支分别位于第二 第四象限 在每个象限内 y y 值随值随 x x 值的值的 增大而增大 增大而增大 4 k 4 k 的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围 成的矩形的面积 成的矩形的面积 5 5 反比例函数双曲线 待定只需一个点 正反比例函数双曲线 待定只需一个点 正 k k 落在一三限 落在一三限 x x 增大增大 y y 在减 图象上面任在减 图象上面任 意点 矩形面积都不变 对称轴是角分线意点 矩形面积都不变 对称轴是角分线 x x y y 的顺序可交换 的顺序可交换 16 20 16 1 1 反比例函数的概念 反比例函数的概念 一般地 函数一般地 函数 k k 是常数 是常数 k k0 0 叫做反比例函数 反比例函数的解析式也可以 叫做反比例函数 反比例函数的解析式也可以 x k y 写成写成的形式 自变量的形式 自变量 x x 的取值范围是的取值范围是 x x0 0 的一切实数 函数的取值范围也是的一切实数 函数的取值范围也是 1 kxy 一切非零实数 一切非零实数 2 2 反比例函数的图像 反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线 它有两个分支 这两个分支分别位于第一 三象限 或反比例函数的图像是双曲线 它有两个分支 这两个分支分别位于第一 三象限 或 第二 四象限 它们关于原点对称 由于反比例函数中自变量第二 四象限 它们关于原点对称 由于反比例函数中自变量 x x0 0 函数 函数 y y0 0 所以 所以 它的图像与它的图像与 x x 轴 轴 y y 轴都没有交点 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 但永远达不轴都没有交点 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 但永远达不 到坐标轴 到坐标轴 3 3 反比例函数的性质 反比例函数的性质 反比例反比例 函数函数 0 k x k y k k 的符的符 号号 k 0k 0k 0k0k 0 时 函数图像的两个分支分别时 函数图像的两个分支分别 在第一 三象限 在每个象限内 在第一 三象限 在每个象限内 y y x x 的取值范围是的取值范围是 x x0 0 y y 的取值范围是的取值范围是 y y0 0 当当 k 0k 0 时 函数图像的两个分支分别时 函数图像的两个分支分别 在第二 四象限 在每个象限内 在第二 四象限 在每个象限内 y y 17 20 17 随随 x x 的增大而减小 的增大而减小 随随 x x 的增大而增大 的增大而增大 4 4 反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法 由于在反比例函数确定及诶是的方法仍是待定系数法 由于在反比例函数中 只有一个待定系数 中 只有一个待定系数 x k y 因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标 即可求出因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标 即可求出 k k 的值 从而确定其解析的值 从而确定其解析 式 式 5 5 反比例函数中反比例系数的几何意义 反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图 过反比例函数如下图 过反比例函数图像上任一点图像上任一点 P P 作作 x x 轴 轴 y y 轴的垂线轴的垂线 PMPM PNPN 则所 则所 0 k x k y 得的矩形得的矩形 PMONPMON 的面积的面积 S PMS PM PN PN xyxy kSkxy x k y 第十七章第十七章 反比例函数反比例函数 1 1 定义 形如定义 形如 y y k k 为常数 为常数 k 0k 0 的函数称为反比例函数 其他形式 的函数称为反比例函数 其他形式 xy kxy k x k 1 kxy x ky 1 2 2 图像 反比例函数的图像属于双曲线 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心图像 反比例函数的图像属于双曲线 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心 对称图形 有两条对称轴 直线对称图形 有两条对称轴 直线 y xy x 和和 y xy x 对称中心是 原点 对称中心是 原点 3 3 性质性质 当当 k k 0 0 时双曲线的两支分别位于第一 第三象限 在每个象限内时双曲线的两支分别位于第一 第三象限 在每个象限内 y y 值随值随 x x 值值 的增大而减小 的增大而减小 当当 k k 0 0 时双曲线的两支分别位于第二 第四象限 在每个象限内时双曲线的两支分别位于第二 第四象限 在每个象限内 y y 值随值随 x x 值的值的 增大而增大 增大而增大 4 k 4 k 的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围 成的矩形的面积 成的矩形的面积 18 20 18 知识点 知识点 选用恰当的数据分析数据选用恰当的数据分析数据 知识点详解 知识点详解 一 一 5 5 个基本统计量 平均数 众数 中位数 极差 方差 的数学内涵个基本统计量 平均数 众数 中位数 极差 方差 的数学内涵 平均数 把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商 平均数反映一组数据平均数 把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商 平均数反映一组数据 的平均水平 平均数分为算术平均数和加权平均数 的平均水平 平均数分为算术平均数和加权平均数 众数 在一组数据中 出现次数最多的数众数 在一组数据中 出现次数最多的数 有时不止一个有时不止一个 叫做这组数据的众数 叫做这组数据的众数 中位数 将一组数据按大小顺序排列 把处在最中间的一个数中位数 将一组数据按大小顺序排列 把处在最中间的一个数 或两个数的平均或两个数的平均 数数 叫做这组数据的中位数 叫做这组数据的中位数 极差 是指一组数据中最大数据与最小数据的差 巧计方法 极差极差 是指一组数据中最大数据与最小数据的差 巧计方法 极差 最大值最大值 最小最小 值 值 方差 各个数据与平均数之差的平方的平均数 记作方差 各个数据与平均数之差的平方的平均数 记作 s s2 2 巧计方法巧计方法 方差是偏差方差是偏差 的平方的平均数 的平方的平均数 标准差 方差的算术平方根 记作标准差 方差的算术平方根 记作 s s 二二 教学时对五个基本统计量的分析 教学时对五个基本统计量的分析 1 1 算术平均数不难理解易掌握 加权平均数 关键在于理解算术平均数不难理解易掌握 加权平均数 关键在于理解 权权 的含义 权的含义 权 重是一组非负数 权重之和为重是一组非负数 权重之和为 1 1 当各数据的重要程度不同时 一般采用加权平均数作 当各数据的重要程度不同时 一般采用加权平均数作 为数据的代表值 为数据的代表值 学生出现的问题学生出现的问题 对 对 权权 的意义理解不深刻 易混淆算术平均数与加权平均数的意义理解不深刻 易混淆算术平均数与加权平均数 的计算公式 的计算公式 19 20 19 采取的措施采取的措施 弄清权的含义和算术平均数与加权平均数的关系 并且提醒学生再 弄清权的含义和算术平均数与加权平均数的关系 并且提醒学生再 求平均数时注意单位 求平均数时注意单位 2 2 平均数 与中位数 众数的区别于联系 联系 平均数 中位数和众数都平均数 与中位数 众数的区别于联系 联系 平均数 中位数和众数都 反映了一组数据的集中趋势 其中以平均数的应用最为广泛 反映了一组数据的集中趋势 其中以平均数的应用最为广泛 区别 区别 A A 平均数的平均数的 大小与这组数据里每个数据均有关系 任一数据的变动都会引起平均数的变动 大小与这组数据里每个数据均有关系 任一数据的变动都会引起平均数的变动 B B 中位数仅与数据的排列位置有关 某些数据的变动对中位数没有影响 当一组数据中中位数仅与数据的排列位置有关 某些数据的变动对中位数没有影响 当一组数据中 的个别数据变动较大时 可用它来描述其集中趋势 的个别数据变动较大时 可用它来描述其集中趋势 C C 众数主要研究个数据出现的众数主要研究个数据出现的 频数 其大小只与这组数据中的某些数据有关 当一组数据中有不少数据多次重复出频数 其大小只与这组数据中的某些数据有关 当一组数据中有不少数据多次重复出 现时 我们往往关心众数 其中众数的学习是重点 现时 我们往往关心众数 其中众数的学习是重点 学生出现的问题学生出现的问题 求中位数时忘记排序 对三种数据的意义不能正确理解 求中位数时忘记排序 对三种数据的意义不能正确理解 采取的措施采取的措施 加强概念的分析 多做对比练习 加强概念的分析